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首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案 （非数学类，2009） （非数学类，2009） 一、 填空题 （1） 计算 dxdy yx x y yx D + 1 1ln)( =_， 其中区域D由直线1=+ yx 与两坐标轴所围三角形区域. （ 2 ） 设 ( )f x是 连 续 函 数 ， 满 足 2 2 0 ( )3( )2f xxf x dx= ， 则 ( )f x =_. （3） 曲 面 2 2 2 2 x zy=+ 平 行 平 面 220xyz+= 的 切 平 面 方 程 是 _. （4）设函数 ( )yy x=由方程 ( ) ln29 fyy xee=确定，其中 f具有二阶导数， 且 1f ，则 2 2 d y dx =_. 答案： 16 15 ， 2 10 3 3 x ， 2250xyz+ =， 2 23 1( )( ) 1( ) fyfy xfy . 二、求极限 2 0 lim() exxnx x x eee n +? ，其中 n是给定的正整数. 解：原式 2 0 limexp ln() xxnx x eeee xn + = ? 2 0 (ln()ln ) explim xxnx x eeeen x + = ? 其中大括号内的极限是 0 0 型未定式，由 L Hospital法则，有 2 0 (ln()ln ) lim xxnx x eeeen x +? 2 0 (2) lim xxnx xxnx x e eene eee + = + ? ? (12)1 () 2 enn e n + = ? 于是 原式= 1 () 2 n e e + . 三、 设函数 ( )f x连续, 1 0 ( )()g xf xt dt=， 且 0 ( ) lim x f x A x = ,A为常数， 求 ( )g x并 讨论( )g x在0x =处的连续性. 解：由题设，知 (0)0f=，(0)0g=. 令uxt=，得 0 ( ) ( ) x f u du g x x = (0)x ， 从而 0 2 ( )( ) ( ) x xf xf u du g x x = (0)x 由导数定义有 0 2 00 ( ) ( ) (0)limlim 22 x xx f u du f xA g xx = 由于 00 22 0000 ( )( )( ) ( ) lim( )limlimlim(0) 22 xx xxxx xf xf u duf u du f xAA g xAg xxx = ， 从而知 ( )g x 在 0x =处连续. 四、已知平面区域 ( , )|0,0Dx yxy= ，L为D的正向边界，试证： （1） sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx = ? ； （2） sinsin2 5 2 yx L xedyyedx ? . 证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计 算. (1) 左边 0 sinsinsinsin 00 () yxxx edyedxeedx =+ ， 右边 0 sinsinsinsin 00 () yxxx edyedxeedx =+ ， 所以 sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx = ? (2) 由于 sinsin2 2sin xx eex + ， sinsinsinsin2 0 5 () 2 yxxx L xedyyedxeedx =+ ? . 证法二： （1）根据 Green公式，将曲线积分化为区域D上的二重积分 sinsinsinsin () yxyx LD xedyyedxeed =+ ? sinsinsinsin () yxyx LD xedyyedxeed =+ ? 因为 关于 yx= 对称，所以 sinsinsinsin ()() yxyx DD eedeed +=+ ，故 sinsinsinsinyxyx LL xedyyedxxedyyedx = ? . (2) 由 2 2 0 22 (2 )! n tt n t eet n = +=+ sinsinsinsinsinsin2 5 ()() 2 yxyxxx LDD xedyyedxeedeed =+=+ ?. 五、已知 2 1 xx yxee=+ ， 2 xx yxee=+ ， 2 3 xxx yxeee=+ 是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知： 2x e 与 x e 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 x xe 是非齐次的一个特解.因此可 以用下述两种解法 解法一： 故此方程式 2( )yyyf x= 将 x yxe= 代入上式，得 ( )()()2222 xxxxxxxxxx f xxexexeexeexexeexe=+= ， 因此所求方程为 22 xx yyyexe= . 解法二：故 2 12 xxx yxec ec e=+ ，是所求方程的通解， 由 2 12 2 xxxx yexec ec e = + ， 2 12 24 xxxx yexec ec e = + ，消去 12 ,cc 得所 求方程为 22 xx yyyexe= . 六、设抛物线 2 2lnyaxbxc=+ 过原点，当 0 1x 时， 0y ，又已知该抛物 线与x轴及直线 1x= 所围图形的面积为 1 3 . 试确定 ,a b c 使此图形绕 x轴 旋转一周而成的旋转体的体积V最小. 解： 因抛物线过原点，故 1c = 由题设有 1 2 0 1 () 323 ab axbx dx+=+= .即 2 (1) 3 ba= ， 而 1 2222 0 111 () 523 Vaxbx dxaabb=+=+ 22 111 4 (1)(1) 533 9 aaaa=+ . 令 2128 (1)0 53327 dv aaa da =+= ， 得 5 4 a = ，代入 b的表达式 得 3 2 b = . 所以 0y ， 又因 2 5 2 4 2284 |0 5327135 a d v da = =+= 及实际情况， 当 53 ,1 42 abc= = 时，体积最小. 七、已知 ( ) n ux 满足 1 ( )( ) nx nn uxuxxe =+ （n为正整数） ， 且 (1) n e u n = ，求函数项级数 1 ( ) n n ux = 之和. 解：先解一阶常系数微分方程，求出 ( ) n ux 的表达式，然后再求 1 ( ) n n ux = 的 和. 由已知条件可知 1 ( )( ) nx nn uxuxxe = 是关于 ( ) n ux 的一个一阶常系数线 性微分方程，故其通解为 1 ( )()() n dxdx nxx n x uxexe edxcec n =+=+ ， 由条件 (1) n e u n = ，得 0c= ，故 ( ) nx n x e ux n = ， 从而 111 ( ) nxn x n nnn x ex uxe nn = = . 1 ( ) n n x s x n = = ， 其 收 敛 域 为 1, 1) ， 当 ( 1, 1)x 时 ， 有 1 1 1 ( ) 1 n n s xx x = = ， 故 0 1 ( )ln(1) 1 x s xdtx t = 当 1x= 时， 1 1 ( )ln2 n n uxe = = . 于是，当 11x 时，有 1 ( )ln(1) x n n uxex = = . 八、求1x 时，与 2 0 n n x = 等价的无穷大量. 解解： 222 00 0 1 tnt n x dtxx dt + = + ， 2 2 1 ln 00 t t x x dtedt + = 2 0 11 1 21 ln ln t edt x x + = 1 21x . 第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 （非数学类，2010） （非数学类，2010） 一 （本题共 5 小题， 每小题 5 分， 共 25 分） 、 计算下列各题 （要求写出重要步骤） . (1) 设 2 (1) (1)(1) n n 2 xaaa=+?，其中1 lim0 sxn x ex + =，所以， 1 000 11 nsxnsxsxn nn n Ix dex eedxI ss + s = = = 由此得到， 120 1 1! nnn nn nn nnn IIII sssss ! + =? 1 (4) 设函数 f ( t )有二阶连续的导数， 22 rxy=+， 1 ( , )( )g x yf r =，求 22 22 . gg xy + 解解 因为, rxry xryr = ，所以 3 1 ( ) gx f xrr = ， 2222 265 121 ( )( ). gxxy ff xrrrr =+ 利用对称性， 22 2243 1111 ( )( ) gg ff xyrrrr +=+ (5) 求直线 1 0 : 0 xy l z = = 与直线 2 21 : 42 xyz l 3 1 = 的距离. 解解 直线 的对称式方程为 1 l 1: 110 xyz l=. 记两直线的方向向量分别为 ， 两直线上的定点分别为和， . 1 (10)l = ? aP= ? ? ,1, 12 P ? 2 (4, 2, 1)l = ? ? (2,1,3) 1(0,0,0) P 2(2,1,3) P 12 ( 1,1, 6)ll= ? ? . 由向量的性质可知，两直线的距离 12 12 ()| 21 18|191 21 13638 all d ll + = + + ? ? ? ? 9 二（本题共 15 分） 、 设函数在)(xf)(+,上具有二阶导数，并且 ( )0,fxlim( )0 x fx + =，lim x ( )fx0 =( )0fa. ( )0fx知是凹函数，从而( )yf x=( )( )( )()()f xf af a xaxa+ 当x +时，()( )()ffa xa+ + +. 故存在，使得 ab （6 分） ( )( )( )()0f bf afa ba+ 2 同样，由lim( )0 x fx =+ 在 0 , x b 和利 用 零 点 定 理 ， 0 ,d x 10 (, )xx b ， 2 ( ,) 0 xd x使 得 （12 分） 1 () 2) 0=(f xf x 下面证明方程在0)(=xf)(+,只有两个实根. 用反证法. 假设方程0)(=xf在)(+, 232 x ,x 内有三个实根，不妨设为， 且. 对在区间和上分别应用洛尔定理，则各至少 存在一点（ 321 x ,x ,x 321 xxx，必有一个充分大的，使得 0 xa ( )0fa. 因在)(xf)(+,上具有二阶导数， 故( )fx及( )fx在)(+,均连续. 由 拉格朗日中值定理，对于ax 有 ( ) ( )( )()f xf afa xa+=( )( )( )()f xf afa xa =( )()( )()fxafa xa= ( )( )()ffaxa =( )()()fa xa . 其中xa,xa） ，则 3 ( )( )( )()()f xf af a xaxa+ 又因 故存在，使得 ( )0,faab ( )( )( )()0f bf afa ba+ （6 分） 又已知，由连续函数的中间值定理，至少存在一点 使得 0)( 0 .（15 分） 四（本题共 15 分） 、设 1 0, n nn k aS = = k a ，证明： （1）当1时，级数 1 n n n a S + = 收敛； （2）当1，且（n）时，级数 n S 1 n n n a S + = 发散. 证明证明 令 1 1 ( ), nn f xxxSS =. 将( )f x在区间上用拉格朗日中值定 理， 1 , nn SS )存在 1 (, nn SS 11 ()()( )() nnnn f Sf SfSS = 即 （5 分） 11 1 (1) nn SS = n a （1）当1时， 11 1 11 (1)(1) nn nn aa SSSn = . 显然 11 1 11 nn SS 的 前n项和有界， 从而收敛， 所以级数 1 n n n a S + = 收敛. （8 分） （2）当1=时，因为，单调递增，所以 0 n a n S 11 1 1 npnp npn kn k k nk n knpnpn SS aS a SSSS + + = += + p+ = 因为对任意n，当 n S +p? 1 2 n n p S S + t是由抛物面和球面 所围起来的部分. 定义三重积分 22 yxz+= 2222 tzyx=+)0( t 。 +=dvzyxftF)()( 222 求的导数. )(tF)( tF 解法 1. 记 2 1 41 ( ) 2 t gg t + =, 则在xy面上的投影为 22 xyg+ .（2 分） 在曲线上任取一点, 则原点到的点的射线和轴的夹角 为 =+ =+ 2222 22 : tzyx zyx S),(zyxz arccosarccos t zg tt =. 取0t, 则 ttt+ . 对于固定的, 考虑积分差 , 这是一个在厚度为 0t )()(tFttF+t的球壳上的积分. 原点到球壳边缘上的点的射线和 轴夹角在z tt + 和 t 之间. 我们使用球坐标变换来做这个积分, 由积分的连续性可知, 存在 )( t=, ttt + , 使得 . （4 分） + =+ tt t drrrfddtFttF sin)()()( 22 0 2 0 这样就有. 而当, () + =+ tt t drrrftFttF 22) (cos12)()( + 0t ( ) coscos t g t t =, )()( 1 2222 tftdrrrf t tt t + . 故的右导数为 )(tF () 2222 ( ) 21( )2114( ) g t t f tttt f t t =+ + . （4 分） 当, 考虑可以得到同样的左导数. 因此 0 ，则 1 n n a = 收敛； （2）若 11 1 lim0 n n nnn a abb + , 则存在N ,对于任意的时, nN 11 11 , n nnn a abb + 1 1 1 , nn n nn aa a bb + + + 1 1 1 1 () nn n nn aa a bb + + + =? N n N b 于是由发散,得到发散. （3 分） 1 n n b = 1 n n a = 第第五五届届全全国大学生数学竞赛国大学生数学竞赛预预赛赛试卷试卷 评分评分细则细则 一、(共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 解答下列各题 . 1. 求极限 ? 2 lim 1 sin1 4 n n n? ? ?. 解 ? 22 2 sin1 4sin1 42sin 21 4 nnn nn ? ? ? ? ? (2 分) 原式 2 lim 1 sin 21 4 n n nn ? ? ? ? ? ? ? 2 exp lim ln 1 sin 21 4 n n nn ? ? ? ? ? ? ? ? (2 分) 2 exp lim sin 21 4 n n nn ? ? ? ? ? ? ? 1 4 2 exp lim 21 4 n n e nn ? ? ? ? ? ? ? (2 分) 2 证明广义积分 sin 0 x dx x ? ? 不是绝对收敛的. 证. 记 () |sin| 1n n n x adx x ? ? ? ? ? , 只要证明 0 ? ? ?n n a发散. (2 分) 因为 () |sin|sin ()()() 1 0 112 111 n n n ax dxxdx nnn ? ? ? ? ? ? ? . (3 分) 而 0 2 (1)? ? ? ? ? n n 发散, 故 0 ? ? ?n n a发散. (1 分) 3. 设函数( )yy x?由 323 322xx yy?所确定. 求( )y x的极值. 解解 方程两边对 x 求导，得 222 363 60xxyx yy y? (1 分) 故 22 (2 ) 2 x xy y yx ? ? ? ，令0y ?，得(2 )0x xy?0x?或2xy? ?. 将0x ?和2xy? ?代入所给方程，得 02 11 xx yy ? ? ? ? ? ? 和. (2 分) 又 222 222 0 1 0 (2)(22 2 )(2)(4 2 ) 10 (2) x y y yxxxyyxxyyyx y yx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 2 1 0 10 x y y y ? ? ? ? ?. 故(0)1y? ?为极大值，( 2)1y ?为极小值. (3 分) 4 过曲线 3 (0)?yx x上的点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为 3 4 , 求点A的坐标. 解解 3 AttA设切点的坐标为( , ),曲线过点的切线方程为 3 32 1 () 3 ytxt t ? (2分) 0 0,2yxxt?令由上式可得切线与轴交点的横坐标 0 SAx totA?平面图形的面积的面积 曲边梯形的面积 333 0 133 3d1 244 t Sttxxt tt? ? ? ，(1,1).A?的坐标为 (4分) 二、 (12 分) 计算定积分 2 sinarctan d 1cos x xxe Ix x ? ? ? ? ? ? . 解 0 22 0 sinarctansinarctan dd 1cos1cos xx xxexxe Ixx xx ? ? ? ? ? ? 22 00 sinarctansinarctan dd 1cos1cos xx xxexxe xx xx ? ? ? ? ? ? (4 分) 2 0 sin (arctanarctan)d 1cos xx xx eex x ? ? ? ? ? 2 0 sin d 21cos xx x x ? ? ? ? ? (2 分) 2 2 0 sin 21cos x dx x ? ? ? ? ? ? ? (4 分) 2 3 0 arctan(cos ) 28 x ? ? ? ? ? ? (2 分) 三、(12 分)设( )f x在0x ?处存在二阶导数(0) f ? ，且 0 ( ) lim0. x f x x ? ? 证明：级数 1 1 n f n ? ? ? ? ? ? 收敛. 证 由于( )f x在0x ?处连续，且 0 ( ) lim0 x f x x ? ?， 则 00 ( ) (0)lim( )lim0 xx f x ff xx x ? ?， (分) 0 ( )(0) (0)lim0 0 x f xf f x ? ? ? ? . (分) 应用罗比达法则， 2 0 ( ) lim x f x x ? ? 0 ( ) lim 2 x fx x ? ? ? 0 ( )(0)1 lim(0). 2(0)2 x fxf f x ? ? ? ? (分) 所以 0 2 1 1 lim(0) 1 2 n f n f n ? ? ? ? ?. (分) 由于级数 2 1 1 n n ? ? ? 收敛，从而 1 1 n f n ? ? ? ? ? ? 收敛. (3 分) 四四、(10 分分) 设|( )|,( )0()f xfxmaxb?，证明 2 sin( )d b a f xx m ? ? . 证证 因为( )0()fxmaxb?，所以 ( )f x在 , a b上严格单增，从而有反函数. (2 分) 设 ( )Af a?，( )Bf b?，?是f的反函数，则 11 0( ) ( ) y fxm ? ? ， (3 分) 又|( )|f x?，则AB?，所以 ( ) sin( )d( )sind xy bB aA f xxyyy ? ? ? ? ? (3 分) 0 12 sindyy mm ? ? ? (2 分) 五、(分)设?是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型的曲面积分 ? 333 23Ixx dydzyy dzdxzz dxdy ? ? ? . 试确定曲面?, 使得积分I的值最小, 并求该最小值. 解. 记?围成的立体为V, 由高斯公式, ? 222222 36933231 VV Ixyzdvxyzdxdydz? ? . (分) 为了使得I达到最小, 就要求V是使得 222 2310xyz? ?的最大空间区域, 即 ? 222 ( , , )|231Vx y zxyz?. (分) 所以V是一个椭球, ?是椭球V的表面时, 积分I最小. 为求该最小值, 作变换 /2 /3 xu yv zw ? ? ? ? ? ? ? . 则 ( , , )1 ( , , )6 x y z u v w ? ? ? , 有 ? 222 222 1 3 1 6 uvw Iuvwdudvdw ? ? ? . (4 分) 使用球坐标变换, 我们有 ? 21 22 000 34 6 1sin 156 Iddrrdr ? ? ? ? . (分) 六、(14 分) 设 22 ( ) () a a C ydxxdy Ir xy ? ? ? ? , 其中a为常数, 曲线C为椭圆 222 xxyyr?, 取正 向. 求极限lim( ) a r Ir ? . 解. 作变换 ()/2 ()/2 xuv yuv ? ? ? ? ? ? , 曲线C变为uov平面上的 222 31 : 22 uvr?, 也是取正向 (2 分) 且有 2222 xyuv?, ydxxdyvduudv?, 22 ( ) () a a vduudv Ir uv ? ? ? ? ? . (2 分) 作变换 2 cos 3 2 sin ur vr ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 则有 2 2 3 vduudvr d? ? 2 2 ( 1)2 ( 1) 22 0 22 ( ) (2cos/32sin)33 aa aa a d IrrrJ ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 其中 2 22 0 (2cos/32sin) ? ? ? ? ? ? a a d J, 0 a J? ?. (3 分) 因此当1a ?和1a ?, 所求极限分别为 0 和?. (2 分) 而当1a ?, 2/ 2 1 2222 000 t an 443 2 co s/ 32 s i n2 / 32 t an2 / 32 ddd t J t ? ? ? ? ? ? ? ? . (3分) 故所求极限为 0,1 lim( ),1 2 ,1 a r a Ira a? ? ? ? ? ? ? ? ? . (2 分) 七、(14 分) 判断级数 ? ? ? ? ? 1 )2)(1( 1 2 1 1 n nn n ? 的敛散性, 若收敛，求其和. 解: (1) 记 11 1 2 n a n ? ?，, , , ()() 1 2 3 12 ? ? n n a un nn . 因为n充分大时 ln 1 111 0111 2 n n adxnn nx ? ? ? ? ? , (3 分) 所以 3/2 1 (1)(2) ? ? n n u nnn 而 / 3 2 1 1 ? ? ? n n 收敛，所以? ? ?1n n u收敛. (2 分) （2）(, ,) 11 11 2 2 k ak k ? ? 111 11 1 2 (1)(2)(1)(2)12 nnn kkk n kkk aaa k S kkkkkk ? ? ? ? ? ? ? ? 111122 2334112 ? ? ? ? ? ? nnnn aaaaaaaa nnnn (2 分) ()()() 121321 11111 23412 ? ? ? nnn aaaaaaaa nn (2 分) . () 1111111 1 1 22 33 4122 nn aa nnnnn ? ? ? ? ? ? (2 分) 因为ln01 n an? ? 所以 2 ln1 2 0 ? ? ? ? ? n n n an 且 0 2 ln1 lim? ? ? ? n n n . 所以0 2 lim? ? ? n an n . 于是 lim1 0 01 n n SS ? ? ? ?. 证毕。 (3 分) 2015 年第七届预赛（非数学类）参考答案年第七届预赛（非数学类）参考答案 一、每小题 6 分，共计 30 分。 (1) 极限 222 2 sinsin sin2 lim 12 n nn n nnnn += + L 。 解：由于 11 sin 1 sin 1 nn ii i i n i nn n n = + + 1 1 sin, n i i nn = 而 1 1 limsin 1 n n i i nn = + = 0 1 12 limsinsin (1) n n i ni xdx nnn = = + ， 1 1 limsin n n i i nn = = 1 1 limsin n n i i nn = = 0 12 sin xdx = 。 所以所求极限是 2 . （2）设函数( , )zz x y=由方程(,)0 zz F xy yx +=所决定，其中( , )F u v具有连续偏导 数，且0 uv xFyF+。则 zz xyzxy xy += 。 （本小题结果要求不显含 F 及其 偏导数） 解：方程对 x 求导，得到 2 11 10 uv zzz FF yxxxx += 即 2 () vu uv zy zFx F x xxFyF = + 。 同样，方程对 y 求导，得到 2 () uv uv zx zFy F y yxFyF = + 。 于是 ()() uvuv uv zzz xFyFxy xFyF xyzxy xyxFyF + += + （3）曲面 22 1zxy=+在点 M(1,1,3)的切平面与曲面 22 zxy=+所围区域的体积为 2 。 解：曲面 22 1zxy=+在点 M(1,1,3)的切平面：2(1)2(1)(3)0xyz+=， 即221zxy=。联立 22 221 zxy zxy =+ = ， 得到所围区域的投影 D 为： 22 (1)(1)1xy+。 所求体积 2222 (221)()1(1)(1) DD Vxyxydxdyxydxdy=+=+ 令 1cos 1sin xrt yrt = + = ， 21 2 00 (1) 2 Vdtrrdr = 。 （4）函数 3, 5,0) ( ) 0,0,5) x f x x = 在( 5,5的傅立叶级数在 x=0 收敛的值 3/2 。 解：由傅里叶收敛定理，易知 f(0)=3/2. （5）设区间(0,)+上的函数( )u x定义为 2 0 ( ) xt u xedt + =，则( )u x的初等函数表达式为 2 x 。 解解 由于 2222 2() 00 0,0 ( ) xtxsx st st uxedtedsedsdt + + = , 故有 222/2 22 000 0 ( )() 444 xxx uxdededxe xxx =+ + = = = 。 所以( ) 2 u x x =。 二、 （12 分）设 M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。 解：显然，O(0,0,0)为 M 的顶点，A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)在 M 上。由 A,B,C 三点决定的平 面1xyz+=与球面 222 1xyz+=的交线 L 是 M 的准线。4 分 设P(x,y,z)是M上的点， (u,v,w)是M的母线OP与L的交点， 则OP的方程为 1xyz uvwt =， 即 u=xt,v=yt,w=zt。8 分 代入准线方程，得 2222 ()1 ()1 xyz t xyzt += += 。 消除 t，得到圆锥面 M 的方程0xyyzzx+=。12 分 三、 （12 分）设 ( )f x在( , )a b内二次可导，且存在常数, ，使得对于( , )xa b ( )( )( )fxf xfx=+， 则( )f x在( , )a b内无穷次可导。 证明 1. 若0=。 对于( , )xa b ，有 ( )( )fxf x=， 2 ( )( )( ),fxfxf x=L ( )( ) ( ) nn fxf x=。 从而( )f x在( , )a b内无穷次可导。 4 分 2. 若0。对于( , )xa b ，有 11 ( )( ) ( )( )( ), fxf x fxA fxB f x =+ （1） 其中 11 1/,/AB =。 6 分 因为（1）右端可导，从而 11 ( )“( )( )fxA fxB fx=+。 8 分 设 ( )(1)(2) 11 ( )( )( ),1 nnn fxA fxB fx n =+，则 (1)( )(1) 11 ( )( )( ) nnn fxA fxB fx + =+。 故( )f x任意阶可导。 12 分 四、 （14 分）求幂级数 = + + 0n 3 ) 1( )!1( 2 n x n n 的收敛域与和函数 解：因 0 )2)(2( 2) 1( 3 3 1 limlim = + + = + nn n a a n n n n 。 固收敛半径+=R，收敛域为),(+。4 分 由 )!1( 1 ! 1 )!2( 1 )!1( 1 )!1( 1 )!1( ) 1() 1( )!1( 2 3 + + = + + + + + + + = + + nnnnn n n nnn n n )2( n 及幂级数 n n x n ) 1( )!2( 1 2 = ， n n x n ) 1( ! 1 0 = 和 n n x n ) 1( )!1( 1 0 + = 的收敛域皆为),(+得 n n n n n n n x n x n x n x n n ) 1( )!1( 1 ) 1( !