2016届福建省福州三中高三最后模拟数学(理)试题(解析版).doc

2016届福建省福州三中高三最后模拟数学（理）试题一、选择题1若复数为纯虚数，则实数的值为( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：为纯虚数，所以，故选D.【考点】复数的四则运算.2已知集合,，则等于( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：,，所以.【考点】集合的并集运算.3执行右面的程序框图，如果输入的的值为1，则输出的的值为( )（A）4 （B）13 （C）40 （D）121【答案】C【解析】试题分析：当输入时，第一次循环后的结果是；第二次循环后的结果是；第三次循环后的结果是；此时，所以结果为40，故答案为C.【考点】循环结构.4我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为( )（A）斤 （B）斤 （C）斤 （D）斤【答案】B【解析】试题分析：此问题是一个等差数列，设首项为，则，中间尺的重量为斤故选：B【考点】等差数列的通项公式5已知，则等于( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：，又，所以.【考点】1.诱导公式；2.三角恒等变换.6若命题 ，命题，则下列命题为真命题的是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析： ，所以命题是真命题；命题，所以对任意的恒成立，所以命题是假命题，所以为真命题.【考点】命题的真假判断；2.逻辑连词.7为保证青运会期间比赛的顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆的条件下，场馆有两名志愿者的概率为( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：甲被分配到场馆的条件下，场馆有两名志愿者的安排种数有种，场馆有一名志愿者的安排种数有种，所以甲被分配到场馆的条件下，其他志愿者安排的情况共有种；故在甲被分配到场馆的条件下，场馆有两名志愿者的概率为.【考点】1.排列组合；2.古典概型.8已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C）或 （D）【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由目标函数得，则直线的截距最大，最大，直线的截距最小，最小目标函数的最大值为，最小值为，当目标函数经过点时，取得最大，当经过点时，取得最小值，目标函数的目标函数的斜率满足比的斜率小，比的斜率大，即，故选D.【考点】简单线性规划【方法点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数，首先，作直线，并将其在可行区域内进行平移；当时，直线在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当时，直线在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小.9一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：该三视图的直观图，如下图所示，四棱锥，其中底面是直角梯形，由此可知该几何体的体积为，故选B.【考点】空间几何体的三视图.10在平行四边形中，为平行四边形内一点，若（），则的最大值为( )（A）1 （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：，即，又，的最大值为，当且仅当取等号【考点】平面向量数量积的运算11已知从点出发的三条射线，两两成角，且分别与球相切于，三点若球的体积为，则，两点间的距离为( )（A） （B） （C）3 （D）【答案】B【解析】试题分析：连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以因为，所以，所以又因为球的体积为，所以半径，所以【考点】点、线、面间的距离计算【思路点睛】连接交平面于，由题意可得：由可得 ，根据球的体积可得半径，进而求出答案12已知点是双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由 ，可得 ，即有 为直角三角形，且，可得 ，由双曲线定义可得 ，又 ，可得，即有 ，化为，即有 ，可得 ，由 可得 ，故选：C【考点】双曲线的简单性质【思路点睛】由直角三角形的判定定理可得 为直角三角形，且PF1PF2，运用双曲线的定义，可得，又 ，可得 ，再由勾股定理，即可得到，运用离心率公式，即可得到所求范围二、填空题13已知函数满足，且当时，则_【答案】【解析】试题分析：，又，可得，若，又.【考点】1.函数的周期性；2.对数的运算.14过抛物线上任意一点向圆作切线，切点为，则的最小值等于_【答案】【解析】试题分析：设 圆心 ，半径 ，当且仅当，即取点 时，取等号故的最小值等于 【考点】抛物线的简单性质15在数列中，已知，前项和满足()，则当时，_【答案】【解析】试题分析：当 时， ， ， ， ，即数列为等差数列，又，又，可得，可得，又，所以当时，.【考点】1.数列的递推公式；2.等差数列.【思路点睛】运用 ，代入化简得出：， ，即数列为等差数列，又得，又，可得，可得，进而求出，再根据等差数列的通项公式即可求出结果.16已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：，由题可知，有两个根，所以有两根，即有两根，即函数与函数的图像有两个交点，由于函数必过点，设过点且与函数相切的直线的切点坐标为，所以切线的方程为，所以，故切线方程为，此时直线斜率为，故.【考点】函数的极值.【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为三、解答题17如图，点在内，设（）用表示的长；（）求四边形面积的最大值，并求出此时的值【答案】（） ；（）2【解析】试题分析：(1)在三角形中，由及，利用余弦定理列出关系式，记作；在三角形中，由及，利用余弦定理列出关系式，记作，由消去，得到关于的方程，整理后可用表示的长；(2)由三角形的面积公式表示出三角形及三角形的面积，两三角形面积之差即为四边形 的面积，整理后将表示出的代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形的面积的最大值，以及此时 的值试题解析：解：（）在中，由余弦定理得：， 2分在中，设，由余弦定理得：， 3分所以， 4分所以，解得. 6分（）四边形的面积，因为， 7分， 9分所以， 10分所以当，即时， 11分四边形的面积的最大值为 12分.【考点】余弦定理18某商家每年都参加为期5天的商品展销会，在该展销会上商品的日销售量与是否下雨有关经统计，2015年该商家的商品日销售情况如下表：日期6月18日6月19日6月20日6月21日6月22日天气小雨小雨多云多云晴日销售量（单位：件）97103120130125以2015年雨天和非雨天的日平均销售量估计相应天气的销售量若2016年5天的展销会中每天下雨的概率均为，且每天下雨与否相互独立（）估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数；（）该商品成本价为90元/件，销售价为110元/件（）将销售利润（单位：元）表示为2016年5天的展销会中下雨天数的函数；（）由于2016年参展总费用上涨到2500元，商家决定若最终获利大于8000元的概率超过0.6才继续参展，请你为商家是否参展作出决策，并说明理由【答案】（）550；（）（）；（）商家应决定参加2016年的展销会【解析】试题分析：（）由该商家的商品日销售情况表可知：2015年雨天的日平均销售量为件，非雨天的日平均销售量为件，可设2016年5天的展销会中下雨的天数为，则，据此即可求出结果；（）（）依题意得，销售利润=由此即可求出结果；（）设商家最终获利为，则，若最终获利大于8000元，则，解得，所以，又因为，所以最终获利大于8000元的概率为： 试题解析：解：（）由2015年该商家的商品日销售情况表可知：2015年雨天的日平均销售量为件，非雨天的日平均销售量为件， 设2016年5天的展销会中下雨的天数为，则， 所以， 4分所以估计2016年5天的展销会有3天下雨，2天不下雨，所以估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数为（件）. 5分（）（）依题意得，销售利润=， （）设商家最终获利为，则， 若最终获利大于8000元，则，解得，所以，又因为，所以最终获利大于8000元的概率为： 9分 所以商家应决定参加2016年的展销会注：本小题也可用对立事件的概率计算 所以商家应决定参加2016年的展销会【考点】1.古典概型及其概率计算公式；2.数学期望和方差.19如图，正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面（）求证：平面平面；（）若，求二面角的余弦值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）因为平面，平面，所以，在正方形中，又因为，所以平面， 再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（）在平面内，过作，由（）知平面，所以，所以，又平面，所以两两垂直以，分别为轴，建立空间直角坐标系，然后再利用空间向量即可求出结果.试题解析：解：（）因为平面，平面，所以， 2分在正方形中，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面（）在平面内，过作，由（）知平面，所以，所以，又平面，所以两两垂直 以，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示， 因为，所以，又，所以，所以，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，所以由，得，令，则， 10分所以，设二面角为，所以 【考点】1.线面垂直的判定定理；2.面面垂直的判定定理；3，,空间向量；4.二面角.【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为，设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图1）或 （图2）其中.20、分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，是上任意一点，是线段的中点已知的周长为，面积的最大值为（）求的标准方程；（）过作直线交于两点，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的取值范围【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）连接，由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，周长为，可得，又 面积，可得，由即可求出椭圆方程；（）设，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得， ， ， 9分设，则，然后再利用基本不等式即可求出结果.试题解析：解：（）连接，由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，周长为，即， 2分又 面积，所以当时，最大，所以， 4分由解得，所以的标准方程为 （）设，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得， ， ， 设，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 四边形面积的取值范围 【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.21已知，函数，曲线与轴相切（）求的单调区间；（）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由【答案】（）在上单调递增，在上单调递减；（）【解析】试题分析：（）设切点为，依题意解得 所以，即可求出结果（） 等价于或令，则，然后再对进行分类讨论，即可求出结果. 试题解析：解：（）设切点为，依题意即解得 3分所以，当变化时，与的变化情况如下表：所以在上单调递增，在上单调递减 5分（）存在，理由如下： 6分等价于或令，则，若，当时，所以；当时，所以，所以在单调递减区间为，单调递增为，又，所以，当且仅当时，从而在上单调递增，又，所以或即成立 9分若，因为，所以存在，使得，因为在单调递增，所以当时，在上递增，又，所以当时，从而在上递减，又，所以当时，此时不恒成立； 11分若，同理可得不恒成立综上所述，存在实数 12分.【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.分类讨论.22选修4-1：平面几何选讲如图，分别为边，的中点，直线交的外接圆于点，且（）证明： ；（）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长【答案】（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD，而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，即可证明结果.（）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以，因为A，B，C，F四点共圆，所以，所以，所以，因为，又由（）知，可得，因为是圆的切线，所以根据切割线定理可得：，即可求出结果.试题解析：解：（）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，所以CDBC. 5分（）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以，因为A，B，C，F四点共圆，所以，所以，所以，因为，又由（）知，所以，所以，因为是圆的切线，所以根据切割线定理可得：，所以 10分.【考点】与圆有关的线段问题.【一题多解】（）同解法一 （）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以，因为A，B，C，F四点共圆，所以，所以，所以，过点C作CMAB于M，由（）知：，所以M是BD中点，又因为所以，由（）知：，所以，所以，所