高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课件2北师大版必修.ppt

2.6 平面向量数量积的坐标表示,【知识提炼】 1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示. 设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则ab=_.,x1x2+y1y2,(2)模、夹角、垂直的坐标表示.,x1x2,+y1y2=0,2.直线的方向向量 (1)定义：与直线l_的非零向量m称为直线l的方向向量. (2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m= _.,共线,(1，k),【即时小测】 1.思考下列问题 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? 提示:适用,无论是零向量,还是非零向量,均可使用向量数量积的坐标公式. (2)若直线l1,l2的方向向量相等,那么l1,l2有什么关系? 提示:l1l2或l1与l2重合.,2.已知a=(-3,4),b=(5,2),则ab的值是 ( ) A.23 B.7 C.-23 D.-7 【解析】选D.由向量数量积的计算公式.ab=(-3,4)(5,2)= -35+42=-7.,3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且ab,则x等于 ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 【解析】选B.因为ab,ab=0,即3x+1(-3)=0,解得x=1.,4.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则向量a与b的夹角为 ( ) 【解析】选B.设a,b的夹角为, 则 因为0,所以= .,5.过点A(-2,1)且与向量a=(3,1)平行的直线方程为_. 【解析】设P(x,y)是所求直线上任一点, =(x+2,y-1),因为 a, 所以(x+2)1-3(y-1)=0, 所以所求直线方程为x-3y+5=0. 答案:x-3y+5=0,【知识探究】 知识点1 数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:平面向量的数量积坐标表示的特点是什么? 问题2:平面向量的模、夹角、垂直的坐标表示各有何特征?分别有什么作用?,【总结提升】 1.数量积的坐标表示的实质与特点 (1)实质:是将向量运算转化为代数运算,它使得数量积的计算更为方便,简单. (2)特点:等于两个向量相应坐标乘积的和.,2.向量模的坐标运算的实质 a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点A(x,y),使得 =a =(x,y),所以 即|a|为点A到原点的距离.,3.向量的夹角的坐标表示 (1)来源:数量积公式的一个变形. (2)适用范围:由向量坐标计算夹角的一个公式,仅适用于两个非零 向量. (3)夹角的取值范围的确定: 由x1x2+y1y2的取值符号确定角的取值范围,其中当x1x2+y1y20时, 0 ;当x1x2+y1y20时, ;当x1x2+y1y2=0时,= .,知识点2 直线的方向向量 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题:如何求直线的方向向量?,【总结提升】 对直线的方向向量的两点说明 (1)个数:一条直线的方向向量有无数个. (2)长度:方向向量的长度没有限制.,【题型探究】 类型一 数量积、模的坐标运算 【典例】1.设向量a=(1,0),b=( ),则下列结论正确的是( ) A.|a|=|b| B.ab= C.(a-b)b D.ab 2.已知向量a=( ,-1)和b=(1, ),若ac=bc,试求模长为 的向量c的坐标.,【解题探究】 1.典例1中(a-b)b的等价条件是什么? 提示:(a-b)b=0. 2.典例2哪些条件可构造关于c的坐标的方程? 提示:根据ac=bc,|c|= 可构造关于c的坐标的方程.,【解析】1.选C.因为|a|= |b|= 所以|a|b|,故A错误;由ab=(1,0) 故B错误; 由(a-b)b= 所以(a-b)b,故C正确; 由 故D错误.,2.方法一:设c=(x,y),则ac=( ,-1)(x,y) = x-y,bc=(1, )(x,y)=x+ y, 由ac=bc及|c|= ,得 所以,方法二:由于ab= 1+(-1) =0,且|a|=|b|=2,从而以a,b为 邻边的平行四边形是正方形,且由于ac=bc,所以c与a,b的夹角相 等,从而c与正方形的对角线共线,如图.,此外,由于|c|= 即其长度为正方形对角线长度 的一半,故,【方法技巧】数量积坐标运算的规律与技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式ab=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=aa. (a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2ab+|b|2.,(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解. (3)形如(ma+nb)(ka+eb)(m,n,k,eR)的坐标运算,有两条途径:其一,展开转化为a2,ab,b2的坐标运算;其二,先求ma+nb与ka+eb的坐标,再运算.,【拓展延伸】 向量投影的坐标公式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),夹角为,则向量a在非零向量b方向上的投 影的坐标表示为:,【变式训练】(2015天津高一检测)已知点A(1,-2),若向量 与 a=(2,3)同向,且 则点B的坐标为( ) A.(5,-4) B.(4,5) C.(-5,-4) D.(5,4),【解析】选D.因为向量 与a=(2,3)同向, 所以设向量 =(2,3),0,则 =(2,3), 又因为 所以(2)2+(3)2=(2)2, 所以2=4,解得=2,所以 =(4,6), 又因为点A的坐标为(1,-2),设O为坐标原点, 所以 =(1,-2)+(4,6)=(5,4), 所以点B的坐标为(5,4).,类型二 向量的夹角与垂直问题 【典例】1.(2015长春高一检测)已知三个点A,B,C的坐标分别为 (3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),若ABC为直角三角形,且A为直角, 则实数m的值为_. 2.已知a=(1,2),b= 求a与b的夹角.,【解题探究】1.典例1中由A为直角得出什么样的结论? 提示:由A为直角,得出 2.典例2中求向量a与b的夹角需求哪些量? 提示:根据向量的夹角公式需求|a|,|b|以及ab.,【解析】1.由已知,得 因为ABC为直角三角形,且A为直角, 所以 解得m= . 答案:,2.因为ab=(1,2) =11-2 =0. 所以a与b垂直,即a与b的夹角为90.,【延伸探究】 1.(变换条件)本例2中条件“b= ”改为“b=(1,)”.其他条 件不变,求a与b的夹角为锐角时,的取值范围.,【解析】设a与b的夹角为,因为a与b的夹角为锐角, 所以cos0,且cos1, 即ab0且a与b不同向. 因此1+20,即- . 又因为a与b共线且同向时,=2. 所以a与b的夹角为锐角时, 的取值范围为 (2,+).,2.(改变问法)探究1中的条件不变,求a与b的夹角为钝角时,的取值 取围. 【解析】设a与b的夹角为,因为a与b的夹角为钝角, 所以cos0且cos-1. 所以ab0且a与b不反向, 由ab0得1+20,故- , 由a与b共线得=2,故a与b不可能反向,所以的取值范围为 (-,- ).,【方法技巧】利用数量积求两向量夹角的步骤,类型三 向量平行和垂直的坐标的应用 【典例】1.在四边形ABCD中,若 则该四边形 的面积为 ( ) A. B.2 C.5 D.10,2.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:ABAD. (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.,【解题探究】1.向量 垂直吗? 提示:因为 2.ABAD的等价条件是什么?四边形ABCD为矩形的实质是什么? 提示:ABAD的等价条件是 四边形ABCD为矩形的实质是,【解析】1.选C.因为 所以AC,BD是互相垂直的对角线, 所以 2.(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4), 所以 又因为 =1(-3)+13=0. 所以 即ABAD.,(2)如图, 由四边形ABCD为矩形,知 设C(x,y),则(x+1,y-4)=(1,1), 即 所以C(0,5). 所以 所以 =24+(-4)(-2)=16,所以 所以矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值为 .,设 的夹角为,【延伸探究】本例2的条件变为“A(3,4),B(0,0),C(c,0)”, (1)若c=5,求sinA的值. (2)若A是钝角,求c的取值范围.,【解析】(1) 当c=5时, =(2,-4), 所以cosA 所以sinA= (2)若A为钝角,则 =-3(c-3)+16 .显然此时 不共线. 故当A为钝角时,c的取值范围为,【方法技巧】三角形或四边形形状的判定 (1)可先求各边对应的向量及模,看各边长度关系. (2)再求它们两两的数量积,从而判定其内角是否为锐角(直角、钝角).四边形还可以从对角线对应的向量入手.,【变式训练】如图,四边形OABC是平行四边形,A(4,0),C(1, ),点M 是OA的中点,点P在线段BC上运动(包括端点). (1)求 的最大值. (2)是否存在实数,使 若存在,求出的取值范围; 若不存在,请说明理由.,【解析】(1)设点P(x0, ),则1x05, M(2,0), 故 所以当x0=5时,t的值最大,最大值为t=2.,(2) 因为 所以有4-x0+3=0, 又因为1x05, 所以14+35,得 故当 时,满足,【补偿训练】已知在ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),求过点C与AB平行的直线方程.,【解析】由题意,设所求直线方程为y=kx+b,则该直线的一个方向向量a=(1,k),因为直线与AB平行,所以a与 共线. 又 =(3,2)-(2,-1)=(1,3),所以k=3. 所以直线方程为y=3x+b, 又直线过点C(-3,-1),所以3(-3)+b=-1,即b=8. 所以直线方程为y=3x+8,即3x-y+8=0.,规范解答 向量数量积坐标运算的综合应用 【典例】(12分)已知在ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC 边上的高,求| |与点D的坐标.,【审题指导】(1)要求| |,需先求点D的坐标,可设D点坐标为(x,y). (2)注意到ADBC,点D在BC上,可得 共线,进而可构 造关于x,y的方程组,解之可得点D的坐标. (3)点D的坐标