高中数学易错点梳理.doc

高中数学易错点梳理1一、集合与简易逻辑1二、函数与导数3三、数列8四、三角函数10五、平面向量13六、不等式15七、立体几何17八、解析几何21九、概率与统计25十、其它28高中数学易错点梳理 俗话说，明抢易躲，暗箭难防。数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出了高中课本中一些常见的易错点，希望同学们在今后的学习中引以为戒。一、集合与简易逻辑易错点1 对集合表示方法理解存在偏差错因分析：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。【问题】1: 已知，求。错解： 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。【问题】2: 已知，求。错解： 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为为点集。易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集错因分析：由于空集是任何集合的子集。因此对于集合就有，三种情况。在解题中，如果思维不够缜密，就有可能忽视了，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。【问题】: 已知，且，求 的取值范围。错解：-1，0）剖析：忽视的情况易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性错因分析：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。【问题】: 已知1, ，求实数的值。错解： 剖析：忽视元素的互异性，其实当时，=1；当时， =1；均不符合题意。易错点4 命题的否定与否命题关系不明错因分析：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；审题不够细心。【问题】: 写出“若，则”的否命题。错解一：否命题为“若，则”剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。错解二：否命题为“若，则”剖析：知识不完整，的否定形式应为。易错点5 充分必要条件颠倒出错错因分析：对于两个条件，如果，则是的充分条件，是的必要条件，如果，则是的充要条件。判断充要条件常用的方法有定义法；集合法；等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断。【问题】:已知是实数，则“且”是“且”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 错解：选B剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。易错点6 对逻辑联结词及其真值表理解不准错因分析：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：“”有真则真；“”有假则假；“”真假相反。【问题】: 命题p：若a、bR，则是的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（，13，+，则A“”为假 B“”为真 C D 解法一：选或 剖析：对真值表记忆不准，本题中，因此“”为真，而“”为假。解法二：选 误区二：基础不牢，在判断命题真假时出错。易错点7 否定全称、特称命题出错错因分析：全称命题，它的否定，特称命题，它的否定。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论，而且还要对量词“”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。【问题】写出下列命题的否定： ：对任意的正整数x, ； ：三角形有且仅有一个外接圆； ：存在一个三角形，它的内角和大于； ：有些质数为奇数。错解：对任意的正整数x, ；：存在一个三角形有且仅有一个外接圆； ：所有的三角形的内角和小于；剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。 二、函数与导数易错点8 求函数定义域时条件考虑不充分错因分析：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点分式的分母不为零；偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数的定义域是非空的数集。【问题】: 求函数y=+的定义域。错解：-3，1 剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为=1对任意实数成立。易错点9 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”错因分析：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：若已知的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出即可；若已知的定义域为 ,求的定义域，相当于xa,b时，求的值域（即 的定义域）。【问题】已知函数求函数的值域。错解：设， ，。剖析：知识欠缺，求函数定义域时，应考虑.易错点10 判断函数奇偶性时忽视定义域错因分析：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果，则为奇函数；如果，则为偶函数。同时还应注意在验证与关系时，保持自变量在定义域内的任意性。【问题】1: 判断函数的奇偶性。错解：原函数即，为奇函数 剖析：资料误导，忽略定义域。【问题】2: 判断函数的奇偶性。错解：，为偶函数 剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。易错点11 求复合函数单调区间时忽视定义域错因分析：求复合函数单调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象；用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。【问题】: 求函数的增区间。错解一：外层函数为减函数，内层函数减区间为，原函数增区间为。剖析：基础不牢，忽视定义域问题错解二：，函数定义域为，又内层函数在 为增函数，在为减函数，原函数增区间为。剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。易错点12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论错因分析：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：解集为解集为【问题】: 函数的图象与轴只有一个交点，求实数m的取值范围。错解：由解得 剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑的情况。易错点13 用函数图象解题时作图不准错因分析：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。【问题】1: 求函数的图象与直线的交点个数。错解：两个 剖析：忽视“临界线”。【问题】2: 求函数的图象与直线的交点个数。错解：两个 剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。易错点14 忽视转化的等价性错因分析：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。【问题】1: 已知方程有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数m的取值范围。错解：方程有且只有一个根在区间（0，1）内，函数的图象与轴在（0，1）内有且只有一个交点，解得 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到的情况。【问题】2:函数的图象大致是（ ）剖析：在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。在图象变换过程中出错，搞错平移方向。易错点15 分段函数问题错因分析：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。【问题】1:.已知是R上的增函数，求a的取值范围。错解： 剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视在分界点附近函数值大小关系。【问题】2:设函数，求关于x的方程解的个数。错解：两个剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程分两种情况来解。易错点16 函数零点定理使用不当错因分析：函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。【问题】1:.下列函数图象与x轴有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是错解：选 剖析：二分法的本质是函数零点定理，因此，二分法只能解决不变号零点问题。【问题】2:求函数的零点个数。错解：1个 剖析：本题解法有图象法和方程法两种。出错的原因是分段函数图象不会画或用方程法求解时不会分类讨论。易错点17 混淆两类切线的概念错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条；而曲线过某一点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，此时的切线可能不止一条。因此求曲线的切线时，首先要区分是什么类型的切线。【问题】:已知曲线，求曲线上横坐标为1的点的切线方程，该切线与曲线C是否还有其它公共点？错解：，斜率，所求切线为。 该切线与曲线C没有其它公共点 剖析：知识残缺，当曲线为二次曲线时，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。易错点18 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件。【问题】:函数在x=1处有极值10，求的值。错解：由解得剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件。易错点19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻错因分析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。【问题】:若函数在上为减函数，求实数的取值范围。错解：由在上恒成立， ，解得 剖析：概念模糊，错把在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上时满足题意。易错点20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚错因分析：解答此类题的关键是抓住导函数的零点与原函数的极值点关系极值点的导数值为0；导函数值的符号与原函数单调性的关系原函数看增减，导函数看正负。【问题】: 已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是_.错解：选 剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于，且两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当时，当时，所以函数在上为增函数，在上为减函数。三、数列易错点21 由求时忽略对“”检验错因分析：在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。【问题】:已知数列的前n 项和，求。错解：由解得 剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了成立的条件n2，实际上当n=1时就出现了S0，而S0是无意义的，所以使用求，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个表示，尚需检验。易错点22 忽视两个“中项”的区别错因分析：如果成等差数列，则为和的等差中项；若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知，任意两数都有等差中项，且只有一个，“”是“为和的等差中项”的充要条件；而只有同号的两数才有等比中项，且为一对互为相反数，“”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。【问题】: 是成等比数列的 （ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分有不必要条件错解： C 剖析：思维不缜密，没有注意到当 时，可能为0。易错点23 等比数列求和时忽视对讨论错因分析：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n项和为分段函数，其中当q=1时，。而这一点正是我们解题中被忽略的。【问题】:在等比数列中，为其前n 项和，且，求它的公比q。错解： ，解得 剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是否等于1进行讨论，导致失误。易错点24 用错了等差、等比数列的相关公式与性质错因分析：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。【问题】:已知等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和。错解一：170 剖析：基础不实，记错性质，误以为成等差数列。错解二：130 剖析：基础不实，误以为满足。易错点25 用错位相减法求和时项数处理不当错因分析：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分原来数列的第一项；一个等比数列的前n-1项和；原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共项，有时只有项。另外，如果公比为字母需分类讨论。【问题】:求和。剖析：考虑不全面，未对进行讨论，丢掉时的情形。 将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。易错点26 数列中的最值错误错因分析：数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，有时即使考虑了n为正整数，但对于n为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。【问题】:在等差数列中，求此数列的前几项和最大。剖析：解题不细心，在用等差数列前n和求解时，解得n=12.5，误认为n=12.5。考虑不全面，在用等差数列性质求解得出=0时，误认为只有最大。四、三角函数易错点27 用平方关系求解时忽略角的范围错因分析：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。【问题】: 在中，=,=，求，的值。错解：cosA=，sinB=剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。易错点28 由值求角时忽视讨论角的范围错因分析：三角函数求值题分由角求值、由值求值和由值求角三类，其中最容易出错的是第三类。由值求角步骤为合理求出该角的一个三角函数值，分析该角的范围，确定角的大小。解题时务必深入挖掘题中隐含的条件，缩小角的范围，合理进行取舍。【问题】:已知A、B为锐角，tanA=, tan2B=，求的值。错解：，又由于A、B为锐角，。剖析：知识残缺，只注意到、为锐角，没有兼顾到、的三角函数值的大小。实际上，由于tanA=, tan2B=，都为锐角，而在这个范围内，的值只有一个了。易错点29 三角公式选用不当错因分析：三角函数公式多，综合性强，解题有一定的技巧，同学们解题时，经常因为审题不细、分类不清、方法不当、忽略隐含条件、公式用错等原因而致错。【问题】: 在中，为锐角，且，求的值。错解： 先求出sin()=，剖析：知识残缺，由于为锐角，所以。又由于正弦函数在上不是单调函数，所以本题不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。易错点30 求关于最值时忽视正、余弦函数值域错因分析：求关于最值的常规方法是通过令（或cosx）将三角函数的最值问题转化为关于的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。【问题】:已知，求的最大值。错解：令，得，通过配方、作图解得的最大值为剖析：本题虽注意到的值域，但未考虑到与相互制约，即由于-1siny1，必须同时满足。易错点31 三角函数单调性判断错误错因分析：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。【问题】:已知函数y=cos(-2x)，求它的单调减区间。错解： -2x剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。易错点32 图象变换的方向把握不准错因分析：函数（）的图象，可由下面的方法得到将正弦曲线上所有点向左或向右平行移动|个单位（正左负右）；再把所得曲线上各点横坐标变为原来的倍；最后把所得曲线上各点纵坐标变为原来的A 倍。即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换。【问题】: 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位错解一：C 剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。错解二：D 剖析：基础不牢，弄错了平移方向。易错点33 由图象求函数解析式忽略细节错因分析：由三角函数图象求（）的解析式主要分三个步骤：由函数的最大（小）值求振幅；由函数的周期求；由曲线上的一个特殊点的坐标求初相或用图象变换求。一般来说，振幅A和的值是唯一确定的，的值是不唯一的，但在指定的范围内往往只有一个，在求时一定要注意选点的合理性。【问题】：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数.(1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式。剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求时，多数学生由于点的位置取得不当，致使求得的值不好取舍。易错点34 用正、余弦定理解题的几个盲点错因分析：正、余弦定理及其应用题综合性强，有些题常有不同的解法，但解法与解法之间又存在着微妙的差别，有时还因为忽视三角形这一隐含条件致使问题出错。【问题】1：在中，已知b=3，c=3，B=300 ，求A及。错解：用正弦定理求得sin C=，C=600，A=900，=6剖析：基础不牢，错因在于求得sin C=后，忽视隐含条件cb，错误地认为C=600。【问题】2：在中，C=3 B，求的取值范围。错解：由正弦定理得=， 03剖析：知识残缺，忽视了三角形内角和定理及隐含的A 、B、 C均大于0这一条件，从而致错。【问题】3：的内角的对边分别为，若，求的值。错解：由解得=2剖析：记忆错误，错将余弦定理记为，有时还会记成等等。五、平面向量易错点35 概念模糊错因分析：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。在复习时不仅要理解这些概念，而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异同点。【问题】：下列五个命题： 向量与共线，则P1、P2、O、A必在同一条直线上； 如果向量与平行，则与方向相同或相反； 四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是=； 若=，则、的长度相等且方向相同或相反； 由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。其中正确的命题的序号为_。错解一：选 剖析： 向量与共线，与则直线P1P2与直线OA可能重合。错解二：选剖析： 若为零向量，则命题不正确。错解三：选 剖析：=，只能说明、的长度相等但确定不了方向。错解四：选 剖析： 零向量与任何向量平行易错点36 忽视零向量错因分析：零向量是向量中最为特殊的向量，其长度为0，方向是任意的，零向量与任何向量共线，它在向量中的位置正如实数中的零的位置一样。正因为如此，有时又容易引起一些混淆，考生应给予足够的重视。【问题】：在几何中，直线的平行关系具有传递性，那么在向量中是否仍然有“如果，且，则”呢？错解：向量平行具有传递性剖析：概念模糊，当时命题不正确。易错点37 忽视平面向量基本定理的成立条件错因分析：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2，使=1+2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。【问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是=（0，0），=（1，-2）; =（-1，2），=（5，7）;=（3，5），=（6，10）; =（2，-3），=（4，-6）;错解：选或或剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。易错点38 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别错因分析：向量的数量积=|cos，其主要性质有；为锐角且不同向； 为钝角且不反向,是为钝角的必要非充分条件。向量的数量积与实数的乘法在运算上有相似之处，但有着本质的区别，解题时不能想当然套用实数的法则和性质，否则会出错。【问题】：设、为平面向量，则下列命题正确的个数为_。若=0，且，则；若=，则=；若|+|2=|2+|2+2；（）=（）错解一：选 剖析：基础不实，。错解二：选 剖析：知识残缺，向量的数量积不满足“消去律”。错解三：选 剖析：知识残缺，向量的数量积不满足“结合律”.易错点39 向量的坐标运算不准确错因分析：在坐标形式下，如果=（x1，y1），=（x2，y2），则=（x1x2，y1y2）；=（x1，y1）；= x1x2+y1y2； x1x2+y1y2=0（）。这部分内容与原来所学的实数的运算有所不同，不少同学因为概念理解不透，公式记忆不牢，经常出现解题错误。【问题】：已知点P1、P2的坐标分别为（2，-2），（4，3），向量=（2k-1，2），且，求k的值。错解一：=（-2，-5），解得剖析：识记不好，将向量的坐标求错，应该是终点坐标减去起点坐标。错解二：=（2，5），2（2k-1）+10=0，解得k= -2剖析：公式记错，错将公式记为。六、不等式易错点40 不等式性质应用不当错因分析：不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解题时，务必要检验成立条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。【问题】：已知，求函的取值范围。错解： ，b,c0a c b c；a b,c0a c b c。解分式不等式基本思想是通过去分母将分式不等式转化为整式不等式，但在去分母之前必须对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论。【问题】：解不等式错解：， ，解得 剖析：基础不实，没有考虑分母的符号，直接去分母，应对进行分类讨论，或用数轴标根法求解。易错点43 解含参数不等式时分类讨论不当错因分析：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。【问题】：解关于x的不等式错解一：原不等式等价于，解得剖析：基础不实，直接利用绝对值不等式的解集公式，而忽视对a-2进行分类讨论。错解二：当时，原不等式不成立。当时，原不等式等价于，解得剖析：技能不熟，没有对进行讨论。易错点44 忽视均值不等式应用条件错因分析：均值不等式2（）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是如果积或和不是定值，设法构造“定值”； 若是不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。【问题】1：若x0，求函数f(x) =的最值。 错解:当x时，f(x)取得最小值2剖析：基础不实，基本不等式2成立条件为，本题中x0时，动直线在y轴上的截距越大，目标函数值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B0时，动直线在y轴上截距越大，目标函数值越小，截距越小，目标函数值越大。其中的系数的符号是解题的关键，也是同学们经常忽略的地方。【问题】：若变量满足约束条件求目标函数的最大值。错解：先作可行域，在平移直线得最优解（-1，1）,所以剖析：识记错误，当y的系数小于0时，使得直线在y轴上截距最大的可行解，是目标函数取得最小值的最优解。七、立体几何易错点47 不会将三视图还原为几何体错因分析：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。【问题】：若某空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积。错解： 如图该几何体是底面为边长正方形，高为1的棱柱，该几何体的体积为剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。易错点48 对斜二测法规则掌握不牢错因分析：由斜二测法画直观图步骤如下：建立坐标系；“位置规则”与坐标轴的平行的线段平行关系不变；“长度规则”图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。对此考生常见的错误有不会建新坐标系，不会用“倒过去”的方法还原几何体，“位置规则”和“长度规则”不清楚。【问题】：已知的平面直观图是边长为的正三角形，求的面积。剖析：对用斜二测法画平面图形的直观图不熟悉；不会将直观图还原成实际图形；对一些等量关系不清楚。易错点49 空间几何体面积、体积计算错误错因分析：计算空间几何体体积要注意分析清楚空间几何体的结构，弄清该几何体的各个部分的结构特点；进行合理的转化和一些必要的等积变换；正确选用体积计算公式。【问题】1：一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积。错解： 剖析：空间想象能力欠缺，计算错误。该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.【问题】2：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，计算该几何体的表面积。错解： 剖析：题意理解不清楚，由三视图还原几何体不准确；计算表面积是只考虑圆柱的下底面，忽略了上底面。易错点50 平面公理运用不准确错因分析：平面公理包括公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。其中，公理1是确定一条直线是否在某个平面内的依据；公理2是证明点线共面的依据；公理3是确定两个平面交线的依据，是证明点共线、线共点的依据。【问题】：三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条直线相交于一点，求证第三条也经过此点。剖析：应用定理时条件不全，推理不严密；不清楚要证明点在直线上，需先证明点在平面内；不会用数学的语言进行翻译。易错点51 空间点、线、面位置关系不清错因分析：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。【问题】：给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 错解：A剖析：空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断；空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。易错点52 平行关系定理使用不当错因分析：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归。如在证明线面平行时，可先把其中一一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面平行的性质定理和判定定理证明这两个平面平行，最后利用面面平行的性质说明线面平行。使用定理时要注意找足条件，书写规范，推理严谨。【问题】：如图，已知AB、CD是夹在两平行平面、之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN平面剖析：根据一个平面内两条直线平行与另一个平面，就断定这两个平面平行，忽视了两条直线相交的条件；把立体几何图形误认为平面图形，直接应用平面几何的性质和定理而造成错误。易错点53 垂直关系定理使用不当错因分析：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。【问题】：已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB= 4AN，M、S分别为PB、BC的中点。证明：CMSN；求SN与平面CMN所成角的大小.剖析：在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时，只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两条直线是否相交，不符合定理的条件；在求线面角时，没有说明找角的过程。易错点54 利用空间向量求线面角几种常见错误错因分析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos|。容易出错的是误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；不清楚线面角的范围。【问题】：如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。若平面ABCD 平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的大小；用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 剖析：本题在求得平面DCEF的一个法向量=（0，0，2）及=(1,1,2)后，可得cos(,)=可能出现的错误有： 误以为直线MN与平面DCEF所成角为; 误以为直线MN与平面DCEF所成角为-; 计误以为直线MN与平面DCEF所成角为。易错点55 二面角概念模糊错因分析：若两个平面的法向量分别为，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。【问题】： 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，。 证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 剖析：本题在求得平面、的法向量=(，1，1)，=(，0，2)后，然后计算出cos=；接着可能错误地以为二面角为，其实本题中的二面角是钝角，仅为其补角，所以二面角的大小为。易错点56 利用空间向量证明位置关系几种常见错误错因分析：利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为建立空间坐标系，写出相关点的坐标；用向量表示相应的直线；进行向量运算；将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有不会将空间问题转化为向量问题；不会建系，不会用向量表示直线，计算错误，使用定理出错，书写不规范。【问题】：如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，求证：；设线段、的中点分别为、，求证： 剖析：本题可能出错的情形有两点：不会转化，不会建系，运算出错，书写不规范。基础不牢，如中，在证明后，直接得出，不符合线面垂直条件。八、解析几何易错点57 倾斜角与斜率关系不明错因分析：倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程度，但二者也有区别，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。求直线斜率两种方法在已知直线上找两点，再代公式k=(x1x2); 确定直线的倾斜角，再代公式k=tan。解此类题常见错误有弄错直线倾斜角的范围；当直线与x轴平行或重合时，误认为倾斜角为00或1800；不了解倾斜角与斜率关系。【问题】：下列命题正确的为_。任何一条直线都有倾斜角，都有斜率；直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；平行于x轴的直线，倾斜角为00或1800；平行于y轴的直线，斜率不存在，所以倾斜角不存在；剖析：知识残缺，概念模糊。易错点58 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在错因分析：在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两种： 若直线1: ，2: ，则有1与2相交； 12 ，且b1b2； 12 若直线，则有1与2相交；12；12 两种方法各有优缺点，方法简便易行，但仅适用于斜率存在的直线，方法适用于任意的直线，但运算量较大。考生经常出错的是：用方法但忽视对斜率的讨论。【问题】：已知直线1: a x+2y+6=0和2: x+（a -1）y + a2-1=0， 试判断1与2是否平行；当12时，求a的值。剖析：本题中的直线为一般式，宜用中的等价关系求解，如果用中的等价关系求解，一定要考虑斜率不存在的情况。易错点59 平行线间的距离公式使用不当错因分析：两条平行线之间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。若直线1: A x+By+C1=0和2: A x+By+C2=0(C1C2)，则直线1与2的距离为。常见的错误是忽视判断两直线中x、y系数是否相等。【问题】：求两条平行线1: 和2: =0间的距离。错解：直线1与2的距离为2或1剖析：技能不熟，求两条平行线间的距离时，没有把x、y的系数化成相同。易错点60 误解“截距”和“距离”的关系错因分析：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。【问题】：若直线与抛物线（y1）2x 1在x轴上的截距相等，求a的值。错解：直线在x轴上的截距为，抛物线（y1）2x 1在x轴上的截距为2，,解得a=1 剖析：概念模糊，错把截距当成距离。易错点61 忽视直线点斜式和斜截式方程适用范围错因分析：点斜式和斜截式是两种常见的直线方程形式，应用非常广泛，但它们仅适用于斜率存在的直线。解题时一定要验证斜率是否存在，若情况不明，一定要对斜率分类讨论。【问题】：求过点（2，1）和（a，2）的直线方程。错解：先求出斜率，故所求直线方程为y1=（x2）剖析：知识残缺，未考虑k不存在的情况。易错点62 忽视直线截距式方程适用范围错因分析：直线的截距式方程为( ab0)， a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距。其适用范围为不经过原点，不与坐标轴垂直。【问题】：直线经过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程。错解：设直线方程为（a0），将点P代入得a=5，的方程为x+y-5=0剖析：知识残缺，不了解截距式方程适用范围，漏掉直线过原点的情况。易错点63 忽视圆的一般式方程成立条件错因分析：在关于x、y的二元二次方程中，当，表示一个圆；当时，表示一个点；当时，不表示任何图形。仅仅是曲线为圆的一个必要不充分条件，在判断曲线类型时，判断的符号至关重要，这也是考生易错点之一。【问题】：已知圆的方程为，过作圆的切线有两条，求a的取值范围。错解：过作圆的切线有两条，点A在圆外，, 剖析：技能不熟，忽视圆的一般式方程的充要条件。易错点64 求圆的切线方程时忽视斜率不存在的情况错因分析：求圆的切线方程常用的方法有几何法和代数法两种，两种方法实质相同，但运算量有很大的区别，为此在解此类问题时方法的选取尤为重要，方法得当，则思路清晰，解法简明，否则运算量大，且容易出错。但是上述两种方法也只能求出斜率存在时的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补。【问题】：已知圆和圆外一点，求过点P的圆的切线方程。错解：设切线方程为ykx2 kxy20圆心到切线的距离为1 k点P的圆的切线方程为yx2 剖析：知识残缺，考虑不全面导致错误。易错点65 忽视圆锥曲线定义中的限制条件错因分析：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错。【问题】1：已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A B C D 错解：或剖析：概念模糊，由于|F1F2|=6，所以A选项无轨迹，B选项的轨迹为线段。【问题】2：说出方程表示的曲线。错解：双曲线剖析：知识不全，表示动点到定点的距离只差为8，且PF1|PF2|，轨迹为以为焦点的双曲线的左支。易错点66 求椭圆标准方程时忽视“定位”分析错因分析：确定椭圆标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。【问题】：若椭圆的离心率，求的值是。错解：a25，b2,c25-, 又，=3剖析：技能不熟，没有考虑到焦点在y轴上的情形。易错点67 求双曲线几何元素出错错因分析：求双曲线几何元素时，要先将方程化为标准形式，再确定，然后利用求出，最后依据相关定义求解。【问题】：双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、错解一：由方程可得，选D 剖析：基础不牢，不了解求几何元素应先方程化成标准形式，从而得出错误结论。错解二：由方程可得，选A 剖析：记忆错误，不了解双曲线中几何元素的关系，误认为，从而得出错误结论。易错点