金牌数学2015年5月25日高考导数问题常见的分类讨论(师)2.doc

金牌数学高三数学高频考点复习资料 在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度.分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。只有这样在解题时才能做到有的放矢。下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。（二）知识回顾1 函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3 函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（三）疑难解释1 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较2 f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件3 对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1 若函数f(x)在x1处取极值，则a_.2 函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_3. 如图是yf(x)导数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3是f(x)的极小值点其中正确的判断是_(填序号)4 设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1 B0 C D.5 (2011辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为 ()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内，在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右，以确认函数在此区间上的单调性。例1、已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值变式1：设函数，其中，求函数的极值点。题型二 需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例2、设函数（），其中当时,求函数的极大值和极小值变式2：已知函数，其中。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间与极值。题型三 对函数是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。例3、（2012年北京高考题）已知函数f（x）=ax2+1（a0）,g(x)=x3+bx(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；(2) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-，-1）上的最大值，变式3-1、已知函数，.()若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；()当，且ab=8时，求函数的单调区间，并讨论函数在区间-2，-1上的最小值.变式3-2、已知：函数（其中常数）.（）求函数的定义域及单调区间；（）若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围题型四 “曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念是不同的例4、求曲线的过点的切线方程变式4、已知函数（）若在处取得极值，求实数的值；（）求的单调区间；（）求函数在闭区间的最小值.题型五 不等式两边同除一个数或式子，要讨论它的正负的问题。例5、设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.变式5、已知函数 （I）求函数的单调区间；（）当时，求函数在区间上的最小值典例：(14分)已知函数f(x)ln xax (aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值方法总结方法1 注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想2 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较总结1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2 函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3 题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()2 设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da0，函数yg(x)在(0，)上的最小值是2，求a的值拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是 ()2 函数yxex，x0,4的最小值为 ()A0 B. C. D.3 f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为 ()A(4,0)(4，) B(4,0)(0,4)C(，4)(4，) D(，4)(0,4)二、填空题(每小题5分，共15分)4 已知函数f(x)x3ax2bxc (x2,2)对应的曲线C过坐标原点，且在x1处切线的斜率均为1，则f(x)的最大值和最小值之和等于_5 设函数f(x)p2ln x(p是实数)，若函数f(x)在其定义域内单调递增，则实数p的取值范围为_6 已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_三、解答题7已知函数是奇函数.（）求a,c的值； （）求函数f(x)的单调区间.答案附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1 若函数f(x)在x1处取极值，则a_.答案3解析f(x).因为f(x)在x1处取极值，所以1是f(x)0的根，将x1代入得a3.2 函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.3. 如图是yf(x)导数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3是f(x)的极小值点其中正确的判断是_(填序号)答案解析f(x)在2，1上是小于等于0的，f(x)在2，1上是减函数；f(1)0且在x0两侧的导数值为左负右正，x1是f(x)的极小值点；对， 不对，由于f(3)0.4 设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1 B0 C D.答案C解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.5 (2011辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为 ()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集为x|x1，即f(x)2x4的解集为(1，).二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内，在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右，以确认函数在此区间上的单调性。例1、已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依题意需对任意x(0,1)，有f(x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1.当a1时，对任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因为g(x)(2ax1a)ex，所以g(x)(2ax1a)ex.(i)当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.(ii)当a1时，对于任意x(0,1)有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.(iii)当0a0.若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g2ae，在x0或x1处取得最小值而g(0)1a，g(1)(1a)e，则当a时，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0）,g(x)=x3+bx(3) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；(4) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-，-1）上的最大值，解：（1）由为公共切点可得：，则，则，又，即，代入式可得：（2），设则，令，解得：，；，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大值为若时，即时，最大值为综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为变式3-1、已知函数，.()若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；()当，且ab=8时，求函数的单调区间，并讨论函数在区间-2，-1上的最小值.解：()函数h(x)定义域为x|x-a，则， h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，即,解得或 ()记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x-a),ab=8，所以，(x-a),令，得，或, 因为，所以，故当，或时，当时，函数(x)的单调递增区间为；单调递减区间为, ,， 当，即时, (x)在-2,-1单调递增, (x)在该区间的最小值为， 当时,即, (x)在-2,单调递减, 在单调递增，(x)在该区间的最小值为， 当时,即时, (x)在-2,-1单调递减, (x)在该区间的最小值为， 综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为.变式3-2、已知：函数（其中常数）.（）求函数的定义域及单调区间；（）若存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围解：（）函数的定义域为，. 由，解得.由，解得且的单调递增区间为，单调递减区间为， （）由题意可知，且在上的最小值小于等于时，存在实数，使得不等式成立 若即时，xa+1-0+极小值在上的最小值为则，得 若即时，在上单调递减，则在上的最小值为由得（舍） 综上所述， 题型四 “曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念是不同的例4、求曲线的过点的切线方程错解：显然点在曲线上，且，故所求切线方程为，即错解反思:曲线过点的切线与曲线在点处的切线不同，前者既包括点处的切线，也包括过点但切点为另一点的切线因此，解题时必须理清头绪，弄清题意正解：设切点为，在点处的切线方程为又切线过点，整理，得，即或当时，切线方程为，当时，切线方程为综合题变式4、已知函数（）若在处取得极值，求实数的值；（）求的单调区间；（）求函数在闭区间的最小值.解：（） ，因为在处取得极值，所以，解得 （）， （1）当时，则在上为增函数；（2）当，即时，由 得或，所以的单调增区间为和;由得，所以的单调减区间为；（3）当即时，由得或，所以的单调增区间为和；由，得，所以的 单调减区间为.综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为和，的单调减区间为; 当时，的单调增区间为和，的单调减区间为.（）（1）当即时，由（）可知，在上单调递增，所以的最小值为；（2）当，即时，由（）可知，在 上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；（3）当即时，由（）可知，在上单调递减，所以的最小值为.综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为.题型五 不等式两边同除一个数或式子，要讨论它的正负的问题。例5、设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.解：（）,曲线在点处的切线方程为.（）由，得， 若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.变式5、已知函数 （I）求函数的单调区间；（）当时，求函数在区间上的最小值解：定义域为R，()当时，,则的单调增区间为 当时，解得, ,解得, , 则的单调增区间为,的单调减区间为 当时，解得, ,解得, , 则的单调增区间为,的单调减区间为() 当时, 即 当时, 在上是减函数,在上是增函数,则函数在区间-2,0上的最小值为 当时, 即 当时, 在上是增函数, 则函数在区间-2,0上的最小值为综上: 当时, 在区间-2,0上最小值为 当时, 在区间-2,0上最小值为反思总结：利用导数求函数最值问题典例：(14分)已知函数f(x)ln xax (aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值提示(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，1分当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)3分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 9分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.10分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.12分综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a.14分注意(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间1,2上的最值，属常规题型(2)本题的难点是分类讨论考生在分类时易出现不全面，不准确的情况(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.方法总结方法1 注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想2 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较总结1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2 函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论3 题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为()答案C解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f(x)0的点可以排除B.2 设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da0时，ex1，aex1.3 函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2 B0 C2 D4答案C解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.4 若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，)内为增函数，则实数a的取值范围是 ()Aa2 B5a7C4a6 Da5或a7答案B解析因为f(x)x3ax2(a1)x1，所以f(x)x2axa1，由题意知当1x4时，f(x)0恒成立，即x2axa10在(1,4)上恒成立，a(x1)x21，ax1(1x2或a0，a2或a1.三、解答题(共22分)8 (10分)已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)f(x)2ax.又f(x)在x1处有极值.得即解之得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x，其定义域是(0，)，且f(x)x.由f(x)0，得0x0，得x1.所以函数yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)9 (12分)已知函数f(x)ln|x| (x0)，函数g(x)af(x) (x0)(1)求函数yg(x)的表达式；(2)若a0，函数yg(x)在(0，)上的最小值是2，求a的值解(1)因为f(x)ln|x|，所以当x0时，f(x)ln x，当x0时，f(x)，当x0时，g(x)x.所以当a0，x0时，g(x)2，当且仅当x时取等号所以函数yg(x)在(0，)上的最小值是2.所以22.解得a1.拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是 ()答案C解析f(x)在x2处取得极小值，当x2时，f(x)单调递减，即f(x)2时，f(x)单调递增，即f(x)0.当x0；当x2时，yxf(x)0；当2x0时，yxf(x)0时，yxf(x)0. 结合选项中图象知选C.2 函数yxex，x0,4的最小值为 ()A0 B. C. D.答案A 解析yex(x1)，y与y随x变化情况如下表：x0(0,1)1(1,4)4y0y0取极大值当x0时，函数yxex取到最小值0.3 f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为 ()A(4,0)(4，) B(4,0)(0,4)C(，4)(4，)