不等式的解法举例

1 / 7 不等式的解法举例 不等式的解法举例教学目标 (1)能熟练运用不等式的基本性质来解不等式 ; (2)在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上 ,把握分式不等式、高次不等式的解法 ; (3)能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式 (组 )来解 ; (4)通过解不等式 ,要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想 ; (5)通过解各种类型的不等式 ,培养学生的观察、比较及概括能力 ,培养学生的勇于探索、敢于创新的精神 ,培养学生的学习爱好 . 教学建议 一、 知识结构 本节内容是在高一研究了一元一次不等式 ,一元二次不等式 ,简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上 ,进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法 .求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则 ,将这些不等式等价转化为一次不等式 (组 )或二次不等式的求解 ,具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号 ,无理不等式有理化 ,分式不等式整式化 ,高次不等式一次化 .其基本模式为 : 2 / 7 ; ; ; 二、重点、难点分析 本节的重点和一个难点是不等式的等价转化 .解不等式与解方程有类似之处 ,但其二者 的区别更要加以重视 .解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的 ,由于不等式的解集一般都是无限集 ,假如产生了增根却是无法检验加以排除的 ,所以解不等式的过程一定要保证同解 ,所涉及的变换一定是等价变换 .在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解 .这个不等式其实是一个不等式组的简化形式 ,当为一元一次式时 ,可直接解这个不等式组 ,但当为一元二次式时 ,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式 ,分别求解在求交集 . 三、教学建议 (1)在学习新课之前一定要复习旧知识 ,包括一元二次不等式的解法 ,简单的绝对值不等式的解法 ,简单 的分式不等式的解法 ,不等式的性质 ,实数运算的符号法则等 .非凡是对于基础比较差的学生 ,这一环节不可忽视 . (2)在研究不等式的解法之前 ,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法 ,然后提出如何求不等式的解集 ,启发学生运用换元思想将替换成 ,从而转化一元二次不等式组的求解 . 3 / 7 (3)在教学中一定让学生充分讨论 ,明确不等式组 “” 中的两个不等式的解集间的交并关系 ,“” 两个不等式的解集间的交并关系 . (4)建议表述解不等式的过程中运用符号 “”. (5)建议在研究分式不等式的解法之前 ,先研究简单高次不等式 (一端为 0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式 )的解法 .可由学生讨论不同解法 ,师生共同比较诸法的优劣 ,最后落实到区间法 . (6)分式不等式与高次不等式的等价原因 ,可以认为是不等式两端同乘以正数 ,不等号不改变方向所得 ;也可以认为是与符号相同所得 . (7)分式不等式求解时不能盲目地去分母 ,但当分母恒为正数 (如分母是 )时 ,应将其去掉 ,从而使不等式化简 . (8)建议补充简单的无理不等式的解法 ,其中为一次式 .教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法 ,再由教师概括总结 ,得出结论后一定要强调不等号的方向对的影响 ,即 保证了 ,而却不能保证这一点 ,所以要分和两种情况进行讨论 . (9)求解不等式不仅要重视思路的理解 ,更要重视表述的规范 ,作为教师应给学生做出示范 ,学生通过模拟把握书写格式 ,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性 . 教学设计示例 4 / 7 分式不等式的解法 教学目标 1.把握分式不等式向整式不等式的转化 ; 2.进一步熟悉并把握数轴标根法 ; 3.把握分式不等式基本解法 . 教学重点难点 重点是分式不等式解法 难点是分式不等式向整式不等式的转化 教学方法 启发式和引导式 教具预备 三角板、幻灯片 教学过程 1.复习回顾 : 前面 ,我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法 ,还了解了数轴标根法的解题思路 ,本节课 ,我们将继续研究分式不等式的解法 . 2.讲授新课 : 例 3 解不等式 0. 分析 :这是一个分式不等式 ,其左边是两个关于 x 的二次三项式的商 ,根据商的符号法则 ,它可以化成两个不等式组 : 因此 ,原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集 ,5 / 7 此种解法从课本可以看到 . 另解 :根据积的符号法则 ,可以将原不等式等价变形为(x2-3x+2)(x2-2x-3)0 即 (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0 令 (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0 可得零点 x=-1 或 1,或 2 或 3,将数轴分成五部分 (如图 ). 由数轴标根法可得所求不等式解集为 : x|-1x1 或 2x1 分析 :首先转化成右端为 0 的分式不等式 ,然后再等价变形为整式不等式求解 . 解 :原不等式等价变形为 : -10 通分整理得 :0 等价变形为 :(x2-2x+3)(x2-3x+2)0 即 :(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0 由数轴标根法可得所求不等式解集为 : x|x-1 或 1x3 说明 :此题要求学生把握较为一般的分式不等式的转化与求解 . 6 / 7 3.课堂练习 : 课本 P19练习 1. 补充 :(1)0; (2)x(x-3)(x+1)(x-2)0. 课堂小结 通过本节学习 ,要求大家在进一步把握数轴标根法的基础上 ,把握分式不等式的基本解法 ,即转化为整式不等式求解 . 课后作业 习题 ,4. 板书设计 教学后记 探究活动 试一试用所学知识解下列不等式 : (1); (2); (3). 答案 :(1)原式 观察这个不等式组 ,由于要求 ,同时要求 ,所以 式可以不解 . 原式 如下图 (2)分析当时 ,不等式两边平方 ,当时 ,在有意义的前提下恒7 / 7