弦切角定理证明方法.doc

弦切角定理证明方法 弦切角定理证明方法 (1)连oc、oa，则有occd于点c。得ocad，知oca=cad。 而oca=oac，得cad=oac。进而有oac=bac。 由此可知，0a与ab重合，即ab为o的直径。 (2)连接bc，且作ceab于点e。立即可得abc为rt，且acb=rt。 由射影定理有ac?=ae*ab。又cad=cae，ac公用，cda=cea，得ceacda，有ad=ae，所以，ac?=ab*ad。 第一题重新证明如下： 首先证明弦切角定理，即有acd=cba。 连接oa、oc、bc，则有 acd+aco=90 =(1/2)(aco+cao+aoc) =(1/2)(2aco+aoc) =aco+(1/2)aoc, 所以acd=(1/2)aoc， 而cba=(1/2)aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)， 得acd=cba。 另外，acd+cad=90，cad=cab， 所以有cab+cba=90，得bca=90，进而ab为o的直径。 2 证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。 tcb=90-ocb boc=180-2ocb ,boc=2tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半) boc=2cab(圆心角等于圆周角的两倍) tcb=cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况： (1)圆心o在bac的一边ac上 ac为直径，ab切o于a， 弧cma=弧ca 为半圆, cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在bac的内部. 过a作直径ad交o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：ced=cad、dea=dab cea=cab (弦切角定理) (3)圆心o在bac的外部, 过a作直径ad交o于d 那么cda+cad=cab+cad=90 cda=cab (弦切角定理) 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长. 解：连结oa，ob. 在rtabc中,c=90 bac=30 bc=1/2a(rt中30角所对边等于斜边的一半) 例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f. 求证：efbc. 证明：连df. ad是bac的平分线bad=dac efd=bad efd=dac o切bc于dfdc=dac efd=fdc efbc 例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c， 求证：ac平分mcd，bc平分ncd. 证明：ab是o直径 acb=90 cdab acd=b， mn切o于c mca=b， mca=acd， 即ac平分mcd， 同理：bc平分ncd. 弦切角逆定理证明 已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线 证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd， 则角adc=角abc=角cae 而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae 所以角dae=角dac+角cae=90度 故ae为切线 弦切角定理证明 弦切角定理 编辑本段弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，tcb，tca，pca，pcb都为弦切角。 编辑本段弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明： 证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。 tcb=90-ocb boc=180-2ocb ,boc=2tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） boc=2cab(圆心角等于圆周角的两倍) tcb=cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况： (1)圆心o在bac的一边ac上 ac为直径，ab切o于a， 弧cma=弧ca 为半圆, cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在bac的内部. 过a作直径ad交o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：ced=cad、dea=dab cea=cab (弦切角定理) (3)圆心o在bac的外部, 过a作直径ad交o于d 那么cda+cad=cab+cad=90 cda=cab (弦切角定理) 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长. 解：连结oa，ob. 在rtabc中,c=90 bac=30 bc=1/2a(rt中30角所对边等于斜边的一半) 例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f. 求证：efbc. 证明：连df. ad是bac的平分线bad=dac efd=bad efd=dac o切bc于dfdc=dac efd=fdc efbc 例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c， 求证：ac平分mcd，bc平分ncd. 证明：ab是o直径 acb=90 cdab acd=b， mn切o于c mca=b， mca=acd， 即ac平分mcd， 同理：bc平分ncd. 弦切角定理的证明 弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明 证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d， 则tcb=cda tcb=90-ocd boc=180-2o(转载需注明)cd ,boc=2tcb 证明：分三种情况： (1)圆心o在bac的一边ac上 ac为直径，ab切o于a， 弧cma=弧ca 为半圆, (2)圆心o在bac的内部. 过a作直径ad交o于d, 那么 . (3)圆心o在bac的外部, 过a作直径ad交o于d 那么 2 连接并延长to交圆o于点d，连接bd因为td为切线，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因为td为直径，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a 3 编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，tcb，tca，pca，pcb都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。tcb=90-ocbboc=180-2ocb,boc=2tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）boc=2cab(圆心角等于圆周角的两倍)tcb=cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在bac的一边ac上ac为直径，ab切o于a，弧cma=弧ca为半圆,cab=90=弦ca所对的圆周角b点应在a点左侧(2)圆心o在bac的内部.过a作直径ad交o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：ced=cad、dea=dabcea=cab(弦切角定理)(3)圆心o在bac的外部,过a作直径ad交o于d那么cda+cad=cab+cad=90cda=cab(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.在rtabc中,c=90bac=30bc=1/2a(rt中30角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：efbc.证明：连df.ad是bac的平分线bad=dacefd=badefd=daco切bc于dfdc=dacefd=fdcefbc例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c，求证：ac平分mcd，bc平分ncd.证明：ab是o直径acb=90cdabacd=b，mn切o于cmca=b，mca=acd，即ac平分mcd，同理：bc平分ncd. 高二数学（文）选修4-1编写：杨社锋编号：07-08 教研组长：贾敏教研室主任：田土娟校审：王宏奇 弦切角定理 学习目标：理解弦切角定理的推导过程，掌握切线长定理、弦切角定理的内容及其推论学习重点：切线长定理及弦切角定理 学习难点：切线长定理、弦切角定理及其推论的应用 一、基础知识回顾: 1切线的判定定理及性质： 2.切线长定理 切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 以上结论叫做切线长定理：_ 注意：切线长与切线的区别： _ _ _ (1)写出图中所有的垂直关系: (2)写出图中所有的全等三角形: (3)写出图中所有的相似三角形: (4)写出图中所有的等腰三角形： 2弦切角定理及其推论 圆周角cab，让射线ac绕点a旋转，产生无数个圆周角，当ac绕点a旋转至与圆相切时，停止旋转，得bae 问：这时bae还是圆周角吗？为 什么？ 像bae这样的角叫做弦切角，请你仿照圆周角的定义，给出弦切角的定义：_问题：以下各图中的角哪个是弦切角？ 思考：(1)弦切角的三要素是什么？ (2)弦切角相对于圆心的位置，分为哪几类？请在右上方画出图。 问题:已知如图，ab是o的一条切线，a为切点，ac是o的一条弦，则adc与bac有什么关系?请给出证明。（提示：类比圆周角定理的证明方法） 结论：弦切角定理：_问题：若两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等吗？为什么？ 结论：弦切角定理的推论：_三质疑互探 例5已知如图?1?2，ef切圆与点d。求证： ef/bc 例6已知：如图pa，pb分别与圆o相切于点a和点b，ac是圆o的直径。求证： ?apb?2?bac 四、当堂检测 1.如图，pa、pb是o的切线，切点分别是a、b，直线ef也是o的切线，切点为q，交pa、 pb为e、f点，已知pa?12cm，求pef的周长. 2.如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交 于e，f.求证：efbc. 3.已知：如图，p为o外一点，pa，pb为o的切线，a和b是切点，bc是直径求证：acop 课时作业 1.在abc中，ab=5cmbc=7cmac=8cm,o与bc、ac、ab分别相切于d、e、f，则af=_,bd=_、cf=_ 2.已知pa、pb切o于a、pa=4，则o的半径为。 3.已知o的半径为3，点p到圆心o的距离为23，则过点p的两条切线的夹角为度，切线长为。 4.bc是o的弦，p是bc延长线上一点，pa与o相切于点a，abc=25，acb=80，则p的度数为_ 5.已知o1和o2外切于点b，pb是两圆公切线，pa、pb分别与o1、o2相切于a、c，如果ap=2x-3,pc=x+3，则x=。 6.已知：abc内接于o，abc=25，acb=75，过a点作o的切线交bc的延长线于p，则apb等于()a62.5b55c50d407.已知：如图7149，pa，pb切o于a，b两点，ac为直径，则图中与pab相等的角的个 数为()a1个；b2个；c4个；d5个8.已知如图7150，四边形abcd为圆内接四边形，ab是直径，mn切