一元二次方程根与系数的关系教案.doc

一 编号：42元二次方程根与系数的关系 教者：董风占 学号：20112559 课题：一元二次方程根与系数的关系 教者董风占授课地点丹青楼124授课时间 2013年12月17日下午7、8节课教学目标知识目标（1）掌握一元二次方程根与系数的关系（2）会利用定理求解已知一元二次方程的两根之和及两根之积（3）会解一些简单的问题能力目标（1） 经历一元二次方程根与系数关系的探究 过程培养学生的观察思考，归纳概括能力（2）在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想德育目标（1） 通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心（2） 让学生感受到数学很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣和探究欲望教学重点（1）根与系数关系及运用教学难点（1）如何通过求根公式发现韦达定理（2）如何运用韦达定理解决一些一元二次方程求解问题教学关键（1）激发学生对根与系数关系的求知欲望（2）引导启发学生来发现如何推导跟与系数的关系教学方法引导启发式 合作探究式 教学手段板书，小黑板结合法教具黑板，表格、例题、习题各一张教案得分总分讲课得分课前准备：自制表格一张：一元二次方程 +.+6x-16=0（ ）（ ）-2x-5=0（ ）（ ）2-3x+1=0（ ）（ ）5+4x-1=0（ ）（ ） （设计意图：老师应该了解学生的计算能力，并结合学生的能力制作表格，表格前两个一元二次方程不能太难，让学生找到做题的自信，但是为了给新课铺垫，第三、四个一元二次方程的求根公式必须是复杂的，以此来激发发现新定理的欲望。表格的, 不能画“括号”，明确学生只计算， 的值，为发现新定理埋下伏笔 。）例题纸一张：例1. 若一元二次方程-4 x+2=0的两根是、，求下列各式的值：（1） + （2）+例2. 若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。（例1考察目的：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。）（例2考察目的：考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等。）教学过程：老师：现在开始上课学生：老师好老师：同学们好，请坐 创设情景、出示表格(约6分钟)老师：同学们，我们已经学习了用求根公式求解一元二次方程根的解法，那么老师现在就要检验一下同学们对求根公式的掌握程度，看一看谁能准确的，并且迅速的得出括号里答案。老师现在最多给同学们一分钟的时间。好的，同学们现在开始吧。（老师动作：将表格贴在黑板的右上角，巡视学生的求解情况）（设计意图：作为一名老师，应该了解学生的计算能力，表格前两个一元二次方程不能太难，让学生找到做题的自信，但是为了给新课铺垫，第三、四个一元二次方程的求根公式必须是复杂的，以此来激发发现新定理的欲望。表格的, 不能画“括号”，明确学生只计算， 的值，为新发现定理做铺垫 ，经过一分钟，学生由于计算量的庞大并没有完全计算出结果。） 老师：好，一分钟时间到，同学们有谁计算出全部结果？ 学生：（没有学生应答 ） 老师：是呀，同学们是不是感到计算量非常大呀。学生：是老师：好，同学们，老师今天也要和同学们一起比赛。老师也要计算下这个表格。（老师动作：老师迅速填完空，只填写与的值，并不填写与的值）学生：（立刻感到疑惑，有的怀疑老师课前准备了答案，有的认为老师有新的方法）老师：老师呀，并没有提前准备答案，也是现场做题？，为什么老师可以在15秒之内完成这份任务呢，老师为什么可以在不用求得与的值，就可以求得与的值呢？同学们想一下是不是与的值与系数直接存在着什么关系呢?（老师感想：解释给学生，保证答案的现场性和准确性，引导学生去想会有新的方法求解与的值）老师：同学们，我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：抛出的重物总会落下-万有引力定律（牛顿） 电路中的电流、电压、电阻存在一定关系：U=-欧姆定律而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：直角三角形的三边a,b,c满足关系：+=-勾股定理那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一下当科学家的感觉。（设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望，培养学生创新求知的品质。）（老师动作：板书本节课的题目一元二次方程根与系数的关系于黑板中上方） 师生互动，探究新知（17分钟）老师：好的，同学们我们理清下思路。我们知道，我们要推导某个定理。我们首先要知道它的什么呢？学生：条件，要推导的目标。老师：对的，我们必须要挖掘出已知条件，而且要明确我们推导的目标。（老师感想：提问学生时，应及时利用好学生的回答，而且问题要有针对性）老师：我们要解决的目标是什么呢？学生：与的值与系数的关系。老师：那么我们可以知道的条件呢？学生：一元二次方程a+bx+c=0（a0）的两根为、。（老师感想：时刻注意学生是否会注意a0这个细节，作为老师应该时刻规范学生的所学知识）老师：好的，非常好，那么同学们刚才是如何运用上节课的知识求解表格的？ 学生：首先我们是用求根公式计算出了、的值，然后在相加或者相乘。老师：很好，那我们看一看是不是可以用系数表示出来呀，那呢？学生：也可以(老师动作：把、的值用系数板书出来，即求根公式)老师：同学们，想一下，的值是不是也可以用系数a、b、c表示出来呀？那么我们应该怎么做？学生：两式相加老师：好的，那我们把两式相加，看一看会有怎样的结果（老师板书推导=的过程：+=+，化简得，。）老师：同学们做到这是不是有种豁然开朗的感觉，我们发现原来=，这是一个多么简答的结果呀，同学们是不是可以迅速的检验下老师做的对不对呢？（老师动作：老师引导学生一起去做。）（老师感悟：让学生运用新学到的知识解决以前没有解决的问题，增加学生的自信，由于是第一次接触根与系数的题，老师应该与学生一起做，并及时纠正学生的错误，）老师：同学们，对不对呀？学生：对老师：同学们是不是已经掌握了这种方法了呀？同学们是不是想迫切的知道的值呀。好的，有谁可以推导出的值（老师感想：授之以鱼不如授之以渔，让学生单独完成的推导，训练学生举一反三的能力）=（写于黑板左面）(老师动作：下讲台巡视学生的推导情况，时刻纠正学生的错误）经过几分钟的推导，提问学生的所得结果，纠正错误答案，得出正确答案。老师：同学们，我们得出的最终答案是什么？学生：=老师：很好，正确答案就是，现在我们是不是可以迅速计算表格的值了呀。学生开始计算，更加确信推导的正确性。老师：好的，同学们，我们一起总结下，我们所得出的结论（老师感想：老师一定要让学生说出来，让学生自己总结，训练学生的总结能力）（老师动作：将一元二次方程根与系数的关系具体内容写于黑板的中间板面）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）是：ax2+bx+c=0（a0）的方程的两根x1 ，x2 那么 x1+ x2=- x1 x2=，特别的x2+qx+p=0方程的两根x1 与x2. x1+ x2=-b, x1x2=c.老师：早在16世纪呀，法国数学家韦达就已经证明了这个定理，因此我们又把这个规律叫做韦达定理，同学们是不是感到有点可惜，如果我们生活的更早一些说说不定就叫做某某定理了呢。（老师感想：适当的在课堂上说点有趣的话，活跃课堂气氛) 例题讲解及运用定理的注意事项（11分钟）老师：下面同学们看下例题（老师动作：出示事先准备的例题）一、若一元二次方程-4 x+2=0的两根是、，求下列各式的值：（1）+ （2）+（1例题考查目的：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。）二、若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值（2例题考察目的：是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等。）老师：好的通过以上例题，同学们可以总结下我们应该在运用韦达定理时注意哪些事项吗。请小组讨论一下学生开始讨论老师：同学们已经得出结论了吧，哪位同学能够来回答一下？学生回答（老师感想：总结性问题一个多找几个学生回答）老师：好的我们讨论发现（1）定理成立的条件 （2）注意公式中x1+ x2=- 的负号与b的符号的区别（老师动作：板书注意事项的具体内容，与定理的下方并且强调一下） 课堂练习（约7分钟）（老师动作：出示练习题纸）【课堂练习】1设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值为_2已知方程2x23x+k=0的两根之差为2，则k= ;3.若方程x2+(a22)x3=0的两根是1和3，则a= ;（老师动作：巡视学生的做题情况待大多数学生做完后，提问学生，出示标准答案，点拨一下解题思路）（老师感想：出题量一定要结合学生的自身实力，出题要由易到难，有简单到复杂） 课堂总结（约5分钟）老师：好，这节课关于韦达定理我们就讲解这些内容，下面的时间，请同学们来总结一下本节课的内容，哪位同学来总结一下？学生1： 学生2：学生3：老师最后补充（老师动作：在学生说对的的时候，在黑板右边写下正确内容，在知识，方法，思想，等的收获） 作业布置（约1分钟）老师：同学们现在将课本翻到