chapt12(附录平面图形的几何性质)材料力学ppt

1.静矩,附录I 平面图形的几何性质,I-1 截面的静矩和形心的位置,2.形心,3.形心与静矩的关系,图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。,例I-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。,解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条，,所以,4、组合图形的形心与静矩,（1）组合图形的静矩,（2）组合图形的形心,解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则,例I-2 求图示图形的形心。,由于对称知： xC=0,1.极惯性矩：,2.惯性矩：,为图形对一点的极惯性矩；,3.惯性积：,为图形对x、y一对正交轴的惯性积；,分别为图形对x、y轴的惯性矩；,4.惯性矩与极惯性矩的关系：,平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。,I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积,解：平行x轴取一窄长条， 其面积为dA=bdy，则,惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；,若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；,惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩,如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x、y、原点的转动惯量。,例I-3 求图示矩形对通过其形心且与边 平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。,又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。,同理可得,由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy 注意到I=Ix+Iy，得到,例I-4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩I。,解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环，其面积dA=2prdr，则,一、平行移轴公式,1.公式推导,2.平行移轴公式,b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。,3.注意：,xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；,I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积,二、组合图形的惯性矩：,已知： 、 、 ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy,例I-5 求图示T型截面对形心轴的惯性矩。,例I-6 已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。,解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：,一、惯性矩和惯性积的转轴公式,1.公式推导：,2.转轴公式：,3.注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。,I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩,已知：Ix、Iy、Ixy、a，求 、 、 。,利用三角变换，得到,得到,形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；,2.主轴方位：,利用主轴的定义惯性积等于零进行求解；,主轴与x轴的夹角:,由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；,二、主惯性轴、主惯性矩,1.主轴的相关概念：,主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；,形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴,与主轴方位的对应关系：求a0时只取主值|2a0|p/2)，若IxIy，则由x轴转过a0到达x0轴时，有 ；若IxIy，则 。注意，a0为正值时应逆时针旋转。,任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。,求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。,3.主惯性矩大小：,例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩,图形的对称中心C为形心，在C点建立