高二数学讲义直线与椭圆的位置关系(绝对精品,原创).doc

高二数学讲义第七讲直线与椭圆的位置关系椭圆性质1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.5. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.6. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.7. 椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).其中e=c/a.8. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.9. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.10. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。11. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.12. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.13. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.一.课内基础练习题一、选择题： 1、已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是（ ） （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段2、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）A. B. 2 C. D. 13、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 ( )(A)倍 (B)2倍 (C)倍 (D)倍翰林汇4、曲线与曲线(m9)一定有 ( )(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)围成的面积相等 (D)相同的通径二、填空题5、设椭圆的标准方程为，则k的取值范围是 6、已知椭圆=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点坐标是_ _翰林汇7、已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。8、ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，那么顶点A的轨迹方程为 . 9直线与曲线 的公共点的个数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二.应用椭圆性质解题例1、椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为( ) A4B2 C8 D例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程例3.已知方程x2 cos+y2 sin=1,(0,/2)讨论方程表示的曲线的形状例4. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程1.弦长问题例5.设椭圆6x2+2y2=12中有一内接三角形PAB,过O,P的直线的倾斜角为(1)试证过A,B的直线的斜率是定值;(2)求PAB面积的最大值.例6. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长2.对称问题:例7.给定椭圆C:x2+4y2= 4.(1)若A,B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两点的对称轴L在x轴上的截距t的取值范围;(2)对于(1)中的t的取值范围内的to,过点M (to,0)作直线L,设L是曲线C上关于坐标轴不对称的两点A,B的对称轴,求直线L的斜率k的取值范围.3.成比例线段例8.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其焦距与长轴长之比为,过点C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段的比为2.（）用直线l的斜率k(k0)表示OAB的面积;（）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.4.与向量有关例9.设x、yR， i、j为直角坐标平面内x、y 轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+ (y-2)j,a+b=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由. 5.轨迹问题例10.椭圆x2+2y2=8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),在AB上取点Q满足条件: 求Q点的轨迹方程. 例11. 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹例12. 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程6.点差法例13. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A、B，为原点，且有直线OA、OB斜率满足KOAKOB=-1/2，求线段AB中点的轨迹方程 例14. 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称高二A数学讲义第七讲（140210）课后作业本试卷共18题，时间45分钟，满分100分）班级： 姓名： 一.填空选择题1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的焦距与长轴长之比为为( ) A B C D 2.设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为( )A、0B、1C、2D、33.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( )A B C D4. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的焦距与长轴长之比为 _.5、已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（ ）（A）2 （B）6 （C）4 （D）126.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；7、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，那么 的值为 。二.简答题1如图，A、B为两个定点，且 | AB | =2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线L 交MA于点P，请你建立适当的直角坐标系.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点，O为坐标原点，试求OEF的面积. 2、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.3.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由4.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则5.设F1、F2分别是曲线的左、右焦点.（）若P是第一象限内该曲线上的一点，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.老师讲义2014年冬季高二A数学讲义第七讲（140210）直线与椭圆的位置关系椭圆性质14. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.15. PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.16. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.17. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.18. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.19. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.20. 椭圆（ab0）的焦半径公式：,( , ).其中e=c/a.21. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.22. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.23. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。24. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.25. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.26. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.一.课内基础练习题一、选择题： 1、已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是（ D ） （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段2、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ A ）A. B. 2 C. D. 13、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 ( B )(A)倍 (B)2倍 (C)倍 (D)倍翰林汇4、曲线与曲线(m9)一定有 ( B )(A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)围成的面积相等 (D)相等的通径二、填空题5、设椭圆的标准方程为，则k的取值范围是 3k4或4k3时,为双曲线;当0c3时,为椭圆.(3)略.高二A数学讲义第七讲（140210）课后作业答案本试卷共18题，时间45分钟，满分100分）班级： 姓名： 一.填空选择题1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的焦距与长轴长之比为为( ) A B C D 解析 B . 2. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为( )A、0B、1C、2D、3解析 A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0， 3. (广东广雅中学20082009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( )A B C D解析 D. ,两式相减得：，4. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的焦距与长轴长之比为 _. 解析 三角形三边的比是5、已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（ C ）（A）2 （B）6 （C）4 （D）126.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；解：已知为所求；7、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;8. (广东省汕头市金山中学20082009学年高三第一次月考)已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，那么 的值为 。解析（1）点是线段的中点 是的中位线 又 椭圆的标准方程为=1 （2）点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理， 二.简答题1如图，A、B为两个定点，且 | AB | =2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线L 交MA于点P，请你建立适当的直角坐标系.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点，O为坐标原点，试求OEF的面积. 答案：（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；则A（-，0），B（，0），| AP | + | PB | = | PA | + | PM | =42，P点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（4分）2a=4，2c=2，a=2，c=，b=1，P点的轨迹方程为+y2=1.（6分）（2）设E（x1，y1），F（x2，y2）即5y2-2y-3=0.解得y1=-，y2=1，设直线x-y+1=0与x轴的交点为P（-1，0）SOEF=SOPE+SOPF=| OP | | y1 | +| OP | | y2 |=| OP | （| y1 | + | y2 |）=1.2、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.解：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3；在RtPF1F2中故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4,所以椭圆C的方程为1；()设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）；已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）；从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称； 所以 解得， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0.显然，所求直线方程符合题意。3.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原