（天津专用）2020版高考数学大一轮复习 9.5 抛物线及其性质课件.ppt

考点一抛物线及其标准方程,考点清单,考向基础平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线,抛物线关于过焦点F且与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的对称轴,简称抛物线的轴.在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂线段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y2=2px,x2=2py,其中p0.,考向突破,考向一抛物线定义的应用,例1(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.2,解析=4,点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QMl,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知PQMPFN,则=,即=.|QM|=3,即|QF|=3.故选B.,答案B,考向二求抛物线的标准方程,例2函数y=ax-1(a0且a1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是.,解析设抛物线的方程为y2=mx(m0),由题意知点P的坐标为(1,1),代入y2=mx,可得m=1,焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是y2=x.,答案y2=x,考点二抛物线的几何性质,考向基础,考向突破,考向抛物线几何性质的应用,例若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a=()A.1B.2C.4D.8,解析y2=ax,2p=|a|.又焦点到准线的距离为2,p=2,|a|=4.a=4,故选C.,答案C,考点三抛物线中弦的相关问题,考向基础1.焦点弦的性质(1)焦半径与焦点弦:若P(x0,y0),Q(x1,y1)是抛物线上两动点,F是抛物线的焦点,且PQ过焦点,则线段PF称为抛物线的焦半径,线段PQ称为抛物线的焦点弦,如下表:,(2)以抛物线y2=2px(p0)为例,设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在准线上的射影为A1、B1,则有以下结论:x1x2=,y1y2=-p2;若直线AB的倾斜角为,且A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|=,|BF|=;|AB|=x1+x2+p=(其中为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;SAOB=(其中为直线AB的倾斜角);,+=为定值;以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,A1FB1=90;A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.2.如图所示,AB是过抛物线x2=2py(p0)焦点的一条弦(焦点弦),分别过A,B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论:,(1)点P的轨迹是一条直线,即抛物线的准线l:y=-;(2)两切线互相垂直,即PAPB;(3)PFAB;(4)点P的坐标为.3.非焦点弦的性质(1)已知直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点,若OAOB,则直线l过定点(2p,0),反之亦成立;(2)已知M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对称轴上一点,则|MN|min=,考向突破,考向焦点弦的相关问题,例过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线(斜率大于0)交抛物线于A,B两点,点O是原点,如果|BF|=3,|BF|AF|,AFO=,那么|AF|的值为()A.1B.C.3D.6,解析解法一:过焦点F的直线的斜率k=,则方程为y=,由得3x2-5px+=0,即(2x-3p)(6x-p)=0,所以x=p或x=.因为|BF|AF|,所以xB=p,xA=,依题意得xB+=2p=3,所以p=,则|AF|=xA+=p=1,故选A.解法二:利用结论可得,又|BF|=3,故|AF|=1,故选A.,答案A,方法1求抛物线标准方程的方法1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,利用抛物线的定义确定轨迹类型,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程.2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定p的值,这里应注意抛物线的标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在x轴上的,设为y2=ax(a0),焦点在y轴上的,设为x2=ay(a0).,方法技巧,例1抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛物线的方程为.解题导引,解析设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上,又圆的面积为36,圆的半径为6,则|MF|=xM+=6,即xM=6-,又由|MO|=|MF|可知xM=,=6-,解得p=8.抛物线方程为y2=16x.,答案y2=16x,方法2解决直线与抛物线位置关系问题的方法1.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p0),直线与抛物线交点的个数等价于方程组解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数.当k0时,若0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若=0,则直线和抛物线相切,有一个公共点;若0)相交,有一个公共点.特别地,当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m0时,l与抛物线相交,有两个公共点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m0时,l与抛物线相离,无公共点.2.直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的,最小值.方法有两种,一是将距离d写成一个变量的函数,利用函数求之,二是利用切线法求.3.直线与抛物线相切时,求切线斜率,一种方法是利用=0求,另一种方法是利用导数求.4.当求解直线与抛物线相交的弦长问题时,利用弦长公式|AB|=(k为直线的斜率,k0)进行求解.,例2已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16,解析如图,抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0