三、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答.pdf

第三篇 特殊函数 -1 - 第三篇 特殊函数部分 第三篇 特殊函数部分 第 19 勒让德多项式 球函数习题及解答 第 19 勒让德多项式 球函数习题及解答 19.1 试证明 19.1 试证明 1 1P ( )d 0 n xx = ，其中，其中1,2,3,n =L. 19.219.2 计算 1 2 2 1 P ( )dIxxx =. 【答案 0,2/3; 2,4/15; 0,2,0nInInI=】 19.3 求积分 19.3 求积分 1 0 P ( )d l Ixx=. 【答案 . 【答案 0,1; 1,1/2; 2 ,1,0; (21)! 21,1, ( 1) (22)! k lIlIlk kI k lkkI k = =+= + 】 19.4 求积分 】 19.4 求积分 1 0 P ( )d l Ixxx=. 【答案 . 【答案 1 2 0,1/2; 1,1/3; 21,1, 0; (22)! 2 ,1, ( 1) 2 (1)!(1)! k k lIlIlkkI k lk kI kk + =+= = + 】 19.5 证明： 】 19.5 证明： 3 13 32 ( )( ) 55 xP xP x=+ 19.6 证明： 19.6 证明： 11 1 1 00 (1)( )d( )d mm nn mnx P xxmxPxx += 19.7 证明： 19.7 证明： 1 22 1 2 (21) (1)( ) d,0,1,2,. 21 n nn xP xxn n + = + L 19.8 计算 19.8 计算 11 11 (1) =P ( )d ; (2) =(23 )P ( )d nn IxxxIxxx + 【答案 【答案 (1)1,2/3;1,0;(2)0,4;1,2,0,1,0nInInInInI=】 19.9 求球内的调和函数 】 19.9 求球内的调和函数u，使得它满足边界条件，使得它满足边界条件 2 1 |cos r u = =. 【答案 . 【答案 2 2 12 ( , )(cos ) 33 u rPr=+】 19.10 求下列定解问题 】 19.10 求下列定解问题 2 22 2 1 11 ()(sin)0, (01) sin |cos2cos r uu rr rrrr u = += =+ 【答案 【答案 2 111 ( , )2coscos(2 ) 323 u rrr=+ +】 】 第三篇 特殊函数 -2 - 19.11 设 19.11 设 0, 1 ( ) 1,1 xa f x ax = ，试将函数，试将函数( )f x展开为广义傅里叶_勒让德级数. 【答案 展开为广义傅里叶_勒让德级数. 【答案 11 1 11 ( )( )( )( ), ( 11) 22 nnn n a f xPaPa P xx + = = 】 19.12 在半径为 1 的球的外部求调和函数，即求下列定解问题 】 19.12 在半径为 1 的球的外部求调和函数，即求下列定解问题 2 1 0 |cos lim0 r r u u u = = = = 【答案 【答案 2 33 1cos1 ( , ) 33 u r rrr =+】 】 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 19.13 19.13 用计算机仿真方法绘出勒让德多项式 12345 P ( ),P ( ),P ( ),P ( ),P ( )xxxxx的曲线 【提示：【提示： 若使用 MATLAB 绘图，对于勒让德多项式可使用语句 legendre(N,x)】 】 解：matlab绘勒让德多项式 12345 P ( ),P ( ),P ( ),P ( ),P ( )xxxxx的曲线的程序C19.13.m: x=0:0.01:1; y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x); y3=legendre(3,x); y4=legendre(4,x); y5=legendre(5,x); plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,:),x,y 5(1,:) title(Legendre) 21.13 21.13 试用计算机仿真方法绘出 试用计算机仿真方法绘出 00120123 12223333 ( );( ),( ),( );( ),( ),( ),( )Px Px P x Px Px P x Px Px的曲线。 的曲线。 【提示：【提示： 若使用 MATLAB 绘图，可使用语句 legendre(N,x)，但需注意连带勒让德函数调用格式 与勒让德多项式有所区别. 可参考下一篇计算机仿真】 】 解： matlab 绘勒让德函数 00120123 12223333 P ( );P ( ),P ( ),P ( );P ( ),P ( ),( ),( )xxxxxx Px Px的曲线的程 序 C19.14.m: x=0:0.01:1; y=legendre(1,x); subplot(3,1,1) plot(x,y(1,:),-,x,y(2,:),-.) 题 19.13 勒让德多项式曲线 第三篇 特殊函数 -3 - legend(P_10,P_11); y=legendre(2,x); subplot(3,1,2) plot(x,y(1,:),-,x,y(2,:),-.,x,y(3,: ),:) legend(P_20,P_21,P_22); y=legendre(3,x); subplot(3,1,3) plot(x,y(1,:),-,x,y(2,:),-.,x,y(3,: ),:,x,y(4,:),-) legend(P_30,P_31,P_32,P_33); - 第 20 章 贝塞尔函数习题及解答 - 第 20 章 贝塞尔函数习题及解答 20.1 证明： 01 ( )( )JxJ x= . 20.2 求 0( ) d Jax dx 。 【答案： 1( )Jx】 20.3 求 1 () d xJ ax dx 【答案： 0( )xJx 】 20.4 计算积分 4 1( )d Ix J xx= 题 19.14 一、二、三阶连带勒让德函数 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -1 -0.5 0 0.5 1 P1 0 P1 1 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -2 0 2 4 P2 0 P2 1 P2 2 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -20 -10 0 10 P3 0 P3 1 P3 2 P3 3 第三篇 特殊函数 -4 - 【答案 432 012 ( )4( )8( )Ix Jxx J xx Jxc= +】 20.5 验证函数 3 2 ( )yxJx=是方程 22 (2)0 x yxy + =的解。 20.6 验证函数( ) n yxJx=是方程 222 (1)0 x yxyxny+=的一个特解. 22 7 证明 2222 0101110 d (1) ( )( )( )( ); (2) ( )d2( )( ) d xJx J xx JxJxx J x xxJ xx Jxc x =+ . 20.8 证明： 200300 1 (1) J ( )J ( )J ( ); (2) J ( )+3J ( )+4J ( )=0 xxxxxx x = 209 209 半径为b，高为h的均匀圆柱体，下底和侧面保持为零度，上底温度分布为 2 r。求 圆柱内的稳定温度分布。 【解】求解区域为圆柱体，故采用柱坐标系，坐标原点取在下底的中心，z轴沿圆柱的轴， 由题意可见，温度分布与无关，可用),(zru表示，因为稳定的温度分布遵守拉普拉斯方 程，故定解问题为 += = =+ = = 0 2 0 , 0 , 0 )0 ,20 ,0( , 0 1 rbr hzz zzrrr uu ruu bzbruu r u (1) (2) (3) 分离变量 分离变量 令)()(zZrRu=，代入（1）和（2）中，有 = = + Z Z R R r R 1 其中为常数，由此可分离成两个常微分方程 0= ZZ （4）（4） += =+ =0 22 , 0 0 rbr RR RrRrRr (5) 求解固有值问题（5）求解固有值问题（5） += += =0 0201 , 0 )()( rbr RR rYCrJCR 可得固有值和固有函数 )()( )0( 0 2 )0( r b JrR b n n n n = = L, 2 , 1=n 求解关于 求解关于)(zZ的常微分方程 的常微分方程 z b n z b n z n z nn nn eBeAeBeAZ )0()0( +=+= 作特解的线性组合，并由边界条件定系数 作特解的线性组合，并由边界条件定系数 第三篇 特殊函数 -5 - = += = = 2 0 )0( 0 1 , 0 )( )0()0( ruu r b JeBeAu hzz n n z b n z b n nn (6) 0=+ nn BA （7） 2 1 )0( 0 )( )0()0( rr b JeBeAu n n h b n h b n nn =+= = （8） 由（7） ， nn AB=，代入（8）中，由双曲正弦函数的定义，有 2 1 )0( 0 )0( )()(2rr b Jh b shAu n nn n = = 其中， (0) 3 0(0) 0 2(0)2 1 2 () 2()() b n n n n Ar Jr dr b shh Jb b = *) )( 4 1 )()( 2)0()0( )0( 1 )0( 2 nn nn h b shJ b = 将 n A及 nn AB=代入（6）中 = = 1 2)0()0( )0( 1 )0( )0()0( 0 2 )( 4 1 )()( )()( 2),( n nn nn nn h b shJ z b shr b J bzru 注意： (0)4 3(0) 01 (0)(0)2 0 4 ()()1 () b n n nn b r Jr drJ b = 20.10 设沿z方向均匀的电磁波在底半径为 1 的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数等于 零，从静止状态开始传播，初速度为（ 2 1r） 。求其传播规律（假设对于极角对称） 。 【解】本定解题归结为求如下定解问题 = += += 2 2 1)0 ,(, 0)0 ,( ), 0(, 0), 1 ( ) 1, 0( , 1 rruru tutu rtu r uau t r rrrtt 的解。 利用分离变量法求解这个问题，设)()(),(tTrRtru=为方程的解，代入方程分离整理， 并令分离系数为，则有 0)()( 2 =+ tTatT （1） 第三篇 特殊函数 -6 - += =+ )0(, 0) 1 ( 0)()( 1 )( RR rrRrR r rR （2） 对于边值问题（2） ，有解 )()()( 0101 rYBrJArR+= 由自然边界条件+)0(R，必取0 1 =B，而由边界条件0) 1 (=R，得，)( 0 J =0,即 （根据递推公式）0)( 1 =J 设 )1( m 是)( 1 J的零点，于是得本征值 ), 2 , 1( ,)( 2)1( L=m mm 及本征函数 ), 2 , 1(),()( )1( 01 L=mrJArR mmm 此外，对应与)(tT，有 atBatAtT mmmmm )1( 2 )1( 2 sincos)(+= 因此得到一系列解),(trum，经叠加后，有 = += 1 )1( 0 )1()1( )()cos(),( m mmmmm rJatsimbatatru 代入初始条件，以确定系数 mm ba ,，则0)()0 ,( 1 )1( 0 = =m mm rJaru，所以0= m a 又 = = 1 )1( 0 )1(2 )(1)0 ,( m mmm rJbarru，得 1 2(1) 0 0 2 (1)(1) 0 (1)() () m m mm rJr rdr b aJr = 现计算分子积分值： 111 2(1)(1)(1)3 000 000 (1)()()() mmm rJr rdrJr rdrJr r dr= 由递推公式，有 )()()()()( )1()1( 0 )1()1( 1 )1( rdrJrrJrd mmmmm = 得 1 (1)(1)1 010 (1) 0 1 ()()0 mm m Jr rdrrJr = 及 (1) 11 (1)32(1)1 02 (1)(1)2 00 ()2 ()() () m mm mm rJr Jr r drr dJ = 再计算模值（平方） ，有 12 (1)2(1) 00 0 ()() mm JrJr rdr= 令rx m )1( =，则 (1) 2 (1)22 00 (1)2 0 1 ()( ) () 2() m m m JrJx d x = 第三篇 特殊函数 -7 - (1) (1) (1) (1) 222 0000 (1)2(1)2 0 1 2(1)2 0000 (1)2 0 2(1)22 00 (1)2 0 2(1)22 000 (1)2 2(1) 0 11 ( )( )( ) 2()() 11 ()( )( )( ) 2() 12 ()( ) 2() 12 ()( ) 2() 1 ( 2 m m m m mm m m m m m m m x Jxx Jx Jx dx Jx JxxJx Jx dx Jx Jx Jx Jx J = =+ =+ =+ = ) 由此求得系数 )()( )(4 )1(2 0 3)1( )1( 2 mm m m Ja J b ，或由递推公式，有 )()( 4 )1( 0 3)1( mm m Ja b = 最后便得到所求解为： = = 1 )1( 0 )1( )1( 0 3)1( )(sin )()( 14 ),( m mm mm rtJa Ja tru = = 1 )1( 0 )1( )1( 0 3)1( )(sin )()( 14 ),( m mm mm rtJa Ja tru 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 计算机仿真编程实践 20.1120.11 计 算 机 仿 真 绘 出 第 一 类 贝 塞 尔 函 数 012345 J ( ),J ( ),J ( ),J ( ),J ( ),J ( )xxxxxx的图形 【提示提示： 若用 MATLAB 仿真， 对应第一类贝塞尔函 数可使用 Bessekj(n,x)】 解 ： matlab绘第 一 类 贝 塞 尔 函 数 012345 J ( ),J ( ),J ( ),J ( ),J ( ),J ( )xxxxxx的图形的程序 C20.11.m: clear y=besselj(0:5,(0:.2:10); figure(1) plot(0:.2:10),y) 20.1220.12 计算机仿真绘出第二类贝塞尔函数 012345 N ( ),N ( ),N ( ),N ( ),N ( ),N ( )xxxxxx的图形 【提示提示：若用 MATLAB 仿真，对于第二类贝塞尔函数可使用 Besseky(n,x)】 解：matlab 绘第二类贝塞尔函数 012345 N ( ),N ( ),N ( ),N ( ),N ( ),N ( )xxxxxx的图形的程序 C20.12.m: y=bessely(0:1,(0:0.1:10); subplot(2,1,1); plot(0:0.1:10),y) 题 20.11 第一类贝塞尔函数曲线分布 第三篇 特殊函数 -8 - y=bessely(2:6,(0:0.1:10); subplot(2,1,2); plot(0:0.1:10),y) grid on 20.1320.13 计算机仿真绘出第一种汉克尔函数 （第三类贝塞尔函数） (1)(1)(1)(1) 0123 H( ),H( ),H( ),H( )xxxx的图形 【提示提示： 若用 MATLAB 仿真， 对于第一种汉 克尔函数可使用 Besselh(n,1, x) 】 解 ： matlab绘第 一 种 汉 克 尔 函 数 (1)(1)(1)(1) 0123 H( ),H( ),H( ),H( )xxxx的图形的程 序 C20.13.m: y=besselh(0:3,1,(0:0.1:10); % subplot(2,1,1); plot(0:0.1:10),y) % y=besselh(2:6,1,(0:0.1:10); % subplot(2,1,2); % plot(0:0.1:10),y) grid on 20.1420.14计 算 机 仿 真 绘 出 第 二 种 汉 克 尔 函 数 （ 第 三 类 贝 塞 尔 函 数 ） (2)(2)(2)(2) 0123 H( ),H( ),H( ),H( )xxxx的图形 【提示提示：若用 MATLAB 仿真，对于第一种汉 克尔函数可使用 Bessekh(n,2, x) 】 解 ： matlab绘第 二 种 汉 克 尔 函 数 (1)(1)(1)(1) 0123 H( ),H( ),H( ),H( )xxxx的图形的程序 C20.14.m: y=besselh(0:3,2,(0:0.1:10); plot(0:0.1:10),y) grid on 012345678910 -8 -6 -4 -2 0 2 012345678910 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 x 10 9 012345678910 -0.5 0 0.5 1 012345678910 -0.5 0 0.5 1 第三篇 特殊函数 -9 - 第三篇第三篇 综合测试题及其解答综合测试题及其解答 第三篇 特殊函数综合测试题 第三篇 特殊函数综合测试题 一填空 (20 分) 1 1 2 3581050 1 ( )( )d_.x Px Pxx = 2在自然边界即 1 |xy = 有界条件下，对于施刘（Sturm-Liouville）型本征值问题 2 2 2 d (1)( )( )0, (| 1) d1 m xyy xy xx xx += 则本征值=_;本征函数_. 3已知 01 ( )1,( ),P xP xx=则 2( ) _;P x =而函数 2 1 ( )35 2 f xxx=+按( ) l P x的展开式为 ( )_.f x = 4. 0u =在球域内的解为( , , )_.u r = 二(20 分)利用特殊函数的有关性质，计算积分 （1） 1 3 0 10 (1) =P ( )d ; (2) =J ( )d a n Ix xIxxx