天津市七校2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）.doc

20182019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数，则（ ）A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（ ）A. 16 B. 15 C. 14 D. 13【答案】B【解析】【分析】由题意，等差数列an的公差为2，根据S10=100，解得a1=1，即可求解.【详解】由题意，等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，因为S10=10a1+10922=100，解得a1=1，所以a8=a1+7d=1+72=15，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（ ）A. 若a,b,cR，则“xR,ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0”B. 若a,b,cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C. 命题“xR,x20”的否定是“x0R,x020”D. an是等比数列，则0q0且【详解】由题意，对于A中，若a,b,cR，则“xR,ax2+bx+c0”的充分条件是“a0且b24ac0”，所以是错误的；对于B中，若a,b,cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac且b0”，所以不正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“xR,x20”的否定是“x0R,x020”，所以是正确的；对于D中，在an是等比数列，例如当a10且0qb0)的左焦点F1，且与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，F2是椭圆的右焦点,且MN=MF2，则椭圆的方程为（ ）A. x240+y24=1 B. x25+y2=1 C. x210+y2=1 D. x29+y25=1【答案】D【解析】【分析】由题意，求得F1(2,0)和N(0,42)，根据MN=MF2和椭圆的定义可得MF1+MF2=F1N=2a，从而求得a=12F1N=3，进而可求解椭圆的标准方程.【详解】由题意，直线22xy+42=0与x轴的交点(2,0)，又直线22xy+42=0过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点，所以F1(2,0)，即c=2，因为直线22xy+42=0与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N(0,42)，且MN=MF2，所以MF1+MF2=F1N=2a，即a=12F1N=12(2)2+(42)2=3，又由b2=a2c2=94=5，所以椭圆的方程为x29+y25=1，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. 1 B. 23C. 13 D. 2【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，取得平面ACD1的法向量为n=(2,1,2)，即可求解点E到平面ACD1的距离，得到答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2),E(2,2,0),A(2,0,0),C(0,4,0)，则D1E=(2,2,2),AC=(2,4,0),AD1=(2,0,2)，设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z)，则nAC=2x+4y=0nAD1=2x+2z=0，取x=2，得n=(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为h=D1Enn=22+21223=23，故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知，bR，则a|b|是a|a|b|b|的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若ab，则ab0，则ab，所以aa=a2，则aabb成立，当a=1,b=2时，满足aabb，但ab不一定成立，所以ab是aabb的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，xf(x)f(x)，若f(2)=0，则不等式xf(x)0的解集为（ ）A. x-2x0或0x2 B. xx-2或x2C. x-2x0或x2 D. xx-2或0x2【答案】C【解析】【分析】由题意，令gx=fxx，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由xfx0，即x2gx0，即gx0，即可求解.【详解】由题意，令gx=fxx，当x0时，gx=xfxfxx20，所以函数gx在(0,+)上单调递增，又由函数fx为偶函数，所以gx=f(x)x=fxx=gx，所以函数gx为定义域上的奇函数，所以函数gx在(,0)上单调递增，又因为f2=0，所以g2=f22=0，且g2=0.所以当0x2或x2时，gx0，当2x2时，gx0，又由xfx0，即x2gx0，即gx0，所以2x2所以不等式的解集为x|2x2，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线x2a2y2b2=1的左焦点F1-c,0作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长F1E交抛物线y2=4cx于点P，若F1E=12F1P，则双曲线的离心率是（ ）A. 1+52 B. 1+32 C. 3+52 D. 52【答案】A【解析】【分析】由题意，求得OE是AF1F2的中位线，得到OE/PF2，因为OE=a，所以PF2=2a，PF1=2b，又由抛物线的定义可得x=2ac，过点F作x的垂线，点P到该垂线的距离为2a，由勾股定理得e2e1=0，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(c,0)，因为抛物线为y2=4cx，所以F2为抛物线的焦点，因为O为F1F2的中点，又由F1E=12F1P，则点E为F1P的中点，所以OE是AF1F2的中位线，所以OE/PF2,因为OE=a，所以PF2=2a，又PF2PF,F1F2=2c，所以PF1=2b，设点P(x,y)，则由抛物线的定义可得x+c=2a，所以x=2ac，过点F作x的垂线，点P到该垂线的距离为2a，由勾股定理得y2+4a2=4b2，即4c(2ac)+4a2=4(c2a2)，得e2e1=0，所以e=5+12，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程x25+k+y242k=1表示椭圆，则k的取值范围为_.【答案】5k042k05+k42k，解得5k2且k13，即实数k的取值范围为5kan，若S3=2a2+2,S4=3a3+2，则q=_.【答案】2【解析】由已知得S3=2a2+2,S4=2a3+2，两式相减可得a4=3a32a2，a2q2=3a2q2a2，q23q+2=0，q=2或q=1（舍去），故答案为2.11.在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PEBC的值为_.【答案】1【解析】【分析】由题意，设PA=a,PB=b,PC=c，建立空间的一个基底a,b,c，在正四面体中PE=12(a+b),BC=cb，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设PA=a,PB=b,PC=c，建立空间的一个基底a,b,c，在正四面体中PE=12(a+b),BC=cb，所以PEBC=12(a+b)(cb)=12(acab+bcb2)=12(22cos60022cos600+22cos60022)=1.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知a0，b0，且1a+1b=1，则4a+2b+ba的最小值等于_.【答案】6+43【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到4a+2b+ba=4a(1a+1b)+2b(1a+1b)+ba=6+4ab+3ba，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，a0,b0 且1a+1b=1，则4a+2b+ba=4a(1a+1b)+2b(1a+1b)+ba=6+4ab+2ba+ba=6+4ab+3ba6+24ab3ba=6+43，当且仅当4ab=3ba，即a=32b时等号成，所以4a+2b+ba的最小值等于6+43.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线y2=2px （p0）的焦点为F，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点，分别过A,B作的垂线，垂足为C,D. 若AF=3BF，且三角形CDF的面积为3，则p的值为_.【答案】62【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线AB的斜率为k=3，则直线AB的方程为y=3(xp2)，联立方程组，利用根与系数的关系求得x1+x2，求得AB=8p3，求得CD的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知AC=AF,BD=BF,AF=3BF，则AM=2BF,AB=4BF，则cosNAB=12NAB=600,所以直线AB的斜率为k=3，则直线AB的方程为y=3(xp2)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立方程组y=3(xp2)y2=2px，整理得3x25px+3p24=0，所以x1+x2=5p3，所以AB=x1+x2+p=8p3，则CD=ABsin600=43p3，所以CDF的面积为S=12CDp=1243p3p=233p2=3，解得p=62. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线AB的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得AB,CD的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.14.已知函数f(x)=exx3+3klnx+k(1x)，若x=3是函数fx唯一的极值点，则实数k的取值范围为_.【答案】k0上无变号零点，令gx=exx3，则gx=ex(x3)x4，所以gx在(0,3)上单调递减，在(3,+)上单调递增，所以gx的最小值为g3=e327，所以ke327.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把x=3是函数fx的唯一的一个极值点，转化为exkx3=0在(0,+)无变号零点，构造新函数gx=exx3，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（共6小题，共80分）15.数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，(2n1)an+1=(2n+3)Sn. 其中nN*（1）证明：数列Sn2n1是等比数列；（2）求数列Sn的前n项和Tn.【答案】(1)见解析;(2)Tn=(2n3)2n+3.【解析】【分析】(1)由an+1=Sn+1-Sn=2n+32n-1Sn，可得Sn+1=2(2n+1)2n-1Sn，即Sn+12n+1=2Sn2n-1，从而可得结论；（2）由（1）知，Sn2n-1=2n-1，可得Sn=(2n-1)2n-1，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：an+1=Sn+1-Sn=2n+32n-1Sn，Sn+1=2(2n+1)2n-1Sn，Sn+12n+1=2Sn2n-1，又a1=1，S11=10，数列Sn2n-1是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，Sn2n-1=2n-1，Sn=(2n-1)2n-1，Tn=1+32+522+(2n-3)2n-2 +(2n-1)2n-1，2Tn=12+322+523+(2n-3)2n-1 +(2n-1)2n. -得-Tn=1+2(21+22+2n-1)-(2n-1)2n=1+22-2n-121-2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3，Tn=(2n-3)2n+3.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解, 在写出“Sn”与“qSn” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.16.已知函数f(x)=ln(x+a)x2x在x=0处取得极值.（1）求函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（2）若关于x的方程f(x)=52x+b在区间0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.【答案】（1）5x+2y12ln2=0（2）ln3-1b0，于是(x)在0,1上单调递增；当x(1,2)时，(x)0,(2)=ln(1+2)-4+3-b0. 解得 ln3-1bln2+12.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为(x)=0在0,2上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数x的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.在如图所示的多面体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点.（1）求证：CMEM；（2）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60. 若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）306（3）在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60，点N为棱DC的中点【解析】【分析】（）由AC=BC， M是AB的中点，得到CMAB，进而得CMEA，利用线面垂直的判定定理，证得CM平面AEM，进而得到CMEM （）以M为原点，分别以MA,MC为x,y轴，如图建立坐标系Mxyz，求得平面EMC和平面DBC的一个法向量m,n，利用向量的夹角公式，即可求解.（）设Nx,y,z且DN=DC,01，求得MN=22,2,22，利用向量的夹角公式，求得=12，即可求解.【详解】（1）证明：AC=BC， M是AB的中点，CMAB，又EA平面ABC，CMEA，EAAB=A，CM平面AEM，CMEM （2）以M为原点，分别以MB， MC为x， y轴，如图建立坐标系M-xyz则：M0,0,0， C0,2,0， B2,0,0， D2,0,2， E-2,0,1，ME=-2,0,1， MC=0,2,0， BD=0,0,2， BC=-2,2,0，设平面EMC的一个法向量m=x1,y1,z1，则： -2x1+z1=02y1=0，取x1=1， y1=0， z1=2，所以m=1,0,2，设平面DBC的一个法向量n=x2,y2,z2，则-2x2+2y2=0,2y2=0, 取x1=1， y1=1， z1=0，所以n=1,1,0，cosmn=mnmn=123=66故平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值为306 （3）在棱DC上存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60，设Nx,y,z且DN=DC， 01，x-2,y,z-2=-2,2,-2，x=2-2， y=2， z=2-2，MN=2-2,2,2-2，若直线MN与平面EMC所成的的角为60，则 cosMN,m=2-2+22-2321-2+22+41-2=sin60=32，解得=12，所以在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60，点N为棱DC的中点【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.18.已知数列an满足a1=1，an+1=114an，其中nN+.（1）设bn=22an1，求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式；（2）设cn=4ann+1，数列cncn+2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn1cmcm+1对于nN+恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) an=n+12n;(2) m的最小值为3.【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出bn+1bn为一个常数，从而证明数列bn是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn1cmcm+1对于nN恒成立，只要31cmcm+1，即mm+143，解出即可.试题解析：（1）证明：bn+1-bn=22an+1-1-22an-1=22(1-14an)-1-22an-1=4an2an-1-22an-1=2，所以数列bn是等差数列，a1=1,b1=2，因此bn=2+(n-1)2=2n，由bn=22an-1an=n+12n.（2）由cn=2ncncn+1=4n(n+2)=2(1n-1n+2)，所以Tn=2(1-13+12-14+1n-1-1n+1+1n-1n+2)，所以Tn=2(1+12-1n+1-1n+2)，因为nN+，所以Tn3恒成立，依题意要使Tn0 解得m3，m的最小值为3.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：1nn+k=1k1n1n+k；1n+k+n=1kn+kn；12n12n+1=1212n112n+1；1nn+1n+2=12 1nn+11n+1n+2；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12，左顶点为A4,0，过点A作斜率为kk0的直线交椭圆C于点D，交y轴于点E. O点为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的kk0都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线的平行线交椭圆C于点M，求OMAD+AE的最大值.【答案】（1）x216+y212=1（2）3，0（3）22【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，由此能求出椭圆C的标准方程；（2）直线l的方程为y=kx+4，与椭圆联立，得，x+44k2+3x+16k2-12=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由OM/l,可设OM的方程为y=kx，与椭圆联立方程得M点的横坐标，由OMl，结合基本不等式即可求出最小值.试题解析：（1）左顶点为A-4,0a=4又e=12c=2又b2=a2-c2=12椭圆C的标准方程为x216+y212=1（2）直线的方程为y=kx+4，由x216+y212=1y=kx+4消元得x216+kx+4212=1化简得， x+44k2+3x+16k2-12=0，则x1=-4,x2=-16k2+124k2+3当x=-16k2+124k2+3时， y=k-16k2+124k2+3+4=24k4k2+3，D-16k2+124k2+3，24k4k2+3点P为AD的中点点P的坐标为-16k24k2+3，12k4k2+3，则kop=-34kk0.直线的方程为y=kx+4，令x=0，得点E的坐标为0，4k，假设存在定点Qm,nm0使得OPEQ,则kOPkEQ=-1，即-34kn-4km=-1恒成立，4m+12k-3n=0恒成立4m+12=0-3n=0即m=-3n=0定点Q的坐标为-3，0.（3）OM/lOM的方程可设为y=kx，由x216+y212=1y=kx得M点的横坐标为x=434k2+3由OMl，得AD+AEOM=xD-xA+xE-xAxM=xD-2xAxM=-16k2+124k2+3+8434k2+3=134k2+94k2+3 =134k2+3+64k2+322，当且仅当64k2+3=4k2+3即k=32时取等号，当k=32时， AD+AEOM的最小值为22点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围20.已知函数f(x)=lnx+2xax2，aR.（1）若f(x)在x=1处取得极值，求的值； （2）设g(x)=f(x)+(a4)x，试讨论函数g(x)的单调性；（3）当a=-2时，若存在正实数x1,x2满足f(