2018-2019学年高中数学第二章平面向量测评新人教A版必修4.doc

第二章 平面向量测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如图所示,A,B,C是圆O上的三点,且三等分圆周,若OC=xOA+yOB,则()A.x=y=-1B.x=y=1C.x=y=12D.x=y=-12解析以OA,OB为邻边作平行四边形OBDA,已知OC+OD=0,所以OA+OB=OD=-OC,因此x=y=-1.答案A2.(2018全国高考)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.答案B3.已知集合M=a|a=(1,2)+(3,4),R,N=a|a=(-2,-2)+(4,5),R,则MN等于()A.(1,1)B.(1,1),(-2,-2)C.(-2,-2)D.解析设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+(3,4),(x-1,y-2)=(3,4),x-1=3,y-2=4,x-13=y-24.对于N,(x,y)=(-2,-2)+(4,5),(x+2,y+2)=(4,5),x+2=4,y+2=5,x+24=y+25.由解得x=-2,y=-2,故MN=(-2,-2).答案C4.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若AC=AM+BD,则+=()A.43B.53C.158D.2解析以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),M1,12,D(0,1),于是AC=(1,1),AM=1,12,BD=(-1,1),所以1=-,1=12+,解得=43,=13,则+=53.答案B5.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则a+b在a上的投影为()A.1B.2C.277D.77解析a+b在a上的投影为(a+b)a|a|=|a|2+ab|a|=1+11=2.答案B6.如图,过点M(1,0)的直线与函数y=sin x(0x2)的图象交于A,B两点,则OM(OA+OB)等于()A.1B.2C.3D.4解析设N(2,0),由题意知OA+OB=ON,OM(OA+OB)=OMON=(1,0)(2,0)=2.答案B7.已知ABD是边长为2的等边三角形,且AB+12AD=AC,则|CD|等于()A.32B.3C.323D.23解析设AD的中点为E,则ABCE是平行四边形,连接BE,因为ABD是边长为2的等边三角形,所以|CD|=|BE|=322=3,故选B.答案B8.已知ABC是正三角形,若a=AC-AB与向量AC的夹角大于90,则实数的取值范围是()A.12B.12D.2解析由已知可得aAC0,即(AC-AB)AC0,因此|AC|2-ABAC0,若设正三角形ABC边长为m,则有m2-12m22.答案D9.导学号68254096在ABC中,AB=3,AC=2,若O为ABC内部的一点,且满足OA+OB+OC=0,则AOBC=()A.12B.25C.13D.14解析由OA+OB+OC=0可知O为ABC的重心,于是AOBC=13(AB+AC)(AC-AB)=13(AC2-AB2)=13.答案C10.在ABC中,设AC2-AB2=2AMBC,那么动点M的轨迹必通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心解析假设BC的中点是O,则AC2-AB2=(AC+AB)(AC-AB)=2AOBC=2AMBC,即(AO-AM)BC=MOBC=0,所以MOBC,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过ABC的外心.答案C11.(2018全国高考)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC解析如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.答案A12.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()A.23B.3C.6D.0解析设S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,若S的表达式中有0个ab,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个ab,则S=a2+b2+2ab,记为S2;若S的表达式中有4个ab,则S=4ab,记为S3.又|b|=2|a|,所以S1-S3=2a2+2b2-4ab=2(a-b)20,S1-S2=a2+b2-2ab=(a-b)20,S2-S3=(a-b)20,所以S3S2S1,故Smin=S3=4ab.设a,b的夹角为,则Smin=4ab=8|a|2cos =4|a|2,即cos =12,又0,所以=3.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量a+b与c共线,则实数的值为.解析由题可知a+b=(+2,2),又a+b与c共线,所以-2(+2)-2=0,所以=-1.答案-114.已知向量a=(1,m),b=(3,3),若向量a,b的夹角为3,则实数m的值为.解析因为ab=3+3m,且ab=231+m2cos3=3(1+m2),所以(3+3m)2=3(1+m2)2,解得m=-33.答案-3315.已知菱形ABCD的边长为a,DAB=60,EC=2DE,则AEDB的值为.解析EC=2DE,DE=13DC.菱形ABCD的边长为a,DAB=60,|DA|=|DC|=a,DADC=|DA|DC|cos 120=-12a2.DB=DA+DC,AEDB=(AD+DE)(DA+DC)=AD+13DC(DA+DC)=-DA2+13DC2-23DADC=-a2+13a2+13a2=-a23.答案-a2316.在四边形ABCD中,AB=DC=(1,1),1|BA|BA+1|BC|BC=3|BD|BD,则四边形ABCD的面积为.解析由AB=DC=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且|AB|=|DC|=2,因为1|AB|BA+1|BC|BC=3|BD|BD,所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为2,且对角线BD长等于边长的3倍,即BD=32=6,则CE2=(2)2-622=12,即CE=22,所以三角形BCD的面积为12622=32,所以四边形ABCD的面积为232=3.答案3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a=(1,2),b=(-3,1).(1)求a-2b;(2)设a,b的夹角为,求cos 的值;(3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).(2)cos =ab|a|b|=1(-3)+211+(-3)222+1=-5050.(3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直,所以(a+kb)(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,因为a2=5,b2=10,所以5-10k2=0,解得k=22.18.(本小题满分12分)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=7.(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|的大小.解(1)设a与b的夹角为.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12ab+4|b|2=7,因此9+4-12cos =7,于是cos =12,故 =3,即a与b的夹角为3.(2)|2a+3b|=|2a+3b|2=4|a|2+12ab+9|b|2=4+1212+9=19.19.导学号68254097(本小题满分12分)如图,在OAB中,已知P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB.(1)若BP=PA,求x,y的值;(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA与OB的夹角为60时,求OPAB的值.解(1)BP=PA,BO+OP=PO+OA,即2OP=OB+OA,OP=12OA+12OB,即x=12,y=12.(2)BP=3PA,BO+OP=3PO+3OA,即4OP=OB+3OA,OP=34OA+14OB.x=34,y=14.OPAB=34OA+14OB(OB-OA)=14OBOB-34OAOA+12OAOB=1422-3442+124212=-9.20.导学号68254098(本小题满分12分)如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=23BM.(1)求证:M是CD的中点;(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求AHHB的最小值.(1)证明设CM=mCD,CN=nCA,由题意知BN=23BM=23(BC+CM)=23(BC+mCD)=23BC+23mCD,又BN=BC+CN=BC+nCA=BC+n(CB+CD)=(1-n)BC+nCD,23=1-n,23m=n,解得m=12,n=13.CM=mCD=12CD,即M是CD的中点.(2)解AB=2,BC=1,M是CD的中点,MB=2,ABM=45,AHHB=(AB+BH)HB=-(AB+BH)BH=-ABBH-|BH|2=-|AB|BH|cos(180-ABH)-|BH|2=|AB|BH|cos 45-|BH|2=2|BH|-|BH|2=-|BH|-222+12,又0|BH|2,当|BH|=2,即H与M重合时,AHHB取得最小值,且最小值为0.21.(本小题满分12分)如图所示,在平面斜坐标系xOy中,xOy=60,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若OP=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.解(1)因为点P的斜坐标为(2,-2),所以OP=2e1-2e2,所以|OP|2=(2e1-2e2)2=4e12-8e1e2+4e22=8-811cos 60=8-4=4,所以|OP|=2,即点P到原点O的距离为2.(2)设圆上动点M的斜坐标为(x,y),则OM=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1,则x2e12+2xye1e2+y2e22=1,即x2+y2+xy=1,故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.22.(本小题满分12分)已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:(1)BECF;(2)AP=AB.证明如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1