江西省上饶市“山江湖”协作体2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题理（含解析）.docx

“山江湖”协作体2018-2019学年度第二学期高二年级第一次月考数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题） 1.已知为虚数单位，若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由题知，在复平面内对应的点为（1，-1），位于第四象限，故选D2.函数的导数为（ ）A. 2 B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合导数的乘法运算法则和复合函数求导法则计算函数的导数即可.【详解】由题意结合导数的运算法则可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，复合函数的求导法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.等比数列中，前三项和为，则公比的值是（ ）A. 1B. C. 1或D. -1或【答案】C【解析】由题意得当q1时，则有，解得或（舍去） 当q1时，a3a2a19，故S327，符合题意综上或选C点睛：在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略 这一特殊情况而导致解题失误4.已知函数，其导函数的图像如图所示，则（ ）A. 在上为减少的B. 在处取极小值C. 在处取极大值D. 在上为减少的【答案】D【解析】【分析】利用导函数的图像列表研究函数的单调性和函数的极值，然后结合选项即可确定正确的说法.【详解】由题意利用导函数的图像列表如下：单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减据此可知选项ABC错误，选项D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选：C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设函数的导函数为，且，则( )A. 0B. 4C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后利用导函数的解析式可得的值.【详解】由函数的解析式可得：，令可得：，解得：，即，故.故选：A.【点睛】本题主要考查导数的运算法则及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.函数的部分图象大致为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可得为奇函数，排除，当时，可得，在区间上单调递增，排除即可得到结论【详解】，定义域为，关于原点对称，则， 为奇函数，故排除，故排除，当时，可得，当时，为增函数，故排除故选【点睛】本题考查了函数的图象的判断，一般通过函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，变化趋势等知识来解答。8.已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（ ）A. 120B. 140C. 135D. 100【答案】C【解析】分析】由题意首先求得n的值，然后结合立方和公式化简所给的二项式，最后利用展开式的通项公式可得展开式中的系数.【详解】由函数的解析式可得：，函数在处的切线与直线平行，则，则二项式，的展开式的通项公式为，故分别令,可得展开式中的系数为.故选：C.【点睛】(1)二项式定理核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解9.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于A， ，因为 ，所以 ，故A不对。对于B， ，故B不对。对于C，故C不对。对于D， ，所以函数不是凸函数。故选D。10.已知函数，对任意，存在，使得，则最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的解析式将求解的最小值的问题转化为一元函数最值的问题，然后利用导函数研究函数的性质即可确定函数的最小值.【详解】令，则，令，可得，则.显然，是增函数，观察可得当时，故有唯一零点。故当时，ba取得最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知定义域为R的奇函数的导函数，当时，若，则下列关于 的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数,结合函数的单调性和函数的奇偶性将比较函数值大小的问题转化为比较自变量大小的问题，据此即可得到a,b,c的大小关系.【详解】令,则.当时,，当时,.即当时,，因此当时,函数单调递增。函数为奇函数，由函数的单调性可得：，.故选：A.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，构造函数的方法，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，可得，原问题转化为直线有且只有两个整数点处的函数值大于函数的值，利用导函数研究函数的单调性得到关于a的不等式组，求解不等式组即可确定a的取值范围.【详解】令，则：，设，故，由可得，在上，为减函数，在上，为增函数，的图像恒过点，在同一坐标系中作出，的图像，如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，则，即，解得：.故选：D【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，直线恒过定点问题，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二：填空题。13.=_【答案】1【解析】 ,即该复数的模长为1.故答案为1.14.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且，则函数的解析式为_【答案】【解析】【分析】首先利用定积分写出原函数的解析式，然后利用即可确定函数的解析式.【详解】由导函数的解析式可得：，方程有两个相等的实根，则，解得：，故函数的解析式为：.【点睛】本题主要考查初等函数的求导法则，二次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知直线与曲线相切，则实数k的值为_【答案】【解析】设切点为,m即，又，即故答案为：点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为16.已知函数的两个极值点分别为，且，若存在点在函数的图象上，则实数a的取值范围是_【答案】(或)【解析】，因为，所以，故，不等式表示平面区域如图所示因为存在在的图像上，故在函数的图像的下方，而，所以，解得填点睛：函数极值点的范围体现了导函数在某些点处函数值的正负，从而得到一个平面区域，利用图像和平面区域的关系得到所求参数的取值范围三、解答题(本大题共6小题)17.实数m取什么值时，复数是：(1)纯虚数；(2)实数.【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】(1)由题意可得实部为零，虚部不为零，据此即可确定m的值；(2)由题意可得实部不为零，虚部为零，据此即可确定m的值.【详解】(1)题中所给的复数为纯虚数，则：，解得：，综上可得：或.(2)题中所给的复数为实数，则：，解得：，综上可得：.【点睛】本题主要考查复数的分类，由复数的类型求解参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.计算下列定积分（1） （2） （3）【答案】(1) e (2) (3)【解析】【分析】(1)由微积分基本定理求解定积分即可；(2)由微积分基本定理结合奇函数的性质可得定积分的值；(3)由定积分的几何意义将原问题转化为求解面积的问题即可.【详解】(1)由微积分基本定理可得： .(2)由奇函数的性质可得：，由微积分基本定理可得：，则 .(3)由定积分的几何意义可知，表示如图所示的阴影部分的面积，该图形可分解为一个扇形与两个三角形，故： .【点睛】(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.19.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为【解析】试题分析：(1)f(2)232166， 2分点(2，6)在曲线上 f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)322113. 4分切线的方程为y13(x2)(6)即y13x32. 6分(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3 x021， 8分直线l的方程为：y(3 x021)(xx0)x02x016.又直线l过点(0,0)，0(3 x021)(x0)x02x016， 10分整理得x028，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113， 12分直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26) 13分考点：本题考查了导数的运用点评：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在p(x0, f(x0)处的切线的斜率f(x0).相应地，切线方程为 y-y0= f(x0)(x-x0).20.（本题满分15分）如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为 （1）按下列要求建立函数关系式：设，将表示为的函数；设（），将表示为的函数；（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积【答案】（1），（） ，（）（2）【解析】试题分析：（1）要将实际问题转化为函数问题，根据题意构建数学模型，利用直角三角形求底面圆的半径，进而列出函数关系式（2）求体积的最大值转化为求函数的最大值，先求导，再判断单调性，再求最值。试题解析：解：（1），（） 4分， ，（） 8分（2）选用：，令，则10分列表得：单调增极大值单调减 （不列表，利用导函数的符号，判断出单调性同样得分）选用：令，令，则10分列表得：单调增极大值单调减 ，即15分（对直接求导求解也得分，）答：圆柱形罐子的最大体积为考点：导数在实际问题中的应用21.已知函数( 为实常数) （1）当时，求函数在上的最大值及相应的 值；（2）当时，讨论方程根的个数（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围【答案】() ，当时，取等号;() 当时，即时，方程有2个相异的根；当 或时，方程有1个根；当时，方程有0个根;() 【解析】试题分析：（I）把代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义1，e分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在1，e上的最大值及相应的x值；（II）方程根的个数等价于时，方程根的个数, 设=，求导话简图，利用数形结合讨论即可得解；（III）a0，等价于，原题等价于函数在时是减函数，恒成立，即在时恒成立，进而求函数最值即可.试题解析：（I），当时，所以单调递减；当时，所以单调递增.又，故，当时，取等号.（II）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数。 设=， 当时，函数递减，当时，函数递增。又，作出与直线的图像，由图像知：当时，即时，方程有2个相异的根；当 或时，方程有1个根；当时，方程有0个根; （III）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于即，故原题等价于函数在时是减函数，恒成立，即在时恒成立。在时是减函数，所以.22.已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明【答案】（1）当时，在处取得的极大值；函数无极小值. （2）证明见解析【解析】试题分析：（1）求出，令求得 的范围，可得函数增区间，令求得 的范围，可得函数的减区间，从而可得函数的极值；（2）对进行讨论：，针对以上四种情况，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性讨论函数有两个零点情况，排除不是两个零点的情况，可得有两个零点时，的取值范围是，由（1）知在单调递减，故只