《理学重积分》PPT课件.ppt

,微积分A,刻苦 勤奋 求实 创新,理学院工科数学教学中心,第九章 重 积 分,理解二重积分、三重积分的概念，及其性质, 掌握积分中值定理。,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).,会用重积分求一些几何量与物理量(如面积、体积、 曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等)。,了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、 球面坐标)。,重点与难点,重点：二重积分的计算方法, 三重积分的计算方法.,难点：三重积分计算方法, 重积分在几何及物理方面的应用.,一. 直角坐标系下二重积分的计算.,由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时,如图,若点x处截面面积为A(x),则体积,(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a, x=b 及两条曲线 y = y1(x), y = y2(x)围成.,如图,即, D: y1(x) y y2(x),a x b,称为x型区域.,特别情形是:,A、B退缩成一点, E、F退缩成一点.,由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V.,如图.,过点x0作平面x= x0,截面是平面x= x0上的, 以z=f (x0, y)为曲边的曲边梯形.,由定积分的几何意义,从而,故,右端称为先对 y , 再对 x 的二次积分(累次积分).,计算原则: 由里到外.,即先将x 看作常数, 以y 为积分变量, 求里层积分.,得到的结果是只含x, 不含 y 的函数式, 再求外层积分(以x为积分变量).,注1. 公式,虽是在条件 f (x, y) 0下得到的, 但对一般的 f (x, y)都成立, 只须D是x型区域即可.,注2. 习惯上常将右端的二次积分记作,即,(2) 若D: x1(y) x x2(y), c y d, 称为 y 型区域,则类似二重积分可化为先对 x, 再对 y 的二次积分.即,(3)若D既是 x型区域, 又是 y型区域.,比如,则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分.,等等,当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.,此时,(4)若D的形状较复杂, 既不是 x型区域, 也不是 y型区域.,则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块, 使每一块或为x型, 或为 y型, 分块积.,如图,为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线, 从下至上穿过D.,则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.,解: 先画区域D的图形.,法1. 先对y积分.,里层积分的下限为x2, 上限为x.,由于该射线变化范围是0, 1.因此, 外层积分下限为0, 上限为1. 即：,法2. 先对 x 积分.,作与 x 轴同向射线, 从左至右穿过D.,则 x 是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2. 即,故里层对 x 积分的下限为y, 上限为,而该射线的变化范围是0, 1.,故外层对 y 的积分下限为0, 上限为1.,结论：不论是先对 x 积分,还是先对 y 积分,里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式, 而外层积分的上、下限是点的坐标.,且上限下限.,称为从里到外、线线; 点点.,x,y,解：由于,是“积不出”的，,要改换积分次序先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1如图：,.,故 原式 =,改换,解：写出D的表达式，,画 D 的图形,改为先对x再对y的积分,例5. 关于分块函数在D上的积分.,其中D：0 x 1, 0 y 1,解：积分区域如图,记 f (x, y) = | y x |,且区域D1: y x和D2: y x分处在直线y=x 的上，下方.故，,原式 =,注：分块函数的积分要分块(区域)来积.,另外，带绝对值的函数是分块函数。,右边的二次积分并不是两个定积分之积，计 算时必须由里至外，这当然较繁琐.但在某些情形下，可将右端化为两个定积分之积。,关于二重积分计算的其它问题,在将二重积分化为二次积分的公式,例6. 设D：a x b, c y d. f(x, y)=f1(x)f2(y)可积，,则,证：,比如，,只须要求里层积分,的被积函数f2(y)和,上、下限都与x无关即可。,关于利用对称性积分的问题,(1) 若D的图形关于x轴对称.,(i) 若f (x, y) = f (x, y),其中点(x, y) 与(x, y) 关于x轴对称，,即函数也关于x轴对称.,(ii) 若f (x, y) = f (x, y),(2) 若D的图形关于y轴对称.,若f ( x, y) = f ( x, y). 其中 ( x, y)是 (x, y)的关于y轴 的对称点.,(ii) f ( x, y) = f( x, y)，则,三. 二重积分的换元法,考虑,若作变量代换x=g(u, v), y=(u, v),应如何计算作了变量代换后的二重积分？,定理1. 设变换x=g(u, v), y= (u, v)时uov平面上的有 界闭区域D*一一对应地变成xoy平面上的有界闭区域D，且满足,若f (x, y)可积，则,(1) x=g(u, v), y=(u, v)C1(D*),四. 用极坐标变换计算二重积分,变换 x = rcos, y = rsin,其中 0 r +, 0 2,(或 - ),D经极坐标变换后变成极坐标系下的区域D*.,因：,极坐标变换计算二重积分另一种推导,称为“曲边三角形”或“曲边扇形”,曲边的极坐标方程为r = r().,D的最小极角为，最大极角为.,此时，D* : 0 r r(), .,从而：,用极坐标变换计算二重积分,特例：,y,0,x,r = r(),称为“极点位于 D 的边界上”的情形。,(2) 若积分区域 D 如图,即D包含极点，,这相当于,在上图中让 =0， 而 增大2,D*:0 r r(), 0 2,(3)若积分区域D如图.,即：极点在D外，而D是由两个 “曲边扇形”相减而成。,作以0为起点的射线过D，先遇到的曲边为r=r1()，后遇的曲边为r=r2(),最大，最小极角分别为, ,此时，,D*: r1() r r2(), ,为什么引用极坐标计算二重积分？,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,此题用直角系算麻烦， 需使用极坐标系！,2,1,D,变换到极坐标系,.,.,D:r =1和 r =2 围成,2R,区域边界：,.,r =2Rsin,r =2Rsin,1,2,y =x,D,4,r = 4 cos,r = 8 cos,8,D,1,2,23.,计算,y = 2x,x = y,解:,I =,其中D：x2+y2 1,解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用 极坐标积分。,令x=rcos, y=rsin, 则,x2+y2 1的极坐标方程为r = 1.,D*: 0 r 1, 0 2,另由几何意义：,计算,其中D: x2+y2a2(a0).,解：D 如图,由于D关于x轴，y 轴都对称，,即f (x, y)也关于x轴，y轴对称.,故,从而，原式,注：本题若用直角函标计算，会遇到,而这个积分是“积不出”的。,Good,Bye,在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度 的正方向(通常取逆时针方向)，对于平面内任意一点M，用 r表示线段OM的长度， 表示从ox到OM的角度叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对 就叫做点M的极坐标，表示为 。这样建立的坐标系叫做极坐标系。,O,x,极坐标系的定义：,规定：当点M在极点时，它的极坐标为 ， 可以取任意值。,D,E,F,G,A,B,C,o,极坐标系下点与极坐标的对应关系,例：在极坐标系下，写出A、B、C、D、E、F、 G 各点的极坐标。,角 也可以取负值，如：,D,E,F,G,A,B,C,o,在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值。当 时，点 的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使 ，在OP的反向延长线上取一点M，使 ，点M就是 坐标为 的点。,O,M,x,当 时， 写出A、B、C、D、E、F、G各点极坐标。,D,E,F,G,A,B,C,o,例如:,1）定义：在极坐标系中，曲线可以用含有 、 这两个变数的方程 来表示，这种方 程叫做曲线的极坐标方程。,一,极坐标系下，曲线与方程的对应关系,2）说明：方程的每一个解为坐标的点都是曲线 上的点；曲线上每一个点的无穷多个坐标中， 至少有一个坐标满足方程。,和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适 合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的关系式 表示出来，就得到曲线的极坐标方程。,二 、求曲线的极坐标方程的方法和步骤：,O,x,1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）,解：如图，设所求直线上任一点 ， 与极轴所在直线交于N点，连接OM、OP,O,x,N,在 中，由正弦定理得：,即 方程 （定值）,当 时， 代入方程:,O,x,方程化为,（定值),当 时，代入方程 方程化为 （定值）,O,x,当 表示极点时， 代入方程,O,x,在 中，由余弦定理：,解：如图，设所求圆上任一点 ，,例：求极坐标系下，以定点 为圆心， 为半径的圆的方程。,2、圆的极坐标方程,即为所求圆方程。,o,x,当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：,当圆心在极轴上，且圆经过极点时，,O,x,则圆方程化为,即：,极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。,把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。 设M是平面