（江苏专版）2019年中考数学一轮复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件.ppt

4.3等腰三角形与直角三角形,中考数学(江苏专用),考点1等腰三角形,A组2014-2018年江苏中考题组,五年中考,1.(2018宿迁,6,3分)若实数m、n满足等式|m-2|+=0,且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长,则ABC的周长是()A.12B.10C.8D.6,答案B|m-2|+=0,m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,当腰长为2时,三边长为2,2,4,不符合三边关系定理;当腰长为4时,三边长为2,4,4,符合三边关系定理,此时周长为2+4+4=10.故选B.,2.(2015苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为()A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D为BC中点,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,3.(2014苏州,6,3分)如图,在ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,B=80,则C的度数为()A.30B.40C.45D.60,答案B因为AB=AD,所以B=ADB=80,因为DC=AD,所以C=CAD,又因为ADB是ACD的外角,所以ADB=C+CAD=2C,所以C=40,故选B.,4.(2018淮安,13,3分)若一个等腰三角形的顶角等于50,则它的底角等于.,答案65,解析等腰三角形的顶角等于50,等腰三角形的底角相等,底角等于(180-50)=65.故答案为65.,5.(2016镇江,12,2分)有一张等腰三角形纸片,AB=AC=5,BC=3,小明将它沿虚线PQ剪开,得到AQP和四边形BCPQ两张纸片(如图所示),且满足BQP=B,则下列五个数据,3,2,中可以作为长的有个.,答案3,解析如图,当PQ过点C时,设BQ=x.BQC=B,A=A,BQCBCA.则=,即=,x=,则AQ=5-=.0CGE,FEFG.,第二种情况:考虑FG=EG是否成立.四边形ABCD是正方形,BCEG,FBCFEG,假设FG=EG成立,则FC=BC亦成立,FC=BC=100.AE=x,GA=x+200,FG=AE+AG=2x+200,CG=FG-FC=2x+200-100=2x+100,在RtCDG中,CD=100,GD=x+100,CG=2x+100,且CD2+GD2=CG2,1002+(x+100)2=(2x+100)2,解这个方程,得x1=-100,x2=,x0,x=.则当x=时,FG=EG,此时EFG为等腰三角形.第三种情况:考虑EF=EG是否成立.与同理,假设EF=EG成立,则FB=BC亦成立,且BE=EF-FB=2x+200-100=2x+100,在RtABE中,AE=x,AB=100,BE=2x+100,且AB2+AE2=BE2,1002+x2=(2x+100)2,解这个方程,得x1=0,x2=-(均不合题意,舍去),故EFEG.综上所述,当x=时,EFG是一个等腰三角形.,解题关键本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识.应用数形结合、分类讨论思想,根据勾股定理列出方程是解决问题的关键.,8.(2017徐州,25,8分)如图,已知ACBC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.,解析(1)AC=AD,CAD=60,ACD是等边三角形,DC=AC=4.,考点2直角三角形,1.(2018扬州,7,3分)在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是()A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC,答案CACB=90,CDAB,ACD+BCD=90,ACD+A=90,BCD=A.CE平分ACD,ACE=DCE.又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE,BEC=BCE,BC=BE.故选C.,思路分析根据同角的余角相等可得出BCD=A,根据角平分线的定义可得出ACE=DCE,再结合BEC=A+ACE、BCE=BCD+DCE即可得出BEC=BCE,利用等角对等边即可得出BC=BE,此题得解.,方法总结本题考查了三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定,通过计算得到BEC=BCE是解题的关键.,2.(2016常州,7,2分)已知在ABC中,BC=6,AC=3,CPAB,垂足为P,则CP的长可能是()A.2B.4C.5D.7,答案A如图,根据垂线段最短可得CP3.故选A.,3.(2014扬州,7,3分)如图,已知AOB=60,点P在边OA上,OP=12,点M、N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=()A.3B.4C.5D.6,答案C如图,过点P作PHMN,垂足为H,因为PM=PN,MN=2,所以MH=MN=1,在RtPOH中,OP=12,POH=60,所以OH=6,所以OM=OH-MH=6-1=5.故选C.,4.(2018无锡,18,3分)如图,已知XOY=60,点A在边OX上,OA=2.过点A作ACOY于点C,以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC,点P是ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PDOY交OX于点D,作PEOX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b的取值范围是.,答案2a+2b5,解析过P作PHOY交OY于点H,PDOY,PEOX,四边形EODP是平行四边形,HEP=XOY=60,EP=OD=a,EPH=30,EH=EP=a,a+2b=2=2(EH+EO)=2OH,当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的值最小,最小值=OC=OA=1,故a+2b的最小值是2;当P在点B处时,OH的值最大,最大值是1+=,故(a+2b)的最大值是5,2a+2b5.,思路分析作辅助线,构建含30度角的直角三角形,先证明四边形EODP是平行四边形,得EP=OD=a,在RtHEP中,EPH=30,可得EH的长,从而可得a+2b=2OH,确认OH取最大和最小值时点H的位置,可得结论.,解后反思本题考查了等边三角形的性质、构造法,平行四边形的判定和性质,掌握a+2b的最值就是确认OH的范围,即可解决问题.,5.(2018盐城,16,3分)如图,在直角ABC中,C=90,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点,若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形,则AQ=.,答案或,解析如图1,当AQ=PQ,QPB=90时,设AQ=PQ=x,C=90,AC=6,BC=8,AB=10,PQAC,BPQBCA,=,=,x=,AQ=.图1如图2,当AQ=PQ,PQB=90时,设AQ=PQ=y.,图2易知BQPBCA,=,=,y=.综上所述,满足条件的AQ的值为或.,思路分析分两种情形分别求解:AQ=PQ,QPB=90,AQ=PQ,PQB=90.,解题关键本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题.,6.(2017徐州,18,3分)如图,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,如此下去,则线段OAn的长度为.,答案()n,解析OBA1为等腰直角三角形,OB=1,A1B=OB=1,OA1=OB=;OA1A2为等腰直角三角形,A1A2=OA1=,OA2=OA1=2;OA2A3为等腰直角三角形,A2A3=OA2=2,OA3=OA2=2;OA3A4为等腰直角三角形,A3A4=OA3=2,OA4=OA3=4;OA4A5为等腰直角三角形,A4A5=OA4=4,OA5=OA4=4;OA5A6为等腰直角三角形,A5A6=OA5=4,OA6=OA5=8.线段OAn的长度为()n.,解题关键此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理,熟练应用勾股定理找出规律是解题关键.,7.(2017徐州,17,3分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上,且AQ=AD,连接DQ并延长,与边BC交于点P,则线段AP=.,答案,解析在矩形ABCD中,AB=4,AD=3=BC,AC=5,又AQ=AD=3,ADCP,CQ=5-3=2,CQP=AQD=ADQ=CPQ,CP=CQ=2,BP=3-2=1,在RtABP中,AP=.,8.(2014无锡,15,2分)如图,ABC中,CDAB于D,E是AC的中点,若AD=6,DE=5,则CD的长等于.,答案8,解析CDAB,AE=CE,AC=2DE=10,则在RtADC中,CD=8.,9.(2017南京,22,8分)“直角”在初中几何学习中无处不在.如图,已知AOB.请仿照小丽的方式,再用两种不同的方法判断AOB是不是直角(仅限用直尺和圆规).,解析本题答案不唯一,下列解法供参考.解法一:如图,在OA、OB上分别截取OC=4,OD=3.若CD=5,则AOB=90.图解法二:如图,在OA、OB上分别取点C、D,以CD为直径画圆.若点O在圆上,则AOB=90.图,思路分析根据勾股定理的逆定理或直径所对的圆周角是直角画图即可.,B组20142018年全国中考题组,考点1等腰三角形,1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于()A.15B.30C.45D.60,答案A由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C=36,则DAC的度数是()A.70B.44C.34D.24,答案C由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故选C.,3.(2015吉林长春,6,3分)如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC.若1=70,则BAC的大小为()A.30B.40C.50D.70,答案BAB=AC,B=C.ADBC,C=1=70.B=70.BAC=40.故选B.,4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.,答案,思路分析连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质求线段DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,5.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D.求证:AD=BC.,证明AB=AC,A=36,ABC=C=72.BD平分ABC,ABD=36,ABD=A,AD=BD.BDC=A+ABD=72,BDC=C,BD=BC,AD=BC.,6.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析(1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰,AB=AC,BD,CE是中线,AD=AC,AE=AB,AD=AE,又A=A,ABDACE,BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正方形.,7.(2016北京,28,7分)在等边ABC中,(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,BAP=20,求AQB的度数;(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.依题意将图2补全;小茹通过观察、实验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:要证PA=PM,只需证APM是等边三角形.想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证ANPPCM.想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK.,解析(1)ABC为等边三角形,B=60.APC=BAP+B=80.AP=AQ,AQB=APC=80.(2)补全的图形如图所示.证法一:过点A作AHBC于点H,如图.,由ABC为等边三角形,AP=AQ,可得PAB=QAC.点Q,M关于直线AC对称,QAC=MAC,AQ=AM.PAB=MAC,AM=AP.PAM=BAC=60.APM为等边三角形.PA=PM.证法二:在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图.由ABC为等边三角形,可得BNP为等边三角形.,AN=PC,ANP=120.由AP=AQ,可得APB=AQC.又B=ACB=60,ABPACQ.BP=CQ.点Q,M关于直线AC对称,ACM=ACQ=60,CM=CQ.NP=BP=CQ=CM.PCM=ACM+ACQ=120,ANPPCM.PA=PM.证法三:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到BK,连接KP,CK,MC,如图.,8.(2014甘肃兰州,27,10分)给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;(2)如图,将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60得到DBE,连接AD,DC,CE.已知DCB=30.求证:BCE是等边三角形;求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.,解析(1)正方形、矩形、直角梯形.(任选两个均可)(2分)(2)证明:ABCDBE,BC=BE.(4分)CBE=60,BCE是等边三角形.(5分)ABCDBE,AC=DE.(6分)BCE是等边三角形,BC=CE,BCE=60.(7分)DCB=30,DCE=90.(8分)在RtDCE中,DC2+CE2=DE2,DC2+BC2=AC2,(9分)即四边形ABCD是勾股四边形.(10分),评析本题考查勾股定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质,属中等难度题.,解析(1)画图如下(任画其中两个即可).(4分),(2)如图,当AD=AE时,2x+x=30+30,x=20.(6分)当AD=DE时,30+30+2x+x=180,x=40.(7分)当AE=DE时,不存在.(不写不扣分)C的度数是20或40.(结论不写不扣分)(3)如图,CD,AE就是所求的三分线,设B=,那么DCB=DCA=EAC=,ADE=AED=2,(8分)设AE=AD=a,BD=CD=y,AECBDC,ay=23.又ACDABC,2a=(a+y)2,(10分)由解得a=,y=,即三分线长分别是和.(12分),评析本题考查了学生的理解能力及动手、创新能力,知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识,是一道综合性比较强的题目.,考点2直角三角形,1.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为()A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km,答案DACBC,M是AB的中点,MC=AB=AM=1.2km.故选D.,2.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=.,答案-1,解析由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC=AD=2.过A作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC=-1.,3.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B落在边AC上.若MBC为直角三角形,则BM的长为.,答案或1,解析在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45.(1)当MBC=90时,BMC=C=45.设BM=x,则BM=BC=x,在RtMBC中,由勾股定理得MC=x,x+x=+1,解得x=1,BM=1.(2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合,此时BM=BM=BC=.综上所述,BM的长为1或.,4.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4cm,则EF的长为cm.,答案(+),解析如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4cm,A=60,AB=8cm,DB=4cm,点E为AB的中点,EMBD,DE=AB=4cm,EM=AD=2cm,由等腰直角三角形的性质可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2cm,MN=EM=2cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm.,一题多解过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG=2cm,ABD=30,BD=AD=4cm,CBD=45,BC=2cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.,5.(2014江西,14,3分)在RtABC中,A=90,有一个锐角为60,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且ABP=30,则CP的长为.,答案2或4或6,解析图1中,ABC=60,BC=6,则AB=3,AC=3,又ABP=30,则AP=,CP=2或CP=4;图2中,ACB=60,ABP=30,CBP是等边三角形,CP=CB=6.图1图2综上,CP的长为2或4或6.,解析(1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点,CM=BD.又DEAB,同理,EM=BD,CM=EM.(4分)(2)由已知得,CBA=90-50=40.又由(1)知CM=BM=EM,CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80,EMF=180-CME=100.(9分)(3)证明:DAECEM,CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形,MEF=DEF-DEM=30.证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,又NM=CM=EM=AE,FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF.=.又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF,ANEM.(14分)证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15,AMC=EMC-EMA=75,又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD,ACM=(180-30)=75.由可知AC=AM,又N为CM的中点,ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),思路分析(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,7.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析(1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点,BM=AC.N为CD的中点,MN=AD.AC=AD,BM=MN.(2)BAD=60,AC平分BAD,BAC=CAD=30.由BM=AM,可得BMC=2BAC=60.由MNAD,可得CMN=CAD=30.BMN=BMC+CMN=90.AC=AD=2,BM=MN=1.在RtBMN中,BN=.,8.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF.(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长;(2)如图1,求证:HF=EF;(3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.图1,图2,解析(1)点H是AC的中点,AC=2,AH=AC=.(1分)ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分)DAAB,DHAC,DAB=DHA=90.DAH=30,AD=2.(3分)在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2.BD=2.(4分)(2)证明:连接AF,如图1.图1,F是BD的中点,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分)DEAE,DEA=90.DHA=90,DAH=30,DH=AD.AE平分BAC,CAE=BAC=30.DAE=60,ADE=30.AE=AD,AE=DH.(6分)FDA=FAD,HDA=EAD=60,FDA-HDA=FAD-EAD,FDH=FAE.(7分)FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分)(3)CEF是等边三角形.(9分)理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图2.,图2F是BD的中点,FGDA,FG=DA.FGA=180-DAG=90,又AE=AD,AE=FG.在RtABC中,ACB=90,点G为AB的中点,CG=AG.又CAB=60,GAC为等边三角形.(10分)AC=CG,ACG=AGC=60.FGC=30,FGC=EAC.FGCEAC(SAS).(11分),CF=CE,ACE=GCF.ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60,CEF是等边三角形.(12分),C组教师专用题组,考点1等腰三角形,1.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上,答案D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,2.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB=,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH=.,答案,解析延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE,疑难突破此类题型中,可根据等边三角形、60这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等三角形,从而实现线段的转化.,3.(2016徐州,14,3分)若等腰三角形的顶角为120,腰长为2cm,则它的底边长为cm.,答案2,解析过点A作ADBC于点D,AB=AC,BAD=BAC=60,BD=BC.在RtABD中,BD=ABsin60=2=(cm),BC=2BD=2cm.,4.(2015浙江绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18cm.若衣架收拢时,AOB=60,如图2,则此时A,B两点间的距离是cm.,答案18,解析连接AB.因为OA=OB=18cm,AOB=60,所以AOB是正三角形,故AB=18cm.,5.(2015福建龙岩,16,3分)我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点(如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点),则正方形的腰点共有个.,答案9,解析如图,(1)连接两条对角线,对角线的交点是正方形的一个腰点;(2)分别以四个顶点为圆心,以正方形的边长为半径画圆,除顶点外,共有8个交点,这8个点也是腰点.综上,正方形共有9个腰点.,评析本题中正方形的边可以是等腰三角形的腰,也可以是底边.属于中等难度题.,解析(1)证明:CA=CB,BN=AM,CB-BN=CA-AM,即CN=CM,BC=AC,MCB=ACN,CM=CN,BCMACN.BCMACN,MBC=NAC,EA=ED,EAD=EDA,AGBC,GAC=ACB=90,ADB=DBC,ADB=NAC,ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90,BDE=90.,(2)或180-.(3)4或.详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:如图1,E与N在点A异侧,可得BDE=180-;如图2,E与N在点A同侧,可得BDE=.图1,图2(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:如图3,当CN=MC=BC=2时,由ADBC可得ADMCBM,=,=,AD=.由EA=ED得AN=DF,又由BCMACN可得AN=BM.过点A作AHBC于H,由勾股定理可得,AN=.由(2)知BDE=120BDF=60,从而可得BCMBDF,=,=,BF=,CF=BF-BC=.,图3图4如图4,当CN=BC=时,与同法可求得CF=4.,思路分析(1)由“边角边”可证三角形全等.BDE=EDA+ADM,由等边对等角可得EAD=EDA.由BCMACN,可得CBM=CAN,由两直线平行,内错角相等,可得ADM=CBM,DAM=C=90.而CAN+EAD+DAM=180,CAN+EAD=90,BDE=90.(2)分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解.(3)N为BC的三等分点,分类讨论BN=BC和BN=BC两种情况.,易错警示本题的易错点在于审题,第(2)问E在直线AN上,第(3)问点N是BC边上的三等分点,都需要分类讨论.,7.(2016泰州,21,10分)如图,ABC中,AB=AC,E在BA的延长线上,AD平分CAE.(1)求证:ADBC;(2)过点C作CGAD于点F,交AE于点G.若AF=4,求BC的长.,解析(1)证明:AD平分CAE,DAE=CAE,AB=AC,B=ACB,CAE=B+ACB,B=CAE,B=DAE,ADBC.(2)AD平分CAE,CAF=GAF,CGAD,AFC=AFG=90,在AFC和AFG中,AFCAFG(ASA),CF=GF=CG,ADBC,AGFBGC,=,BC=2AF=24=8.,8.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:PCEEDQ;(2)延长PC,QD交于点R.如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形;如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和的值.,解析(1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形.OCE=ODE.又OAP,OBQ都是等腰直角三角形,PCO=QDO=90.PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ.又PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ,PCEEDQ.(5分)(2)证明:如图,连接OR.PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD.,在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150,CRD=30.ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60.ABR为等边三角形.(9分)如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE.,又AOED,CED=ACE.PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90,即PEQ为等腰直角三角形.由于ARBPEQ,所以ARB=90.于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD=ARB=45,MON=135.此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2PQ=PQ,则=.(14分),9.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E.求证:CBE=BAD.,证明AB=AC,AD是BC边上的中线,ADBC,BAD=CAD.BEAC,BEC=ADC=90.CBE=90-C,CAD=90-C.CBE=CAD.CBE=BAD.,10.(2014浙江杭州,18,8分)在ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.,解析证明:在AFB和AEC中,AF=AE,A为公共角,AB=AC,所以AFBAEC,所以ABF=ACE.因为AB=AC,所以ABC=ACB,所以PBC=PCB,所以PB=PC.其余相等的线段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.,考点2直角三角形,1.(2018内蒙古包头,12,3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,CBD=30,则DF的长为()A.B.C.D.,答案D如图,连接DE.BD平分ABC,CBD=30,1=2=30.在RtBCD中,BD=BCcos30=2.在RtABD中,AB=BDcos30=3.E为BC的中点,ED=BE=2,3=2=1.DEAB,AFBEFD,=,即=,DF=.故选D.,思路分析根据题意得,在RtABD和RtBCD中,ABD=CBD=30,由BC=4,求得BD=2,进而求得AB=3,由E是BC的中点,得ED=BE,进而可得DEAB,所以AFBEFD,进而求出DF的长.,解题关键本题考查了含30角的直角三角形的性质,三角形相似的判定和性质.解答本题的关键是作出RtBCD斜边上的中线.,2.(2015山东聊城,15,3分)如图,在ABC中,C=90,A=30,BD是ABC的平分线.若AB=6,则点D到AB的距离是.,答案,解析C=90,A=30,AB=6,ABC=60,BC=3,BD平分ABC,CBD=ABC=30,点D到AB的距离等于DC,在RtBDC中,DC=tanDBCBC=3=,点D到AB的距离等于.,3.(2016镇江,26,7分)如果三角形三边的长a、b、c满足=b,那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”.如:三边长分别为1,1,1或3,5,7,的三角形都是“匀称三角形”.(1)如图1,已知两条线段的长分别为a、c(ac).用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”(不写作法,保留作图痕迹);(2)如图2,ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交BC于点D,过点D作O的切线交AB延长线于点E,交AC于点F.若=,判断AEF是不是“匀称三角形”.请说明理由.,解析(1)作图.作法一:,解题关键本题是一道阅读理解类型的作图题,考查的知识点有三角形全等、勾股定理以及尺规作图等.解决本题的关键是正确作出辅助线,找出全等和相似三角形,从而根据题目中的定义解决问题.,A组20162018年模拟基础题组,三年模拟,考点1等腰三角形,1.(2017连云港一模,7)如图,在平面直角坐标系中,点B,C在y轴上,ABC是等边三角形,AB=4,AC与x轴的交点D为AC边的中点,则点D的坐标为()A.(1,0)B.(2,0)C.(2,0)D.(,0),答案D过点A作AEOB,如图.点B,C在y轴上,ABC是等边三角形,AB=4,AE=2,ODAE,D为边AC的中点,O为CE的中点,=,OD=,D(,0).故选D.,2.(2016苏州模拟)如图,在四边形ABCD中,A=C=45,ADB=ABC=105.(1)若AD=2,求AB的长;(2)若AB+CD=2+2,求AB的长.,解析(1)过点D作DEAB于点E,过点B作B