浙江专用高考数学复习第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.3函数的奇偶性与周期性课件.pptx

3.3 函数的奇偶性与周期性,第三章 函数概念与基本初等函数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.函数的奇偶性,f(x)f(x),y轴,f(x)f(x),原点,知识梳理,ZHISHISHULI,2.周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.,f(xT)f(x),最小,最小正数,1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？,提示 在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.,【概念方法微思考】,2.已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(xa)f(x)(a0)_.,(3)f(xa)f(xb)(ab)_.,提示 (1)T2|a| (2)T2|a| (3)T|ab|,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数yx2，x(10，)是偶函数.( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( ) (3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称.( ) (4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数. ( ) (5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( ) (6)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,题组二 教材改编,2.P39A组T6已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.,1,2,3,4,2,解析 f(1)122，又f(x)为奇函数， f(1)f(1)2.,3.P45B组T4设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x),1,1,2,3,4,4.P39A组T6设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_.,解析 由图象可知，当00； 当20. 综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5.,1,2,3,4,(2,0)(2,5,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 判断函数的奇偶性,例1 判断下列函数的奇偶性：,师生共研,f(x)f(x)且f(x)f(x)， 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,关于原点对称.,函数f(x)为奇函数.,解 显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)， 函数f(x)为奇函数.,判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A.yxsin 2x B.yx2cos x C.y2x D.yx2sin x,解析 对于A，f(x)xsin 2(x) (xsin 2x)f(x)，为奇函数； 对于B，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数；,对于D，yx2sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.,(2)已知函数f(x) 则下列结论正确的是 A.h(x)f(x)g(x)是偶函数 B.h(x)f(x)g(x)是奇函数 C.h(x)f(x)g(x)是奇函数 D.h(x)f(x)g(x)是偶函数,解析 易知h(x)f(x)g(x)的定义域为x|x0.,所以h(x)f(x)g(x)是偶函数.故选A.,题型二 函数的周期性及其应用,解析 f(x1)为偶函数， f(x1)f(x1)，则f(x)f(x2)， 又yf(x)为奇函数，则f(x)f(x)f(x2)， 且f(0)0. 从而f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为4. f(4)f(5)f(0)f(1)022.,自主演练,1.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为 A.2 B.1 C.1 D.2,解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，,4.定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 019)_.,338,解析 f(x6)f(x)，周期T6. 当3x1时，f(x)(x2)2； 当1x3时，f(x)x， f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1， f(4)f(2)0，f(5)f(1)1， f(6)f(0)0， f(1)f(2)f(6)1， f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016),又f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2， f(2 019)f(3)1，f(1)f(2)f(3)f(2 019)338.,利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.,题型三 函数性质的综合应用,命题点1 求函数值或函数解析式,例2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.,多维探究,12,解析 方法一 令x0，则x0. f(x)2x3x2. 函数f(x)是定义在R上的奇函数， f(x)f(x).f(x)2x3x2(x0). f(2)2232212. 方法二 f(2)f(2)2(2)3(2)212.,(2)(2018浙江省镇海中学测试)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)1 2xx2，则函数f(x)的解析式是_.,解析 设x0，则x0， f(x)12xx2f(x)， 即x0时，f(x)12xx2， 又易知f(0)0，,命题点2 求参数问题 例3 (1)若函数f(x)xln(x )为偶函数，则a_.,1,解析 f(x)f(x)，,ln a0，a1.,10,解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，,即b2a. 由得a2，b4，从而a3b10.,命题点3 利用函数的性质解不等式,例4 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(ln x)f(2)，则x的取值范围是 A.(0，e2) B.(e2，) C.(e2，) D.(e2，e2),解析 根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增， 则f(ln x)f(2)|ln x|2， 即2ln x2，解得e2xe2， 即x的取值范围是(e2，e2).,(2)设函数f(x)ln(1|x|) ，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围为 _.,解析 由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)， 由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|).,由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|， 两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，,(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.,A.减函数且f(x)0 B.减函数且f(x)0 D.增函数且f(x)0,解析 当x0时，x0， f(x)f(x)ex1x，,(3)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则f(x)_.,函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.,高频小考点,GAOPINXIAOKAODIAN,函数的性质,一、函数性质的判断 例1 (1)已知函数f(x)ln xln(2x)，则 A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上单调递减 C.yf(x)的图象关于直线x1对称 D.yf(x)的图象关于点(1,0)对称,解析 f(x)的定义域为(0,2). f(x)ln xln(2x)lnx(2x)ln(x22x). 设ux22x，x(0,2)，则ux22x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减. 又yln u在其定义域上单调递增， f(x)ln(x22x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.选项A，B错误； f(x)ln xln(2x)f(2x)， f(x)的图象关于直线x1对称，选项C正确； f(2x)f(x)ln(2x)ln xln xln(2x) 2ln xln(2x)，不恒为0， f(x)的图象不关于点(1,0)对称，选项D错误. 故选C.,(2)(2018浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是 A.f(ex)|x| B.f(ex)e2x C.f(ln x)ln x2 D.f(ln x)x,解析 ex0，f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)无奇偶性，A，B错误； 令ln xt，则xet， 而f(ln x)ln x2，即f(t)2t， f(x)2x显然不是偶函数，C错误；,(3)(2019绍兴模拟)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是 A.若f(x)是奇函数，则f(f(x)也是奇函数 B.若f(x)是周期函数，则f(f(x)也是周期函数 C.若f(x)是单调递减函数，则f(f(x)也是单调递减函数 D.若方程f(x)x有实根，则方程f(f(x)x也有实根,解析 若f(x)是奇函数，则f(x)f(x)， 所以f(f(x)f(f(x)f(f(x)， 所以f(f(x)也是奇函数，所以A正确； 若T是f(x)的周期，则f(xT)f(x)， 所以f(f(xT)f(f(x)， 所以f(f(x)也是周期函数，所以B正确； 若f(x)是单调递减函数，则不妨取f(x)x， 则f(f(x)f(x)x是单调递增函数，所以C错误； 设x0是方程f(x)x的实根，则f(x0)x0， 则f(f(x0)f(x0)x0， 即x0是方程f(f(x)x的实根，所以D正确.故选C.,二、函数性质的综合应用,例2 (1)(2018全国)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)等于 A.50 B.0 C.2 D.50,解析 f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(1x)f(x1). f(1x)f(1x)， f(x1)f(x1)， f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)f(x)， 函数f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)0， 又f(1x)f(1x)， f(x)的图象关于直线x1对称， f(2)f(0)0，f(2)0.,又f(1)2，f(1)2， f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200， f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50) 012f(49)f(50)f(1)f(2)202. 故选C.,(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 A.f(25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(25) C.f(11)f(80)f(25) D.f(25)f(80)f(11),解析 因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)， 所以函数f(x)是以8为周期的周期函数， 则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数， 且满足f(x4)f(x)， 得f(11)f(3)f(1)f(1).因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数， 所以f(x)在区间2，2上是增函数， 所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11).,(3)若函数f(x)log2 在1，)上是增函数，则a的取值范围是_.,令y0得ax2(x1)， a1. 又由当x1时，y12 020a0，得a2 021. a的取值范围是1,2 021).,1,2 021),3,课时作业,PART THREE,1.下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0， 即f(0)20m0，解得m1， 则f(2)f(2)(221)3.,2.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2019金华调研)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x. A. B. C. D.,解析 由奇函数的定义f(x)f(x)验证， f(|x|)f(|x|)，为偶函数； f(x)f(x)f(x)，为奇函数； xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数； f(x)(x)f(x)x，为奇函数. 可知正确，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x 时，f(x)log2(3x1)，则f(2 021)等于 A.4 B.2 C.2 D.log27,解析 函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4， f(2 021)f(45051)f(1)f(1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)log2(3x1)， f(1)log23(1)12， f(2 021)f(1)2.,5.(2018浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减，若实数a满足f(log3a)f( a)2f(1)，则a的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减， 故f(x)在(，0上单调递增. 因为f(log3a)f( a)2f(1)， 所以f(log3a)f(log3a)2f(log3a)2f(1)， 即f(log3a)f(1)f(1)，所以1log3a1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是单调递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是 A.f(0)f(6.5)f(1) B.f(6.5)f(0)f(1) C.f(1)f(6.5)f(0) D.f(1)f(0)f(6.5),解析 由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)， 函数f(x)的周期是2. 函数f(x)为偶函数， f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1). f(x)在区间0,1上是单调递增的， f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.如果函数f(x)x2sin xa的图象过点(，1)且f(t)2，那么a_，f(t)_.,解析 由已知得f()2sin aa1， 所以a1，所以f(x)x2sin x1， 而f(t)t2sin t12，所以t2sin t1， 所以f(t)(t)2sin(t)1t2sin t1110.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,0,25,解析 由题意，得af(0)0. 设x0，则x0，f(x)x22x1f(x)， g(2x)x22x1，g(2)4， f(g(2)f(4)168125.,9.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则 f(1)_.,2,解析 函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2， f(2)f(0)0， f(1)f(1)f(12)f(1)， f(1)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018宁波十校联考)定义：函数f(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间2b,3b1上的函数f(x)x3ax2(b2)x是奇函数，则ab_，函数f(x)的极差为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,4,解析 由f(x)在2b,3b1上为奇函数，所以区间关于原点对称， 故2b3b10，b1，又由f(x)f(x)0可求得a0， 所以ab1.又f(x)x33x，f(x)3x23， 易知f(x)在(2，1)，(1,2)上单调递增，f(x)在(1,1)上单调递减， 所以在2,2上的最大值、最小值分别为f(1)f(2)2，f(1)f(2)2， 所以极差为4.,11.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x).当x0,2时，f(x)2xx2. (1)求证：f(x)是周期函数；,证明 f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x). f(x)是周期为4的周期函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)当x2,4时，求f(x)的解析式.,解 x2,4，x4，2， 4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2x26x8. f(4x)f(x)f(x)， f(x)x26x8， 即f(x)x26x8，x2,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当 1x0时，f(x)x. (1)判定f(x)的奇偶性；,解 f(1x)f(1x)，f(x)f(2x). 又f(x2)f(x)， f(x)f(x). 又f(x)的定义域为R， f(x)是偶函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式.,解 当x0,1时，x1,0， 则f(x)f(x)x； 从而当1x2时，1x20， f(x)f(x2)(x2)x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018浙江杭州四中期中)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，设h(x)|f(x1)|g(x1)，则下列结论中正确的是 A.h(x)关于(1,0)对称 B.h(x)关于(1,0)对称 C.h(x)关于x1对称 D.h(x)关于x1对称,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为函数f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数， 即|f(x)|与g(x)均为偶函数，其图