高中数学圆锥曲线方程知识点总结.pdf

1 8.圆锥曲线方程圆锥曲线方程知识要点知识要点 一、椭圆方程一、椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义： 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于定长 （定长通常等于 2a， 且 2aF1F2） 的点的轨迹叫椭圆。 为端点的线段以 无轨迹 方程为椭圆 212121 2121 2121 ,2 ,2 ,2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF （1）椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x . ii. 中心在原点，焦点在y轴上： )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y . 注：A.以上方程中, a b的大小0ab，其中 222 bac； B.在 22 22 1 xy ab 和 22 22 1 yx ab 两个方程中都有0ab的条件， 要分清焦点的位置， 只要看 2 x和 2 y的分母的大小。 一般方程：)0, 0( 1 22 BAByAx. 椭圆的标准方程：1 2 2 2 2 b y a x 的参数方程参数方程为 sin cos by ax （一象限应是属于 2 0 ）. 椭圆的性质 顶点：), 0)(0 ,(ba或)0 ,)(, 0(ba . 轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2. 焦点：)0 ,)(0 ,(cc或), 0)(, 0(cc. 焦距： 22 21 ,2baccFF. 准线： c a x 2 或 c a y 2 . 离心率：) 10( e a c e .【0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就 越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接 近于圆。当且仅当ab时，0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 222 xya。】 焦（点）半径： i. 设),( 00 yxP为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 上的一点， 21,F F为左、右焦点，则 ii.设),( 00 yxP为椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba a y b x 上的一点， 21,F F为上、下焦点，则 0201 ,exaPFexaPF 0201 ,eyaPFeyaPF 2 由椭圆第二定义可知： )0()(),0()( 000 2 200 2 01 xaexx c a epFxexa c a xepF 归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：),( 2 2 2 2 a b c a b d和),( 2 a b c 焦点三角形的面积：若 P 是椭圆：1 2 2 2 2 b y a x 上的点. 21,F F为焦点，若 21PF F，则 21F PF 的面积为 2 tan 2 b（用余弦定理与aPFPF2 21 可得）。若是双曲线，则面积为 2 cot 2 b 。 （3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率是)( 22 bac a c e，方程 tt b y a x ( 2 2 2 2 是大于 0 的参数，)0 ba的离心率也是 a c e 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 2.椭圆的第二定义：平面内到定点 F 的距离和它到一条定直线 L（F 不在 L 上）的距离的比为常数 e （01e）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点 F 为椭圆的焦点，定直线 L 为椭圆焦点 F 相应的准线。 二、双曲线方程二、双曲线方程 1. 双曲线的第一定义双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1，F2的差的绝对值等于定长 （定长通常等于2a， 且2a1） 的点的轨迹叫做双曲线。 其中定点 F 为双曲线的焦点， 定直线 L 为双曲线焦点 F 相应的准线。 y x M M F1 F2 y x M M F1 F2 4 三、三、抛物线方程抛物线方程 （1）抛物线的概念）抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程02 2 ppxy叫做抛物线的标准方程。 注意： 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上， 焦点坐标是 F （ 2 p ,0） ， 它的准线方程是 2 p x； （2 2）抛物线的性质）抛物线的性质 设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图形 y x O y x O y x O y x O 焦点 )0 , 2 ( p F)0 , 2 ( p F ) 2 , 0( p F) 2 , 0( p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围 Ryx , 0Ryx , 00,yRx0,yRx 对称轴x轴 y轴 顶点（0，0） 离心率1e 焦半径 1 2 x p PF 1 2 x p PF 1 2 y p PF 1 2 y p PF 通径2p2p2p2p 焦点弦x1+x2+px1+x2+py1+y2+py1+y2+p 注： 通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy2 2 （或pyx2 2 ）的参数方程为 pty ptx 2 2 2 （或 2 2 2 pty ptx ）（t为参数）. 5 四四、圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义 1. 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当10 e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹 为圆（ a c e ，当bac , 0时）.【弦长公式4)(1 (1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB】 2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆双曲线抛物线 定义 1到两定点 F1,F2的距离之 和为定值 2a(2a|F1F2|)的 点的轨迹 2与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. （0e1） 1 到两定点 F1,F2的距离之差的 绝对值为定值 2a(00)1 2 2 2 2 b y a x (a0,b0)pxy2 2 参数 方程 为离心角）参数 ( sin cos by ax 为离心角）参数 ( tan sec by ax pty ptx 2 2 2 (t 为参数) 范围axa，byb|x| a，yRx0 6 中心原点 O（0，0）原点 O（0，0） 顶点 (a,0),(a,0), (0,b) , (0,b) (a,0),(a,0)(0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴 焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)0 , 2 ( p F 准线 x= c a 2 准线垂直于长轴，且在椭圆 外. x= c a 2 准线垂直于实轴， 且在两顶点的 内侧. x=- 2 p 准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等. 焦距 2c（c= 22 ba ）2c（c= 22 ba ） 离心率 ) 10(e a c e) 1( e a c e e=1 【备注【备注 1 1】双曲线：】双曲线： （1）等轴双曲线：双曲线 222 ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. （2）共渐近线的双曲线系方程：)0( 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为0 2 2 2 2 b y a x 如果双曲线的渐近线 为0 b y a x 时，它的双曲线方程可设为)0( 2 2 2 2 b y a x . 【备注【备注 2 2】抛物线：】抛物线： （1）设抛物线的标准方程为 2 y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 2 p ，顶点到准线的距 离 2 p ，焦点到准线的距离为 p. （2）已知过抛物线 2 y=2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 A