北师大版八年级数学上册全部教案.pdf

北师大版八年级数学上册全部教案北师大版八年级数学上册全部教案 *本文档由草庐一苇整理制作，共 120 页 * *更多精品文档，请访问我的主页：* * * 目录目录 第一章 勾股定理 . 3 第一章 勾股定理 3 1.探索股定理（第 1 课时） 5 1. 探索股定理（第 2 课时） 6 课题学习 拼图与勾股定理（第 3 课时） 7 2.能得到直角三角形吗 9 3 蚂蚁怎样走最近 11 回顾与思考 12 第二章 实 数 . 15 实 数 16 第一节 数怎么又不够了（第 1 课时） 18 2.1 数怎么又不够用了（一） 19 2.1 数怎么又不够用了（二） 20 第一节 数怎么又不够了（第 2 课时） 22 2.2 平方根（一） 23 第二节 平方根（第 1 课时） 25 第二节 平方根（第 2 课时） 26 2.2 平方根（二） 28 第三节 立方根 30 2.3 立方根 31 2.4 公园有多宽 33 第四节 公园有多宽 35 第 5 节 用计算器开放 36 2.5 用计算器开方 37 2.6 实数（1） 38 第 6 节 实数（第 1 课时） 40 第 6 节 实数（第 2 课时） 41 2.6 实数（2） 42 2011-10-10 10:11:22 共 120 页 第 1 页 2.6 实数（3） 44 第 6 节 实数（第 3 课时） 46 第三章 图形的平移与旋转 . 47 第三章 图形的平移与旋转 47 第一节：生活中的平移 48 第二节 简单的平移作图（第一课时） 50 第二节 简单的平移作图（第二课时） 51 第三节：生活中的旋转 52 第四节：简单的旋转作图 54 第五节：它们是怎样变过来的 56 第六节：简单的图案设计 57 第四章 四边形性质探索 . 59 第四章 四边形性质探索 60 第一节：平行四边形的性质（1） 61 第一节：平行四边形的性质（2） 62 第二节：平行四边形的判别（1） 63 第二节：平行四边形的判别（2） 64 第三节：菱形 65 第四节 矩形、正方形（1） 66 第四节 矩形、正方形（2） 67 第五节 梯形（1） 68 第五节 梯形（2） 70 第六节 探索多边形的内角和与外角和（1） 71 第六节 探索多边形的内角和与外角和（2） 72 第七节 中心对称图形 73 课题学习 平面图形的密铺 74 第五章 位置的确定 . 75 第五章 位置的确定 76 第一节：确定位置（1） 77 第一节：确定位置（2） 78 第二节：平面直角坐标系（1） 79 第二节：平面直角坐标系（2） 80 第二节：平面直角坐标系（3） 81 5.3 变化的鱼 . 82 5.3 变化的鱼（二） . 84 第六章 一次函数 . 87 第六章 一次函数 87 第 1 节 函数 88 2011-10-10 10:11:22 共 120 页 第 2 页 第二节一次函数 89 第 3 节 一次函数的图象（1） 91 第 3 节 一次函数的图象（2） 92 第 4 节 确定一次函数表达式 93 6.5 一次函数图象的应用（一） . 94 第七章 二元一次方程组 . 97 第七章 二元一次方程组 97 第 1 节 谁的包裹多 98 第 2 节 解二元一次方程组（1） 99 第 2 节 解二元一次方程组（2） 100 第 3 节 鸡兔同龙 101 第 4 节 增收节支 102 第 5 节 里程碑上的数 103 第 6 节 二元一次方程与一次函数（1） 104 第 6 节 二元一次方程与一次函数（2） 105 回顾与思考 106 第八章 数据的代表 . 107 第八章 数据的代表 107 8.1 平均数（一） . 108 8.1 平均数（二） . 110 8.2 中位数和众数 112 8.3 利用计算器求平均数 . 118 第八章 数据的代表回顾与思考 119 第一章第一章 勾股定理勾股定理 第一章第一章 勾股定理勾股定理 本章在知识与方法上和七年级（上）第五章 三角形、八年级（上）第三章 四边形等 探索图形性质活动密切相关；同时又作为学习下一章“实数”的一个重要基础；是进一步培养 学生推理论证的一个题材。 一、教学目标 1经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力， 体会数形结合的思想。 2011-10-10 10:11:22 共 120 页 第 3 页 2掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法并能运用勾股定理解决一些实际 问题。 3掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。 4通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中 起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰 富的文化价值。 勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征， 通过对勾股定理的学 习，使学生在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 为了使学生能更好地认识勾股定理、发展推理能力，教材设计了在方格纸通过计算面 积的方法探索勾股定理的活动， 同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容， 让学生经 历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关 系, 渗透了数形结合的数学思想。 勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中并不要求学生从逻辑上对定理与逆 定理进行一般的认识，因此，教材中没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角 形的判别条件。 为了让学生更好地体会勾股定理及逆定理在解决实际问题中的作用， 教材提 供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示它们的应用， 体现了它们的文化价值。 本章更多 的关注的是对勾股定理的理解和实际应用， 而不追求计算上的复杂。 在学生学习了无理数之 后，可以再利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题 二、教学要求 1注重使学生经历探索勾股定理等过程。 教材中安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动，应鼓励 学生充分从事这些活动，通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能 力。在活动中一方面要关注学生是否积极参与，是否能与同伴进行有效的合作交流；另一方 面也要关注学生在活动中能否进行积极的思考， 能否探索出解决问题的方法， 是否能够进行 积极的联想，在活动中的归纳、概括能力，学生是否能够有条理的表达活动过程和所获得的 结论等。 2注重创设丰富的现实情境，体现勾股定理及其逆定理的广泛应用。 勾股定理和逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用，应充分利用教材中的素材让学 生体会这种应用， 如埃及人利用结绳的方法作出直角， 利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。 2011-10-10 10:11:23 共 120 页 第 4 页 还可以创设其他实际情境或鼓励学生自己寻找有关问题， 进一步展现勾股定理和逆定理在解 决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息。 3尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值。 勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴含了丰富的文化价值，应鼓励每一个学生阅读 教材提供的勾股定理的历史， 还可以向学生再展示一些历史资料。 还可以引导学生自己从书 籍、网络上查阅资料，了解更多的有关勾股定理的内容，体会它的文化价值。 4注意渗透形数结合的思想。 在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现。在教学中应注意渗 透这种思想， 鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形、 由几何图形联想到有关的代数表 示，这有助于学生认识数学的内在联系。 5、注意直观教学，注意与传统教学的区别，尽可能的利用课件或实物投影。 6、注意在简单应用中强化认识。 1.探索股定理（第探索股定理（第 1 课时）课时） 教学目标：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结 合的思想。 教学重点：勾股定理及其应用 教学难点：探索勾股定理的过程 教学方法:引导发现法 教学过程: 一、想一想 1、古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用 l3 个等距的结把一根绳子分成等距的 12 段,一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结,两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个 结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形。这是为什么? 2、有一个圆柱,在圆柱下底面的 a 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与 a 点相对的 b 点 的食物,你能求出蚂蚁爬行的最短行程吗? 教师提出问题,引发学生思考,使学生在寻求解决问题办法的过程中体会学习新知识的 必要性,从而激发学生学习本章知识的好奇心和探索欲望。 二、做一做 观察图形并回答问题:(每个小方格代表一个单位面积) 1、你能求出 a、b、c 的面积吗?你是怎样求的？互相交流 2、通过观察和计算你们发现了什么? 2011-10-10 10:11:23 共 120 页 第 5 页 在此设计在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动,目的是使学生充分经 历观察、归纳、猜想的过程,通过对几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般 规律。在计算的面积时,学生可能有不同的方法,教师一定要鼓励学生运用自己的语言进行表 达和交流,并给予学生及时的肯定。 三、议一议 (1)你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ (2)分别以 5 厘米、12 厘米为直角边作部一个直角三角形,并测量斜边的长度。(1)中的 规律对这个三角形仍然成立吗? 学生通过对前面几个直角三角形的分析、归纳,已经初步发现直角三角形三边长度存在 的关系,考察一个特例的目的是使学生确认自己的发现。教师可以让每一个学生任意画一个 直角三角形,再次验证自己的发现,并在此基础上得到最后的结论。 在这个过程中,学生体验到 由特例归纳猜想、由特例检验猜想的过程。 四、学一学 勾股定理： 如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜边为 c,那么 a2+b2=c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如图，小明的妈妈买了一部 29 英寸(74 厘米)的电视机,小明量了电视机的荧幕后,发现 荧幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?小组交流。 这是一个贴近学生生活的、有趣的实例,教师成引导学生利用勾股定理解决这个问题, 使学生进一步了解勾股定理的广泛应用。 七、练一练 1、一根旗杆在离地面 9 米出断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部 12 米处,旗杆折断前有多 高? 2、蚂蚁沿图中所示的折线由 a 点爬到了 d 点,蚂蚁一共爬行了多少厘米?(图中小方格 的边长代表 l 厘米) 3、某人骑自行车从 a 地出发向南行 20 到达 b 地,再向西行 21 到达 c 地,求 c、a 两地 之间的距离是多少? 学生在解决这几个问题的过程中,初步体会勾股定理的应用。教师要鼓励学生充分发表 自己的意见并给予及时的评价。 八、感悟与收获 1. 探索股定理（第探索股定理（第 2 课时）课时） 教学目标： 掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法,并能运用勾股定理解决一些实际问 题. 教学重点：利用拼图的方法验证勾股定理 2011-10-10 10:11:23 共 120 页 第 6 页 教学难点：拼图的方法验证勾股定理，以及运用勾股定理解决一些实际问题. 教学方法：学生用具：自制的全等直角三角形八个以上 教学工具：多媒体 教学过程： 一、本课时是利用拼图的方法验证勾股定理，这在后面的课题学习中将进一步探讨。 教学中，要引导学生进行联想，将形的问题与数的问题联系起来；要鼓励学生大胆地 拼摆,对于学生可能拼摆出来的与图 1 一 7 不同的图形，都应给予鼓励。 二、教师提出问题： 我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关下面我们用另一种方法来说明 它是正确的. 三、学生活动：（学生在教师的引导下完成以下操作） (1)在一张纸上画 4 个与图 1-6 全等的直角三角形,并把它们剪下来。 (2)用这 4 个直角三角形拼一拼,摆一摆,看看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方 形.你能利用它说明勾股定理吗？ 注意：要鼓励学生大胆地拼摆,对于学生可能拼摆出来的与图 1 一 7 不同的图形，都应 给予鼓励。 四、教学 p.7 例 1 例 1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶 5000 米。飞机每时飞行多少千米? 注意：对于 p.7 中的例 1 这是一个实际应用问题，经过分析，问题可转化为已知两边 求直角三角形中第三边的问题。这儿要注意向学生渗透转化的数学思想。 五、p. 8 的议一议 p. 8 的议一议意在使学生得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它三边不满足 a2+b2=c2。通过这个结论，可使学对直角三角形的三边的关系有进一步的认识。 补充题： 1.如图，在 abc 中，ab=15,bc=14,ca=13,求 bc 边上的高 ad。 2.如图，在 abc 中，acb=900，cd 是高，ab=13，ca=5，求 cd 的长 3.如图，在 abc 中，bac=900，ab=ac，d、e 在 bc 上，且dae=450， 求证：cd2+be2=de2 课题学习课题学习 拼图与勾股定理（第拼图与勾股定理（第 3 课时）课时） 一.教学目标 1.经历综合运用已有知识解决问题的过程；在此过程中,加深对勾股定理、整式运算、 面积等的认识. 2.经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题方法的多样性,进一 步体会勾股定理的文化价值. 2011-10-10 10:11:23 共 120 页 第 7 页 3.通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系. 4.通过丰富有趣的拼图活动,经历观察、比较、拼图、计算、推理、交流等过程,发展空 间观念和有条理地思考与表达的能力,获得一些研究问题与合作交流的方法与经验. 5.通过获得成功的体验和克服困难的经历,增进数学学习的信心. 二、教学重点与难点： 1.经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题方法的多样性 2.通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系. 三、教学工具：多媒体 四、学生用具： 1.若干全等的直角三角形； 2.自制的两到三副五巧板 五、教材分析 本课题学习给出了中国古代历史上利用拼图的方法对勾股定理进行验证的几种思路， 也介绍了国外一些验证勾股定理的方法。在本课题中,设计了丰富的拼图活动,学生经过自己 的操作和思考，学生可以经历验证勾股定理的过程，感受解决同一问题的不同方法，同时激 发了学习数学的兴趣，积累数学活动经验。 课题学习中给出的验证方法,虽然都与图形的拼摆、分割有关,但又各有特点.第一部分 （p.19-20） 的拼图方法与第一章第一节中验证方法有共同之处,都是将数与形联系起来,由所 拼图形的面积表达式之间的关系,通过代数恒等变形验证勾股定理.第二部分(p.20-21)介绍 的是“青朱出入图”,它是我国古代数学家利用拼图来验证勾股定理的一种著名方法.这种方法 是利用拼图来说明以勾、股为边长的正方形(分别称为朱和青),经过割补可以拼成以弦为边 长的正方形.在这部分的学习中,主要以学生的实践活动为主.第三部分(p.22)介绍了意大利 著名画家达芬奇对勾股定理的一种研究结果,他的方法新颖,具有一定的操作性,可以开阔学 生的视野、丰富学生的想像. 学生独立思考、自主探究、合作交流应是进行“课题学习”的主要学习方式。所以教师 应把学习的主动权尽可能地放给学生，我们教师是组织者、引导者、合作者。 在教学上可以采取小组合作讨论的方式进行;给学生留下充分的探索实践的时间和空 间；介绍相关的背景材料弦图与世界数学家大会、刘辉与青朱出入图等；培养学生有条理的 思考、推理的意识，发展空间观念。 教学时要关注学生参与活动的情况参与合作、活动的意识和态度;关注活动的思维水 平、操作推理能力、理解能力、表达能力 教学时教师可以首先回顾第一章中进行过的验证勾股定理的过程,指明本课题学习的 目的,激发学生的探索欲望。 p.19 的议一议与前面学习内容有联系，可让学生类似的思考进行图形的拼摆，再进行 代数式的推导。 教师可以先引导学生分析 p.19 图 1 运用的验证方法,再鼓励他们将 a2,b2,c2 与图形联系起来进行思考，充分体会由数到形的过程。然后，教师鼓励学生思考按照同样的 方法能否摆成不同的图形，并让学生进行充分的实践。在此基础上呈现 p.19 图 2，并根据 图 2 中以 c 为边的正方形面积的不同表示，验证勾股定理，这又是从形到数的过程。 2011-10-10 10:11:24 共 120 页 第 8 页 p.20 图 3 是 2002 年在中国北京举行的世界数学家大会的会标，会标中央图案充分弘 扬了我国古代的数学文化。是进行爱国主义教育的很好素材。 “七巧板”是学生们熟悉的拼图工具,利用它学生可拼出过许多有趣的图案,在 p.20 的做 一做中，可先让学生按课本 p.20 中图 5 的要求制作一种类似于“七巧板”的“五巧板”，让学 生自己完成“五巧板”的制作。并尝试按第 2 步的要求进行拼图，在学生了解和掌握拼图要点 后，鼓励学生进一步做更多的拼图验证活动。 教材中 p.21 的图 6 也是利用两副“五巧板“拼出来的，与上面的拼图略有不同的是，它 将勾上的正方形(以 a 为边的正方形)放在了直角三角形的内侧， 图中标有的部分是重叠的, 它同样也验证了勾股定理。教学中，要给学生留有充分的时间和空间来拼摆图形，引导要适 度，不要限制学生的思维。同时鼓励学生在拼图的过程中进行交流合作。 p.20 图 6、图 7 都是“青朱出入图”，要让学生理解其含义，了解和掌握拼图要领，并 鼓励学生拼出更多的“青朱出入图”。 p.22 想一想介绍的是意大利著名画家达芬奇对勾股定理的一种研究结果,他的方法新 颖、具有一定的操作性，可以开阔学生的视野、丰富学生的想像。教学时可以让学生在长方 形的硬纸板上先画出图形,按教材的要求动手操作。学生在进行拼摆操作和推理时,可能会遇 到一定的困难。 教学中要尽可能地让学生之间进行合作交流， 共同完成任务。 在这个活动中， 对问题感兴趣的同学可做细致的讨论，对所有学生只要求了解这一方法即可. p.23 习题 2 是“毕达哥拉斯树”，他与“谢尔斌斯基地毯”、“谢尔斌斯基垫垫” 、“雪花曲 线”、“海岸线”等一样，近来逐渐引起人们的关注，03 年中考中吉林省第 10 题就以“毕达哥 拉斯树”出了一个题。 在教学时要要求学生发挥想像， 去感受这类与众不同的曲线的存在,扩大视野,欣赏丰富 多彩的图形世界. 六、作业：1.p.14 习题 1.41、2、3 2.p.15 试一试 七、补充题： 1.一段长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面徊，现将梯顶沿墙面下滑 1m， 则梯子底端与墙面距离是否也增长 lm?说明理由，并与同学讨论你的结论. 2. 如右图，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油灌的下底边沿 a 处，它发现在 自己的正上方油罐上边缘的 b 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注 意，它故意不走直线,而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击。结果， 壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐。请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫.( 取 314，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算) 2.能得到直角三角形吗能得到直角三角形吗 教学目标: 2011-10-10 10:11:24 共 120 页 第 9 页 掌握直角三角形的判别条件即勾股定理的逆定理并能进行简单应用. 教学重点与难点：直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理),并能进行简单应用. 教学工具：多媒体 学生用具：细绳、刻度尺、量角器等 教学过程： 引入 教材中以历史上古埃及人做直角的方法引入“直角三角形的三边长如果满足 a2+b2=c2，是否能得到一个直角三角形”的问题，以激发学生的学习兴趣。 先让学生分组操作，在向学生出示课本中的资料。介绍历史上古埃及人做直角的方法。 古埃及人曾用下面的方法得到直角:如图 1 一 10 所示,他们用 13 个等距的结把一根绳 子分成等长的 12 段,一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结,两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形,其直角在第 4 个结处。 请你示一下，按这种做法真能得到个直角三角形吗? 二、p. 10 的做一做： 下面的三组数分别是一个三角形的三边长 ,b,c：5，12，13； 7，24，25； 8，15， 17。 请你完成以下操作： (1)这三组数都满足 a2+b2=c2 吗? (2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗? (3)你能归纳出“一个三角形是直角三角形的有关边的条件”吗？ 三、直角三角形的判别条件： 如果三角形的三边长，,b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数. 注：通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来获得一个三 角形是直角三角形的有关边的条件。 四、 例 1 一个零件的形状如图 1-11 所示， 按规定这个零件中a 和dbc 都应为直角. 工人师傅量得这个零件各边尺寸如图 1-12 所示，这个零件符合要求吗? 本节主要讨论的是勾股定理的逆定理,但不要求学生从逻辑上对定理与逆定理进行一 般的认识，因此教材中没有给出勾股定理逆定理的名称，而是作为直角三角形的判别条件。 对于感兴趣的学生，可以引导他们注意这个结论与勾股定理的关系。 五、练习：p.11 六、作业：p.13 1、2、3 补充题 1. 已知 abc 的三边为 a、b、c,有下列各纽条件,判定 abc 的形状. (1)a=41,b=40,c=9; (2)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(mno). 2.如图，有一个棱长为 2 米的正方体，现有一绳子从 a 出发,沿正方体表面到达 c 处， 问绳子最短的平方是多少米？ 2011-10-10 10:11:24 共 120 页 第 10 页 3. 如图，在四边形 abcd 中，c 是直角，ab=13，bc=4，cd=3，ad=12. 求证：adbd 4.若 abc 的三边满足条件：a2+b2+c2+338=1oa+24b+26c，试判断 abc 的形状. 5.已知，如图，d 是 abc 边 bc 上一点，且 ac2-cd2=ad2. 求证：ab2-ac2=bd2-cd2. 6.如图，南北向 mn 为我国的领海线，即 mn 以西为我国领海，以东为公海。上午 9 时 50 分，我国反走私艇 a 发现正东方有一走私艇 c 以每小时 13 海里的速度偷偷向我领海 开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇 b 密切注意。反走私艇 a 通知反走私艇 b， a 和 c 两艇的距离是 13 海里。a、b 两艇的距离是 5 海里。反走私艇 b 测得距离 c 艇是 12 海里。若走私艇 c 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 3 蚂蚁怎样走最近蚂蚁怎样走最近 教学目标： 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题. 教学重点与难点：勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)的应用. 教学工具：多媒体 学生用具：纸制的圆柱体 、剪刀等 教学过程： 一、教师提出问题; 如图 1-13 所示,有一个圆柱,它的高等于 12 厘米,底面半径等于 3 厘米.在圆柱下底面的 a 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与 a 点相对的 b 点处的食物,需要爬行的最短路程是多 少?( 的值取 3) 二、学生动手操作，解决问题： (1)请你在自己做的圆柱上，尝试从 a 点到 b 点沿圆柱侧面画出条路线，你觉得哪条路 线最短呢? (2)请你将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从 a 点到 b 点的最短路线是什么?你画对了 吗? (3)蚂蚁从 a 点出发的最短路程是多少？想吃到 b 点的食物,它需要爬行的追短路程是 多少？你能求出吗？请试一试。 三、p. 14 的做一做 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 ad 边和 bc 边是否分别垂直于底边 ab ，但他随身只 带了卷尺. (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得 ad 长是 30 厘米，ab 长是 40 厘米，bd 长是 50 厘米.ad 边垂直于 ab 边吗? 2011-10-10 10:11:24 共 120 页 第 11 页 (3)小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验 ad 边是否垂直于 ab 边吗?bc 边与 ab 边呢? p. 14 的做一做，是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题。教学中，可以先 鼓励学生自己寻找办法，再让他们说明李叔叔的办法的合理性。 四、随堂练习： 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨 8:甲先出发,他以 6 千米/时的速度向东 行走.1 时后乙出发,他以 5 千米/时的速度向北行进.上午 10:,甲、乙二人相距多远? 五、作业：1.p.14 习题 1.41、2、3 2.p.15 试一试 六、补充题： 1.常用的勾股数：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41 2.已知 abc 中，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中 m、n 是正数，且 mn， 试判断：abc 是直角三角形 3、已知：如图，在 abc 中，cd 是 ab 边上的高，且 cd2=ad?bd，求证：abc 是 直角三角形 4、已知：如图，在 abc 中，acb=900，ac=bc，p 是 abc 内的一点，且 pa=3， pb=1，pc=2，求：bpc 5、已知：如图，在 abc 中，c=900，ad 是 bc 边上的中线，deab 于 e，求证： ac2=ae2-be2 6. 如图，一个高 2m、宽 3m 的大门，需在相对角的顶点加一个加固术板.李师傅从仓 库中找到一根长 4m 的木块，是否可以用此术板作加固术板的料?为什么? 7.印度数学家婆什迦罗(1141-1225 年)曾提出过“荷花问题” “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅?” 回顾与思考回顾与思考 教学目的教学目的 1熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大 成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。 2掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练 地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。 3 正确使用勾股定理的逆定理， 准确地判断三角形的形状。 2011-10-10 10:11:25 共 120 页 第 12 页 教学难点教学难点 准确应用勾股定理及其逆定理。 知识重点知识重点 掌握勾股定理及其逆定理。 教学过程教学过程 教学方法和手段教学方法和手段 引入引入 1直角三角形的边存在着什么关系？ 2直角三角形的角存在着什么关系？ 3直角三角形还有哪些性质？ 4如何判断一个三角形是直角三角 形？ 5你知道勾股定理的历史吗？ 多媒体 概念分析概念分析 例题讲解例题讲解 例 1 在 rtabc 中，c90，d 在 ba 上，且 dadb，m、n 分别在 ac 和 bc 上，且mdn90 求证：mn2 am2nb2 证明：延长 nd 到 n使 dn dn 连 an、mn，由于 addb，1 2 所以andbnd 即 anbn，b3，又 md nn 故 mnmn 因为a 十b90， 所以3490 那么 mn2am2an2 即 mn2am2bn2 例 2 议一议 p19 拼图与勾股定理 分析：欲证 mn2am2 bn2 可 mn、am、bn 不在同一三角形之中， 若 能进行等量搬动， 使之在 同一三角形之中， 只需证 得这三角形是直角三角 形， mn 的等线段是这个 直角三角形的斜边即可， 由于 d 为 ab 的中点， mdn90 所以我们可以通过 创造全等三角形法把有 关线段进行等量搬动。 2011-10-10 10:11:25 共 120 页 第 13 页 观察图 2 验证：c2a2b2 证明：大正方形面积可表示为 c2，也 可以表示为ab4（ba）2 所以 c2ab4（ba）2 2abb22aba2 a2b2 故 c2a2十 b2 课堂练习课堂练习 课文学习 p19 议一议。 其他其他 小结与作业小结与作业 课堂小课堂小 结结 1直角三角形有哪些性质？ 2什么叫勾股定理？如何证明勾股定 理？ 3有几种方法可以判定一个三角形是直 角三角形？ 本课作本课作 业业 课文 p1618 复习题 15 bl、2 cl 一填空题。 1在abc 中，c90， （1）已知 a2.4，b3.2，则 c ， （2） 已知 c17， b15， 则abc 面积等于 （3） 己知a45， c18，则 a2 2直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为 二选择题。 1在下列说法中是错误的（）。 a在abc 中，ca 一b，则abc 为直角三角形 b在abc 中，若a：b：c5：2：3 测abc 为 rt c在abc 中，若 ac，bc，则abc 为 rt d在abc 中，若 a：b：c2：2：4，则abc 为 rt 2直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（） 2011-10-10 10:11:25 共 120 页 第 14 页 a6cm b8.5cm ccm dcm 三解答题。 1已知直角三角形的斜边中线为 5，两直角边之比为 3：4。 求它的 面积。 2四边形 abcd 的 ac 交 bd 于 o，bc 垂直 ad，aoco。 试证 明：ad2一 cd2ab2一 bc2 3abc 中，c90，a30。 试证明：ac23bc2 4在abc 中，若三边 a、b、c 满足 a2b225，a2一 b27，又 c 5。 求最大边上的高。 5在等边abc 中，e、d 分别为 ac、bc 上的点，且 aecd，ad 交 be 于 p，bqad 于 q。 试证明：bp2pq。 *6abc 是等腰直角三角形 abac，d 为 bc 中点，e、f 分别在 ab、ac 上，且 dedf，若 be12，cf15，求def 的面积。 *7在 rtabc 中，acbc，c90，p、q 在 ab 上，且 pcq 45试证明：ap2bq2pq2 第二章第二章 实实 数数 目录目录 第二章 实 数 15 实 数 16 第一节 数怎么又不够了（第 1 课时） . 18 2.1 数怎么又不够用了（一）. 19 2.1 数怎么又不够用了（二）. 20 第一节 数怎么又不够了（第 2 课时） . 22 2.2 平方根（一） 23 第二节 平方根（第 1 课时） 25 第二节 平方根（第 2 课时） 26 2.2 平方根（二） 28 第三节 立方根 30 2.3 立方根 31 2011-10-10 10:11:25 共 120 页 第 15 页 2.4 公园有多宽 33 第四节 公园有多宽 35 第 5 节 用计算器开放 36 2.5 用计算器开方 37 2.6 实数（1） 38 第 6 节 实数（第 1 课时） 40 第 6 节 实数（第 2 课时） 41 2.6 实数（2） 42 2.6 实数（3） 44 第 6 节 实数（第 3 课时） 46 实实 数数 本章是数系的第二次扩张，是后继内容学习的基础 一、教学目标 1、经历无理数发现的过程，了解无理数的概念和意义。 2、了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能 用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根； 会用计算器求平方根和立方根， 并能探 索一些有趣的数学规律。 3、能用有理数估计一个无理数的大致范围，包括通过估算比较大小，检验计算结果的 合理性等等。 4、了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义， 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系， 了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适 用。 5、能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算。 6、能运用实数的运算解决简单的实际问题。 二、教学要求 本章在概念的处理上，抓住主要概念，注重概念的形成过程，让学生在具体的活动中 获得认识，增强理解；对内容的安排上，联系实际情境，导入新知识，注意前后知识间的对 比，同时让学生在运用中促进对知识的理解和掌握。 无理数有很多，开方开不尽的数是其中的一种，也是我们计算中经常接触到的。教材 选取了一些生动的素材， 引入平方根和立方根的概念和开方运算。 由于在实际情境中的开平 方运算结果取的都是算术平方根， 而且正数有两个平方根与学生长期的经验不符， 学生不易 接受，因此教材先引入算术平方根的概念，然后再引入一般的平方根的概念，这一点与以往 教材是不同的。 2011-10-10 10:11:26 共 120 页 第 16 页 在实际生活和生产实际中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值。教材安排 了一节内容：“公园有多宽”，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小，检验结果的合理性 等等，其目的是发展学生的数感。 当无理数的概念和表示形式为学生熟知以后，实数概念的引入就水到渠成了。本章最 后总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。 本章学习的重点是让学生真正理解无理数的引入的意义，了解实数的概念，掌握开方 运算，解决与实数有关的实际问题。 1注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念。 概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属 性而形成的。概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维 水平是很必要的。如无理数的引入，要让学生亲身经历活动，感受引入的必要性，初步认识 无理数是无限不循环小数这一意义。在教学时，要鼓励学生动手、动脑、动口，与同伴进行 合作，并充分地开展交流。 2对于抽象的概念，教学时要把握住要求，尽量采用浅显、直观的描述性讲法，通过 对后面知识的学习逐步加深对它们的认识。 概念的掌握不是一次完成的，有的概念不可能一下子就要求学生达到较深刻的理解， 教学时要把握好阶段性。例如无理数概念，定义为“无限不循环小数”，在活动中学生能够体 会“无限”，但对“不循环”不可能有清楚的认识，只能通过后面的理论分析来补充，这里只要 求学生了解无理数的概念和意义， 理解无限不循环小数是一类新数即可。 再如实数的稠密性 即实数与数轴上的点一一对应， 不可能要求学生有深刻的理解， 只能通过后继的学习逐步完 成。 3注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系。 类比法是本章的重要方法之一。最主要的就是类比与有理数建立起实数中的相反数和 绝对值的概念。当然类比的对象间可能会表现出差异，这在进一步的类比有理数与数轴 的关系时表现出来了： 有理数与数轴上的点不是一一对应的， 而实数与数轴上的点是一一对 应的。对于实数的运算律、运算性质等，也是通过类比得出的。 4对于二次根式，只给出了两条运算规律（加法和减法用合并同类项的方法） 淡化二次根式的概念，只要求学生会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分 母有理化）。 5关注学生对无理数和实数概念的意义理解。 实数涉及的理论较深，学生目前没有必要也不可能有太深的认识，评价学生对无理数 和实数概念的意义理解是主要方面，而不是让学生简单记忆概念。 6关注考查学生对知识技能的理解和运用。 如能否举出或构造与无理数有关的实例， 能否运用开方运算解决与实数有关的简单问题， 能 否用有理数估计一个无理数的大小等等。 2011-10-10 10:11:26 共 120 页 第 17 页 第一节第一节 数怎么又不够了（第数怎么又不够了（第 1 课时）课时） 这里延续七年级（上册）“有理数及其运算”中的标题“数怎么不够用了”，暗示数的又一 次扩充，引起学生的学习兴趣。 教学目标: 通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引人的必要性。 教学重点：使学生感受无理数产生的实际背景和引人的必要性。 教学难点： 1. 拼图活动 2. 使学生感受无理数产生的实际背景和引人的必要性。 教学方法： 学生用具：自制两个边长为 1 的正方形 教学工具：多媒体 教学过程： 1.动手操作： 你怎样由两个面积为 1 的正方形拼成一个面积为 2 的正方形 2.教师向学生提出以下问题，学生交流并回答。 (1)设大正方形的边长为 a,a 满足什么条件? (2)a 可能是整数吗?请说说你的理由. (3)a 可能是以 2 为分母的分数吗?可能是以 3 为分母的分数吗?说说你的理由. (4)a 可能是分数吗?说说你的理由,并与同伴交流. 动手活动引人新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课 的主要问题， 引起学生的思考和讨论， 让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数。 在教学时可鼓励学生用多种进行拼接。 在教学中要引导学生在现有的知识范围内，分别在整数和分数范围内探索是否能找到 一个数 a，使 a2=2. 3.p.25 做一做 (1)图 11 中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为 b，b 满足什么条件? (3)b 是有理数吗? 进一步丰富无理数的实际背景,使学生体会到无理数在现实生活中是大量存在的。教学 中应先帮助学生简单回顾勾股定理. 4.练习：（1）p.26 练习 1 （2）p.26 习题 1 5. p.26 试一试 2011-10-10 10:11:26 共 120 页 第 18 页 2.1 数怎么又不够用了（一）数怎么又不够用了（一） 教学目标：教学目标： 教学知识点：1通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；2能 判断给出的数是否为有理数；并能说出理由 能力训练要求：1让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养 大家的动手能力和合作精神；2通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别 某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力 情感与价值观要求：1激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情；2引导学 生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神；3了解有关无理数发 现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神 教学重点教学重点：1让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数； 2会判断一个数是否为有理数 教学难点教学难点：1把两个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程 2判断一个数是否为有理数 教学过程教学过程： 一、创设问题情境，引入新课一、创设问题情境，引入新课： 我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢? 我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零 扩充到有理数范围， 有理数包括整数和分数， 那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要 呢？下面我们就来共同研究这个问题 二、讲授新课二、讲授新课 1问题的提出：请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀， 认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形 经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下 现在我们一齐把大家的做法总结一下： 下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边 长为 a，则 a 应满足什么条件呢？ 经过大家的讨论可知，在等式 a22 中，a 既不是整数， 也不是分数，所以 a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像 a 这样的数，由此看来，数又不够用了 2做一做：投影片2.1.1 a （1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为 b，则 b 应满足什么条件？ （3）b 是有理数吗？ 请大家先回忆一下勾股定理的内容 2 1 2011-10-10 10:11:26 共 120 页 第 19 页 在这个题中，两条直角边分别为 1 和 2，斜边为 b，根据勾股定理得 b21222，即 b25， 则 b 是有理数吗？请举手回答 大家分析得很准确，像上面讨论的数 a，b 都不是有理数，而是另一类数无理数 介绍有理数的发现历史我们前面谈过的 a22 中的 a 不是有理数 我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的， 我们一方面应积极地学习这些经验， 另一 方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希 腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神 三、课堂练习三、课堂练习 （一）课本 p25 随堂练习 如图，正三角形 abc 的边长为 2，高为 h，h 可能是整数吗？可能 是分数吗？ 解：由正三角形的性质可知 bd1，在 rtabd 中，由勾股定理 得 h23h 不可能是整数，也不可能是分数 四、课时小结四、课时小结 1通过拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必 要性 2能判断一个数是否为有理数 五课后作业五课后作业 课本 p49 习题 2.1 六、活动与探究六、活动与探究 下图是由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干 个顶点，可得到一些线段，试分