2019_2020版高中数学习题课——抛物线的综合问题及应用课件新人教A版选修2_1.pptx

习题课抛物线的综合问题及应用,1.抛物线定义的应用 若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,则点P到点F的距离等于点P到准线l的距离. 2.抛物线的焦半径与焦点弦 (1)抛物线的焦半径 抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,其长度如下:,(2)抛物线的焦点弦 过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p0)的焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论: |AB|=x1+x2+p; AB垂直于对称轴时,AB叫通径,焦点弦中通径最短; A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即,以AB为直径的圆必与准线相切.,【做一做1】 抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离为( ) A.20 B.8 C.22 D.24 解析设P(x0,12),则x0=18,所以|PF|=x0+ =20. 答案A,解析抛物线标准方程为y2=6x,2p=6,故通径的长度等于6. 答案C,【做一做3】 过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45的直线,则它被抛物线截得的弦长为( ) A.8 B.16 C.32 D.61 解析由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16. 答案B,【做一做4】 若抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线x2- =1的右焦点重合,则实数p的值为 .,答案4,【做一做5】 已知点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,点A(3,0),则|PA|的最小值为 .,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一利用抛物线的定义解决问题 例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,且经过点M(2,y0),若点M到焦点的距离为3,则|OM|等于( ),答案B,反思感悟利用抛物线的定义解题,其实质是利用抛物线的定义,进行了两种距离之间的一种转化,即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化,通过这种转化,可以简化解题过程.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练1在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是 .,探究一,探究二,探究三,当堂检测,例2 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的点P的坐标.,思路分析根据抛物线的定义,就是在抛物线上找一点P,使得点P到点A的距离与点P到准线的距离之和最小,然后可借助平面几何知识求解.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,解如图所示,作PNl于点N(l为准线),作ABl于点B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|AB|, 当且仅当点P为AB与抛物线的交点时,等号成立. 所以(|PA|+|PF|)min 此时yP=2,代入抛物线得xP=2,则点P的坐标为(2,2). 故|PA|+|PF|的最小值为 ,此时点P的坐标为(2,2).,反思感悟这类与抛物线有关的最值问题,一般涉及抛物线上的动点到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离),构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”,使问题获解.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练2定点M 与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为( ),解析如图所示,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程为,所以点P的坐标为(2,2). 答案C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究二抛物线的焦点弦问题 例3 已知抛物线方程为y2=2px(p0),过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|= p,求AB所在直线的方程. 思路分析依题意只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,可根据焦点弦长度公式求解.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟求抛物线焦点弦的长度的两种方法 一是运用一般的弦长公式.二是直接利用焦点弦长度公式,即如果AB是抛物线y2=2px(p0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这种方法的实质是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的定义的重要应用.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练3设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点. (1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;,(1)解依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1). 设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y整理得x2-3x+1=0, 所以x1+x2=3,x1x2=1. 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,(2)证明设直线l的方程为x=ky+1,设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究三与抛物线有关的最值问题 例4 在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,延伸探究若将抛物线方程改为x2=-2y,其他条件不变,结果又将如何?,反思感悟与抛物线有关的最值问题的解决方法 解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,变式训练4已知点P是抛物线y2=4x上任意一点,点Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为 .,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答 抛物线中的定点与定值问题 典例如图所示,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.,【审题策略】 欲证明直线BC的斜率为定值,可写出直线BC的方程,然后说明其斜率为定值,或直接用k0= ,写出斜率,然后说明k0的值与参数无关;而已知直线AB,AC过定点,AB与AC两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,【规范展示】 设直线AB的斜率为k(k0). 因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为-k(k0). 又直线AB的方程是y=k(x-4)+2.,消去y整理得, k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0. 因为A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,【答题模板】 第1步:由已知条件寻求直线AB,AC斜率之间的关系. 第2步:写出AB的方程并与抛物线方程联立,利用根与系数的关系求得点B的横坐标. 第3步:根据AB,AC斜率之间的关系,写出点C的横坐标. 第4步:利用两点连线的斜率公式写出直线BC的斜率,整理得到结果. 第5步:得出结论.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下: (1)不能根据AB与AC两直线倾斜角互补,得出其斜率互为相反数,从而无法用一个参数设出直线方程; (2)直线方程与抛物线方程联立后,不能利用根与系数的关系正确地求得点B的坐标; (3)考虑不到利用AB与AC的斜率互为相反数来写出点C坐标; (4)化简整理出现错误.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,1.抛物线x2=2py(p0)上一点(4,1)到其焦点的距离d=( ) A.4 B.5 C.7 D.8 解析将点(4,1)代入x2=2py,得p=8,则由抛物线定义得到d=1+ =5.故选B. 答案B,探究一,探究二,探究三,当堂检测,2.已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆C:x2+y2-2x-8=0相切,则抛物线方程为( ) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x 解析圆x2+y2-2x-8=0可化为(x-1)2+y2=9, 抛物线y2=2px(p0)的准线为x=- , 抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-2x-8=0相切, 1+ =3,解得p=4.抛物线方程为y2=8x.故选D. 答案D 3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|= . 解析|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 答案8,探究一,探究二,探究三,当堂检测,4.抛物线y=x