共轴圆形载流线圈间的相互作用力

共轴圆形载流线圈间的相互作用力第4卷第3期2005年3月南阳师范学院JournalofNaIlyaIlgTeachersCollegeV01.4No.3Mar.2005共轴圆形载流线圈间的相互作用力邝向军(西南科技大学理学院,四川绵阳621002)摘要:利用圆形栽流线圈空间磁场的轴对称性,根据安培环路定律和高斯定律,通过不断迭代的方法巧妙地给出了圆形载流线圈空间磁场的级数表达式,并由此计算出了两共轴圆形载流线圈问的径向和轴向相互作用力.关键词:共轴圆形栽流线圈;磁场;相互作用力中图分类号:O441文献标识码:A文章编号:16716132(2005)030031030引言计算两共轴载流圆形线圈间的相互作用力,关键在于计算圆形载流线圈的磁场,而对于圆形载流线圈磁场的计算,大学物理杂志曾经发表不少文章对此进行讨论J,结合文献的介绍,归纳起来通常有三种计算方法:(1)先求出矢势A,然后由=XA得出磁感应强度uI4;(2)先求解磁标势的拉普拉斯方程,再由B=一.得到磁感应强度;(3)直接从毕奥一萨伐尔定律出发,利用椭圆积分,计算磁感应强度J.这三种方法的推导和计算均比较繁杂,一般需要进行数值计算,不利于在普通物理教学中运用.本文充分利用圆形载流线圈磁场的轴对称性,根据稳恒磁场的高斯定律和安培环路定律,给出了一个计算圆形载流线圈磁场的巧妙方法,并进而计算出了两圆形载流线圈之间的相互作用力.1圆形载流线圈的磁场对于如图1所示的半径为R,通有电流,的圆形线圈,取通过线圈中心且垂直于线圈平面的轴为z轴,建立如图1所示的柱坐标,则此线圈的空间磁场相对于z轴对称,任意点的磁感应强(r,)均可用其径向分量B(r,)和轴向分量:(r,)来表示,即:B(r,)=(r,)2+(r,)P,其中的2和P分别为轴向单位矢量和径向单位矢量.我们取如图1所示的扁圆柱面为高斯面,上,下底面的半径r,高为/Xz,则上,下底面各点的轴向磁感应强度分量和径向磁感应强度分量的大小可分别表示为:(,)+,:(,)和uZ(,)+,(,);扁圆柱侧面各点的轴向磁感应强uZ度分量和径向磁感应强度分量的大小可分别表示为:(r,)和(r,).显然,对于上,下底面只有轴向磁感应强度分量可以产生磁通量,对于侧面则只有径向磁感应强度分量可以产生磁通量.因此,根据稳恒磁场的高斯定律,我们可以得到:图l计算磁场的高斯面和环路?ds=(r,)+2,rrdr(r,)2,rrdr+(r,)2,rr=.,即(r,):一rdr.取如图1所示的nbcdn的闭合环路,根据安培环路定律,有收稿日期-20040913基金项目:四川省优秀教学成果孵化项目(210039910)作者简介:邝向军(1967一),副教授,主要从事大学物理教学和过渡金属原子团簇的结构和性质的理论研究.?32?南阳师范学院第4卷曰.df:曰,(r,.)+zdr一曰:(r,z)z一:曰,(r,z)dr+曰:(0,z)z=0,即az(r,z):(.,z)+.f:dr:(=)+dr.(2)其中,B:(0,)为轴线上的磁感应强度B().从(1)式和(2)式可以看出:只要适当选取(r,z)和曰,(r,z)的初值,采取逐步迭代的方法就可以求出同时满足高斯定律和安培环路定律的场分布.由于一般情况下,圆形载流线圈轴线上的磁感应强度曰(z)是已知的.,因此,将曰(z)代入(1)式可得到Bo,-():一.f:rdr=一专=一jr(3)gN(3)式代入(2)式就可以得到曰.(r,z)=日(z)一(r)B(z).(4)将(3),(4)式作为满足高斯定律和安培环路定律的磁感应强度初值,利用(1),(2)式重复以上的过程,就可得到下面的诸式.Bit(r,z)=一rB”(z)+1r)曰.(z),B-:(r,z)=曰(z)一(专)曰(z)+(专)曰(z),曰2,(r,z)=一r,B.(z)+1r)日(z)一(专)B(z),曰z:(r,z)=曰(.)一(考)曰(z)+(r,4.(4)(z)一石(r,6.(6)(z)?不断重复以上的过程,并总结所得出的各式的变化规律,就可得到)=耋(专)2,I),(5)=n=01)n,r,2n.(2n).(6)对于半径为R,匝数为N,电流强度为,的圆线圈,其中心轴线上的磁感应强度表达式为-)=.(7)将(7)式代A(5),(6)式就可得到圆形载流线圈空间磁场的径向表达式B,(r,.)和轴向表达式B:(r,z).2两共轴圆形载流线圈间相互作用力的计算设有两个共轴圆形载流线圈,相距为z,半径分别为R.,R2,匝数分别为N.和N2,分别通有电流,l,2,容易得到线圈R.对线圈R2的微元dl的作用力为:dF:12dlB:N2I2dl(R2,z):+,(R2,z),:N2,2B:(R2,z)d聒,一N2,2B,(R2,z)d膳:(8)=,.,2方向相同时,?1与;方向相同,为张;当,-,2方向相反时,与;方向相反,则为压力.由于线圈E各点所受的轴向作用力方向相同.因此,有第3期邝向军:共轴圆形载流线圈间的相互作用力?33?=a=2,2,(2,z)d三;=2,22:奎,z,(.一n=l(R2)2n-In(2n-1)10()同样,只需将日(z)=代入(1.)式就可得到共轴圆形载流线圈之间的轴向相互作用力.显然,当,.,2同向时取”一99,与三方向相反,两线圈间的轴向相互作用力表现为吸引力;当,.,2反向时取”+”时,FI与;方向相同,两线圈间的轴向相互作用力表现为排斥力.对于亥姆霍兹线圈,只需令R.:R,:R,N.:N即可.3结束语由于在计算磁场时只需用到高斯定律和安培环路定律以及一些基本的普通物理知识,方法简单,巧妙,完全可在普通物理教学中应用.同时,本文所介绍的方法也可应用于计算其他具有轴对称分布且满足高斯定律和环路定律的场.参考文献1彭中汉,等.圆电流平面上的磁场分布J.大学物理,1983,2(11):1116.2彭中汉.亥姆霍兹线圈的均匀磁场区J.大学物理,1985,4(5):1316.3向裕民.圆环电流磁场的普遍分布J.大学物理,1999,18(1):l4一l7.4】邰显康,云月厚,等.用级数拟合求圆电流磁场的解析解J】.大学物理,2002,21(3):68.5李海,等.圆形线电流的磁感应强度J.大学物理,1999,18(6):2022.6丁凤军.圆形面偶极层与圆电流的电磁场J.大学物理,2001,20(2):1920.7曾令宏,张之翔.圆环电流的磁场以及两共轴圆环电流之间的相互作用力J.大学物理,2002,21(9):1417.8佘守宪,张思炯.亥姆霍兹线圈,直螺线管及圆电流磁场均匀性分析的简单公式J.大学物理,1999,18(8):12.9赵春旺,等.有限长螺线管磁场的数值计算与分析J.工科物理,1997(4),1417.1O喻力华,等.用数值积分方法求解电磁学问题J.物理通报,2000(7):1618.11程守洙,江之永.普通物理学(第二册)M.北京:高等教育出版社,1998.InteractiveForcebetweenTwoCommonAxisCircularCurrentLoopsKUANGXiang-jan(SouthwestUniversityofScienceandTechnology,SchoolofScience,Mianyang621002,China)Abstract:Atpresentpaper,Wederivedthemagneticfieldofcircularcurrentlo