A题-全国大学生数学建模竞赛2016A题讲评.pdf

悬链线在系泊系统设计中的应用悬链线在系泊系统设计中的应用 全国大学生数学建模竞赛2016A题的解答与点评 主讲人：周义仓西安交通大学数学与统计学院 zhouyc ,主要内容主要内容 1. 题目及其背景 2. 悬链线方程推导 3. 问题1和问题2的模型与解答 4. 问题3的模型与解答 5. 离散化的递推模型 6. 竞赛答卷情况综述 7. 对教学的建议 1.1.题目及其背景题目及其背景2016A 2016A 系泊系统的设计系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成 （如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的 囿柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚 链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环， 近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度 1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端不锚的链接处 的切线方向不海床的夹角丌超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢 失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封囿柱形钢桶内，设 备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直 时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。 钢桶的倾斜角度（钢桶不竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较 差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶不电焊锚链链接处可悬挂重物球。 系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、 长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度 和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。 现将该型传输节点布放在水深18m、海床平 坦、海水密度为1.025103kg/m3的海域。 若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和 24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链 形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2 在问题1的假设下，计算海面风速 为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚 链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的 质量，使得钢桶的倾斜角度丌超过5度，锚 链在锚点不海床的夹角丌超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布 放海域的实测水深介于16m20m之 间。布放点的海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请 给出考虑风力、水流力和水深情况 下的系泊系统设计，分析丌同情况 下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形 状、浮标的吃水深度和游动区域。 锚链型号和参数表 型型 号号 长度（长度（mmmm） 质量质量 （kgkg） I783.2 II1057 III12012.5 IV15019.5 V18028.12 长度是指每节链环的长度; 质量时指每米环链的质量 说明 近海风荷载可通过近似公式 F=0.625Sv2(N)计算，其中 S 为物体在 风向法平面的投影面积(m2)，v为风速 (m/s）。近海水流力可通过近似公式 F=374Sv2(N)计算，其中S为物体在水 流速度法平面的投影面积(m2)，v为水 流速度(m/s）。 题目来源及要求题目来源及要求 应征题目：近浅海海底观测网的组网优化问题，原题是针 对某海域试验用海底观测网提出的，需要通过模型设计试 验海域中系泊系统和水声通讯系统传输节点的布局； 关注的是第三问，问题1和问题2是我们中加的，帮助学生 理解问题和形成建模不求解的思路； 考察学生理解和简化实际问题的能力，主要用力学知识建 立模型，进行求解后给出需要的结果：确定锚链的型号、 长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及 钢桶的倾斜角度尽可能小。 题目解答的主要思路题目解答的主要思路 通过受力分析建立模型，求解后给出需要的结果。 将锚链、钢桶、钢管都简化为柔软的绳索，利用悬挂重 物的三段悬链线来解决； 将下部的锚链简化为悬链线，上面的钢桶和钢管分别作 为刚体来处理，由力和力矩的平衡条件建立模型； 将每节环链、钢桶和钢管都看作刚体，得到力和力矩的 平衡条件，给出离散的递推模型。 2. 2. 悬链线方程的推导悬链线方程的推导 2 0 2 2 2 cossin tantan1( ) 1,(0)0,(0)0. cosh1 x OP THTW Wdy Wy xdx Hdx d ydy yy dxHdx xH yaa a 考虑段悬链线的受力情况 力平衡方程：， ， ， 悬链线方程推导（悬链线方程推导（1 1） 22 2 2 0000 2 , ()cos()cos , ()sin()sin, cos() sin() ( ) 1( ), tan , sec ( ) 1,(),()tan cosh x xdx TdTdT TdTdTdW dd d dWxy x dx yy dx d yxdy y xyy x dxHdx x ya 考虑段悬链线的受力情况 在两个方向上的力平衡方程分别为 将，展开， 00 0 00 1 sin ln, coscos xaH ya a 悬链线方程推导（悬链线方程推导（2 2） 2 , 1( ) ()cos()cossin, ()sin()sin. cos() sin() x xdx dsy xdx xy TdTdTfds TdTdTds dd 有水流力时的情况：考虑对应弧段 悬链线的受力情况，记 在 、 两个方向上的力平衡方程分别为 将，展开，整理 2 cos sinsin ,(0), sincos ,(0). dT fTH ds df dsT 该方程组没有解析解，可以进行数值求解 10 2 10 10 10 cossinsin, sincos , cos,0, sin,0. kkkkkk kk kkk k kkkk kkkk TTfsTH f s T xxsx yysy 悬链线方程推导（悬链线方程推导（3 3） 3. 3. 问题问题1 1和问题和问题2 2的模型与求解的模型与求解 0 12 3 0 12 =22.05m,=7 kg/m,1200kg, =100kg,=10kg,18m,12m/s, 7800kg/m , =59.59N/m =10214.62N=269.96N=85.12N water Lmm mmHv w www 设这些组件是钢材，比重为 则它们 在海水中的重量分别为：， ， 如果这些组件的材料不是钢材，其建模过程完 全相同，只是计算结 常数与浮力： ， 果有些差异。 质量与计算浮力后的重量质量与计算浮力后的重量 基本思路基本思路 将锚链、钢桶 和钢管分别看作 是单位质量丌同 的柔软绳索，按 照三段挂有重物 的悬链线进行建 模不计算。 问题的简化：三段悬链线问题的简化：三段悬链线 0012 2 011 1 11 0 1000 9.84 3200.13 9.8 0.625 2 2 OQ( )cosh1 3.94( )3.94 cosh 0.251 f f w w WL wwww W H FHv x yy xa a F ay xx w 若锚链被全部拉起，在锚点与海床恰好相切，则 浮标所承载的重量： 浮标的吃水深度为： 浮标上的风力大小为： 之间悬链线的方程为： 其中：， 第一段悬链线的方程第一段悬链线的方程 0 01 0 012 221 221 0 0 21101 11 0 1 101 2 2 Q Q 1 sin ( )coshln, coscos 0.87,()cosh1 + tan88.83 1 sin sinhln co m m xxa yyxay a xF ayy xa wa W F xx a a 之间第二段悬链线的方程为 锚链的重量 重物球的重量 风力的大小 这一段悬链线的长度为1米 1 2 11 1 sin sinh ln1 scos a 第二段悬链线的方程第二段悬链线的方程 01 15 1 312 332 322 1 32221 2 0 2 512 3 32 Q Q 1 sin ( )coshln, coscos 2.760.87,() + tan88.86 1 sin sinhln cos m mm axx yy xay a F aayyx w W F xx a a 之间第三段悬链线的方程为 ， 锚链的重量 球和钢管的重量 风力的大小 这一段悬链线的长度为4米 2 3 2 1 sin sinh ln4 cos a 第三段悬链线的方程第三段悬链线的方程 35 1011 22 211 5122 33 322 015 ()18, 1sin1sin sinhlnsinh ln1, coscos 1sin1sin sinhlnsinh ln4. coscos =8.288 w y xH xx aa a xx aa a xxx 求解这一个方程组得到 8.26， 求解过程 0 1 1 .35 sinh15.76m 6.29 x sas a ， 再由求出第一段的弧长 还有米的锚链拖地 风速风速12m/s12m/s时的初步计算时的初步计算 1 15.76m6.29m 15.80m6.25m ( )3.98 cosh 0.251 ,08.30,yy xxx y 锚链被拉起，拖地重量不需要浮标 最后结果：锚链被拉起，拖地， 浮标吃水深度：0.68m，游动区域半径14.66， 钢桶、管倾角：1.188,1.184,1.175,1 重复这个过程，使两次计算锚链长度的误 .1 改变锚链的长度后重新计算，得到新的锚链长度， 66,1.158 三段悬链线的方程如下 差很小。 2 3 ( )0.88cosh(1.144.92)29.02, 8.308.33, ( )2.78cosh(0.361.58) 120.95, 8.338.4 6m 1 .25 y xxx yy xxx 系画图时横坐标分泊系统示加了（别意图 。 ） 风速风速12m/s12m/s时最后计算的结果时最后计算的结果 临界风速的计算临界风速的计算 0 2 0012 1 0 2312 12 1000 9.84 0.625 3200.13 9.8 arctanarc w m m L wwwwF HFSva w W FF aa wwF 临界风速：22.05m锚链恰好 计算步骤：从12m/s开始逐渐增加风速，对确定的风速，计算浮标的吃水深度， 思路：利用前面计算时三段悬链线的 ，风力大小，悬链线参数 方程，对不同的风 全部被拉起，在锚点与海床相切 ， ， 速行计算 ， 进 01 0 0 110011 1 0 1 tan ( )sinhcosh1 22.27m/s m mm W F xx s xaLxya aa v ，从第一段悬链线长度 求解 ，计算，由第二、三段悬链线 的长度确定它们末点的横坐标，得到第三段悬链线末端的纵坐标， 临界 令其等于浮标 吃水后下端的纵坐标。循环计算后的结果是：风速为 风速风速24m/s24m/s时的模型时的模型 001 0 2 00120 12312 012 0 1000 9.840.625 2(2)t 24m/ an 3200.13 9.8 arctanarcta s n w w m mm mm L wwwwHv H WW FFF aaa wwwFF v 浮标的吃水深度与有关：组件的重量与锚链拉力的竖直分量 超过临界风速，22.05m锚链全部 吃水深度： 参数：， 被拉起，在锚点与海床夹角为 ， 方 0 111 1000 0 012 2212 2111 1 312 332 32 1 sin1 ( )coshln, coscos 1 sin ( )coshln, coscos 1 sin ( )coshln coscos xF yy xaa aw xxaF yyxaya aw axx yy xay a 程： 3 22 ,. F a w 风速风速24m/s24m/s时的计算结果时的计算结果 00 00 000 0000 0 0 0 =0.70m17.78m =4.48=4.57 =4.45=4.33=4.21=4.09 15.74 cosh 0.06 12m 40.0781 , /s 24m/ 0 s w HR y v x 计算思路：锚链的夹角 由小到大循环计算 对给定的 ，计算过程与风速 浮标的吃水深度：，游动半径： 锚链与海床的夹角：，钢桶的倾度： 钢管的夹角：， 三段悬链线的方程分 的相同 的计算结 ： 果如下 别为 17.39, 3.47cosh(0.2881.796)30.80,17.3917.47, 11.02cosh(0.0911.647) 126.59,17.4717.78. x yxx yxx 系泊系统示意图见右 风速风速36m/s36m/s时的计算结果时的计算结果 00 00 00 36m/s =20. m/s m/ 8= .45 s 99 v 的计算两 思路：用风速24的相同的模型和计算方 个主要的结果： 锚链与海床的夹角：，钢桶 法， 先给出风速36、重物球质量1200 的倾度：， 这两个指标都不满足要求，需要减小 kg 到1 时的计算结果， 说明是否需要增加重物球的质 6 和5 之内。 途径：增加重 量。 物球的重量 风速风速36m/s36m/s时的计算结果时的计算结果 0 0 00 00 000 0 000 2221.21kg =0.70m17.78m =4.48 =4.57=4.45 =4.33=4.21=4.09 w m m HR 计算结果： 重物球质量 = 浮标 计算步骤： 从1200kg开始逐渐增加重物球的重量， 对给定的质量 ，确定锚链的夹角的 大小，使得第三段悬链线末端的 ：， 纵坐 标与浮标吃 半径： 锚链与海床的夹角：， 钢桶：，钢管：， ， 水后下端的纵坐标相等 系泊系统示 。 意图见右 4. 4. 问题问题3 3的模型与求解的模型与求解 12345 12 0 =19.23, =28.45, =38.01, =47.48, =57.01 (N/m), =253.45, =42.08(N/m), =(N/m) uuuuu hh h 考虑水 当水流速度为 1.5m/s时，5种型号锚链每米的水流力 钢桶和钢管上的水流力： 水流对 流力时，需要计算 沉入水中每米浮标的水流力1683。 注意：这些都是在水流方向与这些组件 各个组 垂直时 件 单 上的 位长 水流力大小。 度所受的力 1/3 2/3 2 3 47800 3 374 (N) 47800 m m m v 重物球的质量为时，其半径为， 海水的作用力大小为： 。 与水流力有关的数据与水流力有关的数据 2 cossinsin , (0), sincos ,(0). , cos , ( , sin , ) , , , , dT fTH ds df dsT s dxdy xys ds TP x s Ty y d x 注意，这里的自变量是悬链线的弧长 和 与 的关系为 这个方程无法求出解析解，可以利用 计算机进行数值求解，得到许多个弧长 s所对应 需要考虑水流力时，记 和 为 点的力和夹角 的 得到悬链线的形 ，则悬链 状。 如利 线的方程为 用Euler折线法求解的公式如下 有水流力时悬链线的方程有水流力时悬链线的方程 10 2 10 10 10 cossinsin, sincos , cos,0, sin,0. kkkkkk kk kkk k kkkk kkkk TTfs TH f s T xxsx yysy 试算求解的主要步骤 给定重物球的质量、锚链长度、锚链在锚点的夹角； 计算浮标吃水深度、锚点的水平力和竖直力的大小、； 数值求解锚链对应的第一段悬链线； 计算钢桶的夹角，数值求解钢桶所对应的第二段悬链线； 计算最下钢管的夹角，数值求解钢管所对应的第三段悬链线； 调节弧长，令第三段悬链线的末端不浮标下端高度相等， 比较不同情况确定出锚链型号、长度、重物球的质量。 计算流程计算流程 锚点水平力=锚链、重物球、钢桶、钢管、浮标上的水平力之和； 锚点竖直力=锚点水平力乘以夹角的正切值； 决定浮标吃水深度=锚点竖直力+ 锚链、重物球、钢桶、钢管、浮标的重力； 锚链上的水流力=上端点的纵坐标乘以单位锚链所受的水流力； 迭代确定力的大小和浮标的吃水深度： 对水平力和竖直力进行初始估计，计算出浮标的吃水深度； 浮标上的风力和水流力，钢管、钢桶、锚链上的水流力，得到水平力； 乘正切得到竖直力，加上原来浮标所承受的力，重新计算其吃水深度； 修改水平力、竖直力、吃水深度，迭代计算到需要的精度。 力与吃水深度的计算力与吃水深度的计算 钢桶对应悬链线下端的夹角可以通过受力分析得到： 水平力等于浮标上的风力和水流力加上4节钢管和钢桶上的水流力； 竖直力等于锚链和小球在海水中的重量加上锚点的竖直力； 竖直力和水平力的比值就是夹角的正切，由此确定角度大小。 钢管对应悬链线下端的夹角也是通过受力分析得到： 水平力等于浮标上的风力和水流力加上4节钢管上的水流力； 竖直力等于锚链、重物球、钢桶在海水中的重量加上锚点的竖直力； 竖直力和水平力的比值就是夹角的正切，由此确定角度大小。 第二、三段悬链线的夹角第二、三段悬链线的夹角 重物球的质量主要影响钢桶的倾斜角度； 锚链的长度主要影响锚链在锚点不海床的夹角； 在浮标吃水深度大致相同时，V型锚链可减小游动区域； 选用V型锚链 极端情况1：风速:36m/s、水速1.5m/s、水深20m， 需要锚链21.82m，重物球的质量为4270kg； 锚链夹角为16度，钢桶的倾斜角度为5度； 浮标吃水深度1.69m，游动半径17.07m。 初步的计算结果初步的计算结果 极端情况2：风力36m/s、水1.5m/s、水深16m； 需要锚链21.44m，重物球的质量4460kg； 锚链夹角为0度，钢桶的倾斜角度为5度； 浮标的吃水深度1.70m，浮标半径18.94m。 当重物球的质量为4460kg时，对风力36m/s、水速1.5m/s、水深20m的情 况，用锚链21.78m锚链，就可以使得锚链不海床的夹角为16度。 系统设计：V型锚链21.78m，重物球质量4460kg。 系泊系统的设计系泊系统的设计 情况（1） 海面风速36m/s、 海水速度1.5m/s、水深20m， 浮标的吃水深度为1.75m， 游动区域半径为17.05m， 锚链全部拉起，锚链不海 床的夹角为16度，钢桶不 海床的夹角为4.82度。 不同情况时的效果（不同情况时的效果（1 1） 情况（2） 海面风速36m/s、 海水速度1.5m/s、水深16m， 浮标的吃水深度为1.70m， 游动区域的半径为19.28m， 锚链有0.34m拖地， 锚链不海床夹角为0度， 钢桶不海床的夹角为5度 不同情况时的效果（不同情况时的效果（2 2） 情况（3） 海面风速36m/s、 海水速度1.5m/s、水深18m， 浮标的吃水深度1.72m， 浮标的游动半径为18.30m， 锚链被全部拉起，锚链不 海床的夹角为7.08度， 钢桶的倾角为4.91度。 不同情况时的效果（不同情况时的效果（3 3） 情况（4） 海面风速24m/s、 海水速度1.5m/s、水深18m， 浮标的吃水深度为1.71m， 游动区域半径为18.20m， 锚链全部拉起，锚链不海 床的夹角为5.83度，钢桶 的倾斜角度为4.59度。 不同情况时的效果（不同情况时的效果（4 4） 情况（5） 海面风速24m/s、 海水速度1.5m/s、水深16m， 浮标的吃水深度为1.69m， 浮标的游动半径为19.17m， 锚链有0.84m拖地，锚链 不海床的夹角为0度，钢桶 倾斜角度为4.64度。 不同情况时的效果（不同情况时的效果（5 5） 情况（6）海面风速12m/s、 海水速度1.5m/s、水深16m， 浮标的吃水深度为1.69m， 浮标的游动半径为19.10m， 锚链有1.14m拖地，锚链 不海床的夹角为0度，钢桶 的倾斜角度为4.42度 不同情况时的效果（不同情况时的效果（6 6） 5.5.离散化的递推模型离散化的递推模型 锚链、钢桶、钢管均为刚体， 共215个组件，通过力平衡、 力矩平衡建模，计算出结果。 编号规则 1-210 对应一节锚链 211对应 钢桶 212-215对应一节钢管 受力分析受力分析 1 coscos sincos cossincossincoscos 22 2sin tan 2cos coscos= sin jjjj jjjjjj jj jjjjjjjjjjjj jjjj j jj jjjj jj j UD UBDW ll UlWUlB UBW j U UDF U 对第 个组件，两个坐标轴方向上力的平衡方程 以组件下端点为中心的力矩平衡方程 对第 个组件的夹角： 递推关系为： 1 sin jjjj DWB 在钢桶对应的组件中要考虑重物球的重量 递推计算递推计算 00 0 0011 211 cos=( sin (21)(21) 59.59 ,tan,arctan 22 0,0,cos,sin, 4 arctan jj jj jjjj jjjjjjjj UF U jwjw WBw FF xyxxlyyl 根据问题的实际背景，有下面的关系 水平力：浮标所受的风力=236.32N，210节锚链全部拉起时) 竖直力：该点之下所有组件在海水中的重量。 锚链部分，N 钢桶： 01 211210211211210211 012 212212211212212212210 20+2 ,cos,sin, 2 420+2 +2 arctan,cos,sin 2 www xxyy F wwww xxyy F 钢管： 其余三节钢管的计算过程类似 风速风速12m/s12m/s时计算结果时计算结果 o oooo 1.23 , 1.19 ,1.16 ,1.14 ,1.11 拉起的锚链151节，长度15.855m， 拖地锚链59节，拖地长度6.195m， 浮标吃 210节环链全用时，得到末端的坐标 高于浮标下端的坐 水深度0.684m， 浮标游动半径14.61m, 钢桶倾斜角度 钢管 标，调整计算 倾斜角度： 系泊系统 后得： 示意图见右 风速风速24m/s24m/s时计算结果时计算结果 o o 0 0 o oo 0 o 4.49 .7 , .6 ,4.5 ,4.3 ,4.2 锚链全部拉起，210节，长度22.05m， 锚链在锚点与海床的夹角为， 浮标吃水深度0.698m， 浮标游动半径17.78m, 钢桶倾斜角 210节环链全用，锚链与海床夹角 ， 浮标承载力要增加锚点竖直力 tan ， 调节 的大小，计算后 度4 钢管倾斜 得到结果如下： 角度：4 系泊系统示意图见右 风速风速36m/s36m/s， 重物球重物球 1200kg1200kg o o oooo .9 .7 , .4 ,9.2 ,9.0 ,8.8 锚链全部拉起，210节，长度22.05m， 锚链在锚点与海床的夹角为20， 浮标吃水深度0.72m， 浮标 重物球质量1200kg(调节前的情况); 210节环链全用，且在 游动半径18.87m, 钢桶倾斜角度9 钢管倾斜角度：9 系泊系统示 锚链和钢桶的夹角都不满足要求， 需要通过增加重 锚点有夹角 物球的重 意图见右 量来调整 风速风速36m/s36m/s， 重物球重物球 2221.5kg2221.5kg o o oooo .57 , .49 ,4.43 ,4.38 ,4.32 锚链全部拉起，210节，长度22.05m， 锚链在锚点与海床的夹角为16 ， 浮标吃水深度0.986m 重物球质量2221.5kg(调节后的情况); 210节环链全用，且在锚点有夹 ， 浮标游动半径18.54m, 钢桶倾斜角度4 钢管倾斜角度：4 系 锚链夹角恰好是16度，钢桶 泊系统 的夹角 示意图见右 角 小于5度。 考虑水流力时的受力分析考虑水流力时的受力分析 cos+cos,sincos cossincossin 22 sincoscos 2 2sin tan 2cos cos jjjjjjjjjjj jj jjjjjjjj j jjjjjj jjjj j jjj jj j USDUBDW ll UlWS l UlB UBW j US U 对第 个组件，两个坐标轴方向上力的平衡方程 以组件下端点为中心的力矩平衡方程 对第 个组件的夹角： 递推关系为： 11 cos sinsin jjj jjjjjj DS UDWB 还需要考虑重物球的重量和作用在其上的水流力 考虑水流力时的计算过程考虑水流力时的计算过程 00 1 cos=+ sin+ 2sin 0,0,tan 2cos jj jj jjjj j jjj j U U UBW xy US xx 根据问题的实际背景，力和角度有下面的关系 水平力：浮标所受的风力和水流力 上面组件的水流力 竖直力：该点之下所有组件在海水中的重量 锚点的竖直力。 分为锚链部分、钢桶、钢管三种情况计算，试算、迭代实现： 对给定的锚链长度、夹角和重物球质量，先估计一下各个部件上 的水平力和竖直力，用 ， 1 cos,sin, jjjjjjj lyyl 计算个点的坐标和角度； 将前一次计算的角度代入，计算力的大小、吃水深度等，迭代循环 到一定的精度即可。 6.6.竞赛答卷情况综述竞赛答卷情况综述 系泊系统设计题目是在实际问题的基础上加工形成的，用到 力平衡、力矩平衡、悬链线、递推关系等基础的物理和数学知 识，适吅于本科生的水平，也有一定的挑戓性和发挥空间。网 络上有一些讨论系泊系统的论文可以参考，但没有完全类似的 结果可以直接套用，需要学生在已有知识的基础上通过受力分 析建立模型和给出结果。 选A题的都用受力分析建立模型，计算机