数学物理方法第一章作业答案.pdf

第一章 复变函数 1.1 复数与复数运算 1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）2z 解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2）bzaz=， （a、b 为复常数） 解：点 z 到定点 a 和 b 的距离相等的各点集合，即 a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3）zRe1/2 解：直线2/1=x右半部分，不包括该直线。 （4）1Re+zz 解：即1 22 +xyx，则1x， xy21 2 ，即抛物线xy21 2 =及其内部。 （5）zarg，azReb， （、a、b为实常数） 解： （6） 4 arg0 + iz iz 解： 22 22 ) 1( 21 + + = + yx xiyx iz iz 因为 4 arg0 + iz iz 所以 1 )1( 1 )1( 2 0 0 )1( 1 0 )1( 2 22 22 22 22 22 22 + + + + + + yx yx yx x yx yx yx x ，即0x21, 0x 22 +yx 综上所述，可知z为左半平面x0，但除去圆0x21 22 =+ yx及其内部 （7）, 1 1z 1-z + 解： () () 2 2 2 2 2 2 2 22 1 4 1 1 iy1 1 1z 1-z yx y yx yx x iyx + + + + = + + = + 所以()() 2 2 2 2 2 22 141yxyyx+ 化简可得0x （8）)/1Re(z =2 解：2e x 1 e)/1Re( 2222 = + = + = + = yx x yx iyx R iy Rz 即()16/14/1 2 2 =+yx (9) 22 ReaZ = 解： 2222 ReayxZ= (10) 2 2 2 1 2 21 2 21 22zzzzzz+=+ 解：()()()()()() 2 2 2 2 2 1 2 1 2 21 2 21 2 21 2 21 22yxyxyyxxyyxx+=+ 可见，该公式任意时刻均成立。 2、 把下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来。 （1）i=()()2/sin2/cosi+= 2/i e （2）-1=sincosi+= i e （3） 3 sin 3 cos223i1 3/ iei+=+ （4）sincos1i+（是实常数）= 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 i+ =) 2 cos 2 (sin 2 sin2 i+=) 2 sin 2 (cos 2 sin2 + i= 2 2 sin2 i e （5） 3 z=iyyxxyxiyx)3(3)( 32233 +=+=()3sin3cos 3 i+= 33i e （6）()1sin1cos 1 ieeee ii += + （7）() ()ii+1/1=i=()()2/3sin2/3cosi+= 2/3i e 3、计算下列数值。 （a、b、为实常数） （1）iba+ 解：由公式 1.1.19 知，原式等于() 2/sin2/cos 22 iba+ ()() () 2 , 0 2/sin21cos 2/cos2/sin2sin 22 2 22 + = + = ba a ba b ，因此可得 () 2 1 )2/sin( 2 1 2/cos 22 22 ba a ba a + = + + = 原式=()() +abaiaba 2/1 22 2/1 22 2 2 （2） 3 i = )3/26/(3/122/( )( kiki ee + = （3） i i = )22/(22/( )( kiki ee + = （4） i i = ki ki ee 22/1 )2 2 ( )( + + = （5）5cos， （6）5sin 解： 5 )sin(cos5sin5cosii+=+ = 5432234 sinsincos5sincos10sincos10sincos55cosiii+ =)sinsincos10sincos5()sincos5sincos105(cos 5324423 +i 因此， （5）= 423 sincos5sincos105cos+， （6）= 5324 sinsincos10sincos5+ （7）ncos.3cos2coscos+， （8）nsin.3sin2sinsin+ 解： )sin2sin(sin)cos2cos(cosnin+LL =)sin(cos)2sin2(cos)sin(cosninii+L = inii eee+L 2 = i ii e ee 1 1 n = )1)(1 ( )1 (1 n ii iii ee eee = () () ii niini ee eee + + 2 1 1 = () () () () cos12 1sinsinsin cos12 11coscoscos + + +nn i nn = ()() 2 sin2 2/1cos 2 cos 2 sin2 2 sin2/1sin + + +n i n 因此， （7）= () 2 sin2 2 sin2/1sin +n ，（8）= () 2 sin2 2/1cos 2 cos +n 1.2 复变函数 2、计算下列数值（a、b为实常数，x为实变数） (1)sin(iba+= 2 1 )()(ibaiibai ee i + = )( 2 1 biabia ee i + =)( 2 1 iabiab eeee i =)sin(cos)sin(cos 2 1 aiaeaiae i bb + =a ee ia ee bbbb cos 2 )( sin 2 )( + + （2）)cos(iba+= 2 1 )()(ibaiibai ee + += )( 2 1 biabia ee + +=)( 2 1 iabiab eeee =)sin(cos)sin(cos 2 1 aiaeaiae bb + =a ee ia ee bbbb sin 2 )( cos 2 )( + + （3）) 1ln(= )2( ln ki e + =) 12(+ki （4）zshzch 22 = )( 2222 zshzchzshzch+ =)( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 zzzzzzzz eeeeeeee += zz ee =1 （5）ixcos=2/ )( xx ee+ =chx （6）ixsin=)2/()(iee xx =ishx （7）chix=2/ )( ixix ee +=2/ )sincossin(cosxixxix+=xcos （8）shix=2/ )( ixix ee =2/ )sincossin(cosxixxix+=xsin （9） zibiaz e sin = zibiaze e sin = zibiaz ee sin = 2 1 )( )()(iyxiiyxi ee i ib iyxia ee + + = )sin(cos 2 )sin(cos 2 xixe b xixe b iaxay yy eee + = )sin( 2 sin* 2 cos 2 cos 2 xie b xie b xe b xe b ay yyyy eeee + = xe b xe b ay yy ee cos 2 cos 2 + 3、求解方程2sin=z 解：zsin=)( 2 1 iziz ee i =)( 2 1 ixyixy ee i + =)( 2 1 ixyixy eeee i =2 =)sin(cos)sin(cos 2 xixexixe i yy + =xee i xee yyyy cos)( 2 sin)( 2 1 +=2 则，xee yy sin)( 2 1 +=2，xee yy cos)( 2 1 =0，所以，必有xcos=0，即x=k22/+， 代入方程，得4=+ yy ee，即y=)32ln( 得z=)32ln(22/+ik 1.3 导数 试推导极坐标系中的柯西黎曼方程 证明：时为定值，而当0= i ez + * ),(),(),(),( lim 0 i e e ivuivu i ),(),(),(),( lim 0 + + + = vv ie uu e ii )(lim 0 + = v ie u e ii 时为定值，而当 = ii eiez)( + i ei ei ivuivu i ),(),(),(),( lim 0 ) 1 ( ),(),( ) 1 ( ),(),( lim 0 ii ei vv iei uu + + + = + = v e u ei ii 11 要使两式相等，则有 = = v e u e v ie u ei ii ii 1 1 = = uv vu 1 1 1.4 解析函数 2、已知解析函数( )f z的实部或虚部，求该解析函数。 （1）yeu x sin= 解：由C-R条件，ye y v x u x sin= = ，ye x v y u x cos= = 利用凑全微分显式方法，即上式中 Cyeydeydeydyeydxev xxxxx +=+=+= cos)cos(cossincos 则iCieiCyieyezf zxx +=+=cossin)( （2）()(),cossin x u x yexyyy=，且( )00f= 解：由C-R条件 ()cossincoscossincos xxx vu exyyyeyexyyyy yx =+=+ ()sinsincoscos1 sin xx vu exyyyyeyyxy xy = = =+ ()cos1 sincossincos xx vv dvdxdyeyyxy dxexyyyy dy xy =+=+ 利用凑全微分显式方法，即上式中 ()()()cos1 sincossin xxx eyyxy dxyyd eyd xe+=+ ()()()coscossinsincos xxx exyyyydyxe dye d yy+=+ ()() cossin xx dvd yy ed xey=+ ()cossin x veyyxyC =+ 下面求积分常数C： ( )()()()000,00,0000fuiviCC=+=+= ( )()() ()() ()() cossincossin cossincossin cossin xx x x xiyx iyz f zexyyyieyyxy exyiyiyyiy exiyyiy e zezeze + =+ =+ =+ = （3） xee x u yy 2cos2 2sin2 2-2 + =，0) 2 (= f 解：由C-R条件 22-2 -22 )2cos2( 8)(2cos4 xee eex y v x u yy yy + + = = ， 22-2 -22 )2cos2( )(2sin4 xee eex x v y u yy yy + = = 利用凑全微分显式方法，即上式中 + + + + =dy xee eex dx xee eex v yy yy yy yy 22-2 -22 22-2 -22 )2cos2( 8)(2cos4 )2cos2( )(2sin4 = + + ) 2cos2 ( 2-2 -22 xee ee d yy yy = C xee ee yy yy + + + 2cos2 2-2 -22 则iC xee ee i xee x zf yy yy yy + + + + + = 2cos22cos2 2sin2 )( 2-2 -22 2-2 = iCctgz+ 由0) 2 (= f，得0=C。因此，ctgzzf=)( （4） 22 yx y v + =，且0)2(=f 解：由C-R条件， 222 22 )y(x yx y v x u + = = ， 222 )y(x 2xy x v y u + = = 利用凑全微分显式方法，即上式中 C yx x dy )y(x 2xy dx )y(x yx u 22222222 22 + + = + + + = 则 2222 yx y iC yx x ) z(f + + + = 下面求积分常数C： 4 0 iC 4 2 )2(f+=，所以 2 1 C =， z 1 2 1 yx y i 2 1 yx x )z(f 2222 = + + + = （5） 222 22 )y(x y-x u + =，且0)(f= 解：由C-R条件 422 2244 )y(x )y2xy2y(3x y u x v + + = = ， 422 2244 )y(x )y2xx2x(3y x u y v + + = = 利用凑全微分显式方法，即上式中 C )y(x 2xy dy )y(x )y2xx2x(3y dx )y(x )y2xy2y(3x v 222422 2244 422 2244 + + = + + + + + = 则 222 22 222 )y(x y-x iCi )y(x 2xy )z(f + + + = 下面求积分常数C： 0iC)(f=，所以0C =， z 1 ) z(z yi)-(x i )y(x 2xy )y(x y-x ) z(f 2 2 222222 22 = + + = （6）xyy-xu 22 +=，且00)(f= 解：由C-R条件，x2y y u x v = = ，y2x x u y v += = 利用凑全微分显式方法，即上式中 C 2 xy 2xydy)y2x(x)dx(2yv 22 + +=+= 则iC) 2 xy 2xy( ixyy-x)z(f 22 22 + += 下面求积分常数C： 0iC)0(f=，所以0C =， ) 2 i 1 (zi 2 z z) 2 xy 2xy( ixyy-x) z(f 2 2 2 22 22 = += （7） 23 3xyxu=，0)0(=f 解：由C-R条件， 22 33yx y v x u = = ，xy x v y u 6= = 利用凑全微分显式方法，即上式中 +=dyyxxydxv)33(6 22 = Cyyx+ 32 3 则iCyyxixyxzf+=)3(3)( 3223 = iCz+ 3 由0)0(=f，得0=C。因此， 3 )(zzf= （8） 3223 236yxyyxxu+=，0)0(=f 解：由C-R条件， 22 3123yxyx y v x u += = ， 22 666yxyx x v y u = = 利用凑全微分显式方法，即上式中 +=dyyxyxdxyxyxv)3123()666( 2222 = Cyxyyxx+ 3223 632 则iCyxyyxxiyxyyxxzf+=)632(236)( 32233223 =iCyixz+ 33 )(2=iCizz+ 33 )(2=iCiz+)21 ( 3 由0)0(=f，得0=C。因此，)21 ()( 3 izzf= （9） 4224 6yyxxu+=，0)0(=f 解：由C-R条件， 23 124xyx y v x u = = ， 32 412yyx x v y u += = 利用凑全微分显式方法，即上式中 +=dyxyxdxyyxv)124()412( 2332 = Cxyyx+ 33 44 则iCxyyxiyyxxzf+=)44(6)( 334224 =iCz+ 4 由0)0(=f，得0=C。因此， 4 )(zzf= （10）ln=u，0) 1 (=f 解：由C-R条件， 11 = = vu ，0= = vu 利用凑全微分显式方法，即上式中 =dv= C+，则iCizf+=ln)(= iCei+)ln( =iC