2013届高考理科数学第一轮总复习课件向量的字符运算.ppt

第五章平面向量,向量的字符运算,第讲,2,一、平面向量数量积的有关概念1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，=_，当且仅当a、b反方向时，=_，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.,0,180,2.如果a，b的夹角为_，则称a与b垂直，记作_.3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即_.规定0a=_.当ab时，=_，这时ab=_.二、ab的几何意义1.一个向量在另一个向量方向上的投影.,90,ab,|a|b|cos,ab=|a|b|cos,0,90,0,设是a与b的夹角，则_称作a在b方向上的投影._称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当_时，它是正数；当_时,它是负数；当=90时,它是零.2.ab的几何意义.ab等_与b在a方向上的投影的乘积.3.ab的性质.设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：,|a|cos,|b|cos,090,90180,|a|,(1)ea=ae=|a|cos;(2)ab_;(3)当a与b同向时，ab=_；当a与b反向时，ab=_；特别地，aa=a2=|a|2，或|a|=_;(4)cos=_;(5)|ab|a|b|.,ab=0,|a|b|,-|a|b|,1.已知向量a和b的夹角为120,|a|=1,|b|=3，则|5a-b|=_.解：所以|5a-b|=7.,7,2.若a,b,c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)c=ac+bcC.m(a+b)=ma+mbD.(ab)c=a(bc)解：A、B、C是运算律，而ab=R,bc=R,所以(ab)c=a(bc)不一定成立.故选D.,D,3.在ABC中，已知向量与满足且则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解：在ABC中，(M在BAC的平分线上)，,D,由知所以，则ABC是等腰三角形；因为所以则BAC=60，所以ABC是等边三角形.故选D.,1.如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.解法1：因为，所以因为,题型1向量的数量积运算,所以故当cos=1,即=0(与方向相同)时，的值最大，其最大值为0.解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.,设|AB|=c,|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).所以所以,因为所以cx-by=a2cos，所以故当cos=1，即=0(与方向相同)时，的值最大，其最大值为0.点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.,已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，cd？解：要使cd，即cd=0，即(5a+3b)(3a+kb)=0，所以15a2+(9+5k)ab+3kb2=0，所以154+(9+5k)23cos+3k9=0，解得k=.所以当k=时，c与d垂直.,2.已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4，|b|=2.求：(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)(a+b).解：依题意得ab=|a|b|cos=42cos120=-4.(1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-4)+22=12，所以|a+b|=,题型2向量的模,(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2=1619，所以|3a-4b|=.(3)(a-2b)(a+b)=a2-2ab+ab-2b2=42-(-4)-222=12.点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可.,已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1)求证：(a-b)c；(2)若|ka+b+c|1(kR)，求k的取值范围.解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间的夹角均为120，所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,所以(a-b)c=0，所以(a-b)c.,(2)解法1：因为|ka+b+c|1，即|ka+b+c|21，即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1,因为ab=bc=ac=-，所以k2-2k0，所以k2.解法2：由已知a+b+c=0,故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|,|ka+b+c|1(kR)|k-1|1k2.,题型3向量的夹角,点评：(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数而(2)中即为数量积定义的应用,已知三个单位向量a，b，c，两两之间的夹角为120，求a-2b与c的夹角.解：(a-2b)c=ac-2bc=11cos120-211cos120=，又a-2b，c0，所以a-2b，c=arccos.,1.向量的字符运算是向量运算的一种基本形式，它类似于实数的字母运算，在没有几何背景和向量坐标的向量问题中，一般通过这种运算解答相关问题.2.向量的字符运算以向量的数量积为核心，由此解决有关向量的模和夹角问题.在字符运算中求向量的模，一般先求模的平方，再转化为向量的平方，然后转化为数量积进行运算.,在字