(数学分析教案)第二章.doc

第二章 数列极限（14学时）1 数列极限概念教学目的与要求1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.教学重点: 数列极限概念. 教学难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.学时安排: 4学时教学方法：讲练结合。教学程序： 若函数的定义域为全体正整数集合N+，则称 或 n为数列因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列也可写作 或简单地记为，其中，称为该数列的通项 关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子 例1 古代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去 把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：第一天截下，第二天截下，第n天截下，这样就得到一个数列或.不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于0一般地说，对于数列，若当无限增大时能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限不具有这种特性的数列就不是收敛数列 收敛数列的特性是“随着的无限增大，无限地接近某一常数”这就是说，当充分大时，数列的通项与常数之差的绝对值可以任意小下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义 定义1 设为数列，为定数若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，N时有则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或.读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于” 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列 定义1常称为数列极限的N定义下面举例说明如何根据定义来验证数列极限例2 证明，这里为正数证 由于 故对任给的0，只要取N=，则当时，便有 即这就证明了. 例3 证明 .分析 由于 因此，对任给的o，只要，便有 即当时，(2)式成立又由于(1)式是在3的条件下成立的，故应取 证 任给取据分析，当时有（2）式成立.于是本题得证. 注 本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N又(3)式给出的N不一定是正整数一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可 例4 证明=0，这里1证 若=0，则结果是显然的现设00我们有 并由1+得到 对任给的只要取则当时，由（4）式得这就证明了. 注 本例还可利用对数函数的严格增性来证明(见第一章4例6的注及(2)式)，简述如下： 对任给的0(不妨设0证 ()当时，结论显然成立. () 当时，记，则.由 得 任给，由(5)式可见，当时，就有，即.所以.() 当时，,则.由 得 （6） 任给，由（6）式可见，当时，就有，即.所以. 关于数列极限的N定义，应着重注意下面几点： 1的任意性 定义1中正数的作用在于衡量数列通项与定数的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明与可以接近到任何程度然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出，又既时任意小的正数，那么等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式中的可用等来代替同时，正由于是任意小正数，我们可限定小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定N时有，则N=101或更大时此不等式自然也成立这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小另外，定义1中的，N也可改写成N 3从几何意义上看，“当N时有”意味着：所有下标大于N的项都落在邻域U()内；而在U(a;)之外，数列中的项至多只有N个(有限个)反之，任给0，若在U()之外数列中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N，则当N时有，即当N时有0，若在U()之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限 由定义1，可知，若存在某，使得数列中有无穷多个项落在U()之外，则一定不以为极限 例6 证明和都是发散数列 证 对任何R，取，则数列中所有满足的项(有无穷多个)显然都落在U()之外，故知不以任何数为极限，即为发散数列. 至于数列，当时取，则在U之外有中的所有奇数项；当1时取则在U（之外有中的所有偶数项所以不以任何数为极限，即为发散数列 例 设，做数列如下： 证明 证， 因故对任给的，数列和中落在之外的项都至少只有有限个.所以数列中落在之外的项也至多只有有限个故由定义，证得 例8 设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列证明：数列与同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等 证 设为收敛数列，且按定义，对任给的0，数列中落在U()之外的项至多只有有限个而数列是对增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，中的每一项都是中确定的一项，所以中落在U(之外的项也至多只有有限个这就证得 现设发散倘若收敛，则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，收敛，矛盾所以当发散时，也发散 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2 若，则称为无穷小数列 由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：定理 数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出和不存在的“N”定义. 课外作业: 2、3、4、6、7、8.收敛数列的性质教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。学时安排: 4学时教学方法：讲练结合。教学程序：u 引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质性质（极限唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限。性质（有界性）若数列收敛，则为有界数列。注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列有界，但它不收敛。性质（保号性）若（或），则对任何（或），存在正数，使得当时有（或）。性质（保不等式性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。思考：如果把条件“”换成“”，那么能否把结论换成？保不等式性的一个应用：例1设，证明：若，则.思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？性质（迫敛性）设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例：例2求数列的极限。性质（极限的四则运算法则）若、为收敛数列，则也都收敛，且有;.若再做假设及，则数列也收敛，且有.特别地，若，则，.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；例3求，其中.例4求，其中.例5求.例6求.二 数列的子列 引言极限是个有效的分析工具。但当数列的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。 子列的定义定义 设为数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列，简记为.注1 由定义可见，的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序。简单地讲，从中取出无限多项，按照其在中的顺序排成一个数列，就是的一个子列（或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列）。注2 子列中的表示是中的第项，表示 是中的第k项，即中的第k项就是中的第项，故总有. 特别地，若，则，即.注3 数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为的非平凡子列。如都是的非平凡子列。由上节例知：数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理 数列收敛的任何非平凡子列都收敛。由此定理可见，若数列的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。3 数列极限存在的条件 教学目的与要求掌握数列极限存在的单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题教学重点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则. 教学难点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用.学时安排: 4学时教学方法：讲练结合。教学程序： 极限理论的两个基本问题: 极限的存在性问题, 极限的计算问题本节将重点讨论极限的存在性问题 为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断 首先讨论单调数列，其定义与单调函数相仿若数列的各项满足关系式，则称为递增（递减）数列递增数列和递减数列统称为单调数列如为递减数列，为递增数列，而则不是单调数列. 定理29(单调有界定理) 在实数系中，有界的单调数列必有极限 证 不妨设为有上界的递增数列由确界原理，数列有上确界，记下面证明就是的极限事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得又由的递增性，当时有另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有所以当时有，即 同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界 例1 设其中实数证明数列收敛 证 显然是递增的，下证有上界事实上， ，,.于是由单调有界定理，收敛 例2 证明数列收敛，并求其极限 证 记，易见数列是递增的现用数学归纳法来证明有上界 显然假设，则有，从而对一切有，即有上界 由单调有界定理，数列有极限，记为由于，对上式两边取极限得，即有，解得或由数列极限的保不等式性，是不可能的，故有： 例3 设为有界数集证明：若，则存在严格递增数列，使得证 因是的上确界，故对任给的存在又因，故，从而有 现取，则存在，使得再取，则存在，使得，且有 一般地，按上述步骤得到之后，取，则存在，使得，且有上述过程无限地进行下去，得到数列S，它是严格递增数列，且满足 这就证明了. 例4 证明存在. 证先建立一个不等式设，对任一正整数有 , 整理后得不等式. （1）以代入(1)式.由于 ,故有 .这就证明了为递增数列. 再以代人(1)式，得 .故有 .上式对一切正整数都成立,即对一切偶数有.联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n都有，即数列有上界于是由单调有界定理推知数列是收敛的. 通常用拉丁字母e代表该数列的极限，即 ,它是一个无理数(待证)，其前十三位数字是 . . 以e为底的对数称为自然对数，通常记 单调有界定理只是数列收敛的充分条件 定理210(柯西(Cauchy)收敛准则) 数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当时有 这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数或者形象地说，