材料力学第九章习题选及其解答.pdf

9-2. 计算图示各杆或桁架的变形能。 解： （b） 方法 1： （1）查表得 C 截面的转角 EI Mlll l EIl M c 9 ) 9 3 9 4 3( 6 22 2 （2）由功能原理 EI lM MWU c 182 1 2 方法 2 （1）列出梁的弯矩方程 Mx l M xM x l M xM 22 11 )( )( （2）求弯曲变形能 EI lM EI lM EI lM dx EI xM dx EI xM U l l l 18162 8 162 2 )( 2 )( 222 3/ 2 2 2 3/ 0 1 1 2 （c） （1）列出梁的弯矩方程 A M B EI C x2 x1 M/l M/l A M b) B EI C 2l/3 l/3 ds d EI R c) P B A O PRMsin)( （2）求弯曲变形能 EI RP ds EI PR ds EI M U l 8 2 )sin( 2 )( 32 2/ 0 22 9-3. 传动轴的抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。皮带拉力 T+t=P，D=2d。试计 算轴的变形能。设a=l/4。 解： （1）将外力向轴线简化 （2）扭转变形能 CD 段发生扭转变形，扭矩为：Pd/2 pp GI ldP GI l aPd U 32 3 2 ) 2 () 2 1 (22 2 1 （3）水平方向弯曲变形能 EI lP EI Pl PPU DH 96482 1 2 1 323 2 （4）垂直方向弯曲变形能 l/2 l/2 a T t D d P R P B M( ) O N() Q() T+t P A B C D (T-t)D/2 Pd/2 EI lP a EI lPa EI Pa PtTU CV 384 5 ) 3 )( 3 ( 2 1 )( 2 1 32 3 3 （5）轴的变形能 EI lP GI ldP UUUU p 384 9 32 3 3222 321 9-4. 试用互等定理求跨度中点C 的挠度，设 EI=常量。 解： （a） （1）将 P 力移到 C 截面处，如下图 （2）由位移互等定理 EI Pal a EI Pl af Bc 1616 22 1221 方向向上 （b） （1）将 P 力移到 C 截面处，如下图 （2）由位移互等定理 EI Pl l EI l P EI l P l ff ccc 48 5 2 ) 2 ) 2 ( ( 3 ) 2 ( 2 3 23 1221 方向向下 A B a) D C a l/2 l/2 P l/2 l/2 P B C A b) A B D C P 1 2 P B C A 1 2 9-8. 试求图示各梁截面B 的挠度和转角。 解： （1）在 B 处作用虚加力 Pf和 Mf，并列出弯矩方程 ff ff MxalPqxxM MxPxM )( 2 1 )( )( 2 2 2 2 11 （2）上式分别对 Pf和 Mf求偏导数 1 )( 1 )( )( )()( 21 2 2 1 1 ff ff M xM M xM xal P xM x P xM （3）用卡氏定理求挠度和转角 a ff al ff l f l ff B a ff al ff l f l ff B dx EI MxalPqx dx EI MxP dx M xM EI xM dx M xM EI xM M U dxxal EI MxalPqx dxx EI MxP dx P xM EI xM dx P xM EI xM P U f 0 2 2 2 2 1 0 1 2 2 22 1 1 11 0 22 2 2 2 1 0 1 1 2 2 22 1 1 11 )1( )( 2 1 )1( )( )()()()( )( )( 2 1 )( )( )()()()( （4）令上两式中的 Pf和 Mf为零 a l q B C A a) x1 q B C A x2 Pf Mf EI qa dx EI qx al EI qa dxxal EI qx f a B a B 6 ) 1( 2 1 0 )4( 24 )( 2 1 0 3 0 2 2 2 3 0 22 2 2 挠度和转角的方向与虚加力的方向一致 9-11. 图示刚架， 已知 AC 和 CD 两部分的 I=30 10 -6m4，E=200GPa。试求截面 D 的水平位移和转角，若P=10kN，l=1m。 解： （1）在 D 处作用虚加力 Mf，并列出弯矩方程 3213 12 111 2)( 2)( )( xPMlPxM MlPxM MxPxM f f f （2）上式分别对 P1和 Mf求偏导数 2P P l l 2l A B C D P2=2P P1=P x1 A B C D x3x2 Mf 1 )( 1 )( 1 )( 2 )( 2 )()( 321 1 3 1 2 1 1 1 fff M xM M xM M xM l P xM l P xM x P xM （3）用卡氏定理求挠度和转角 l f l f l ff l f l f l ff B l f l f l f l ll DH dx EI xPMlP dx EI MlP dx EI MxP dx M xM EI xM dx M xM EI xM dx M xM EI xM M U dxl EI xPMlP dxl EI MlP dxx EI MxP dx P xM EI xM dx P xM EI xM dx P xM EI xM P U 0 3 321 0 2 1 1 2 0 1 3 3 33 2 2 22 1 1 11 0 3 321 0 2 1 1 2 0 1 11 3 2 1 33 2 2 1 22 1 1 1 11 1 )1( 2 ) 1( 2 ) 1( )( )()( )()()()( )2( 2 )2( 2 )( )( )()( )()()()( （4）令上两式中的 Mf为零 rad EI Pl dx EI xPlP dx EI lP dx EI xP mm EI Pl dxl EI xPlP dxl EI lP dxx EI xP lll f B lll DH 0117.0 7 ) 1( 2 )1( 2 )1( )( 1.21 3 38 )2( 2 )2( 2 )( )( 2 0 3 321 0 2 1 1 2 0 1 3 0 3 321 0 2 1 1 2 0 1 11 挠度和转角的方向与P1和虚加力的方向一致 9-13. 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷P 作用下，试求节点 B 与 D 间的相对位移。 解： （1）在 B 处作用虚加力 Pf，并求出约束反力 fDAfA PPNPYPPX 2 2 2 2 （2）求各杆的轴力 02 2 2 2 2 2 2 54 321 NPPN PPNPNPN f fff （3）上式分别对 Pf求偏导数 01 2 2 2 2 2 2 54321 fffff P N P N P N P N P N （4）用卡氏定理求 B 点沿 BD 方向的位移 A B l P l C D A B P C D XA YA ND Pf 1 2 3 5 4 01 2)2( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( 2 2 ) 2 2 ( 2 2 5 1 EA lPP EA lPP EA lP EA lP P N EA lN P U f f ff i f iii f BD （5）令上式中的 Pf为零 EA Pl EA Pl EA lP EA lP BD 71.2)2 2 2 ( 0 2)2( ) 2 2 ( )( 00 方向为 B 向 D 靠近 9-14. 图示简易吊车的撑杆AC 长为 2m，截面的惯性矩I=8.53 106mm4。拉杆 BD 的 A=600mm2。P=2.83kN。如撑杆只考虑弯曲影响，试求C 点的垂直 位移，设 E=200GPa。 解： （1）求出约束反力 2 2 2 2 2 2 PRPYPX DAA （2）求 BD 杆的轴力和 AC 杆的弯矩 22211 2)1( 2 2 )( 2 2 )(2PxxPxMPxxMPN P A B C D 45 o 45 o 1m P A B C D 45 o 45 o XA YA RD x1 x2 （3）用卡氏定理求 C 点垂直位移 mm EI P EA P EI P EI P EA P dxx EI PxxP dxx EI Px EA P dx x xM EI xM dx x xM EI xM P N EA Nl P U ll BD CV 60.0553.00472. 0 3 2 66 2 )1 ( 2 2 2)1 ( 2 2 ) 2 2 ( 2 2 2 12 )()()()( 1 0 22 22 1 0 11 1 2 2 2 22 1 1 1 11 方向向下。 9-15. 平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面A 的转角。 解： （1）求各杆的弯矩方程 )()cos3()()( 332211 PxxMxlPxMPxxM （2）在梁上 A 处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程 3l 4l A B C D P A B C D P x1 x3 x2 1)(1)(1)( 321 xMxMxM （3）用莫尔定理求 A 截面的转角 EI Pl EI Pl EI Pl EI Pl dx EI Px dx EI xlP dx EI Px dx EI xMxM dx EI xMxM dx EI xMxM lll lll A 2 33 2 9 2 15 2 9 ) 1)(1)cos3() 1)( )()()()()()( 2222 3 4 0 3 2 5 0 2 1 3 0 1 3 3 33 2 2 22 1 1 11 转角的方向与单位力偶方向相同。 9-18. 图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩Mo 作用下，试求析轴杆自由端的 线位移和角位移。 解： （1）求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程 l h Mo A B C D 1 x1 x3 x2 x1 Mo x2 0201)()(MxMMxT （2）在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方程和弯 矩方程 1)(1)( )(0)( 2212 22111 xMxT xxMxT （3）用莫尔定理求自由端的位移 4 0 4 000 2 0 0 1 0 0 2 2 222 1 1 121 4 2 0 2 0 2 0 20 2 2 212 1 1 111 6432 11 )()()()( 32 2 0 )()()()( dE hM dG lM EI hM GI lM dx EI M dx GI M dx EI xMxM dx GI xTxT dE hM EI hM dx EI xM dx EI xMxM dx GI xTxT p hl p ll p h ll p H 自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。 9-19. 在曲拐的端点 C 上作用集中力 P。设曲拐两段材料相同且均为同一直径d 的圆截面杆，试求 C 点的垂直位移。 解： （1）求 BC 杆的弯矩方程及 AB 杆的扭矩方程和弯矩方程 P A B C a a x1 x2 x1 1 x2 x1 1 x2 PaxTPxxM PxxM )()( )( 222 11 （2）在 C 端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程 axTxxM xxM )()( )( 222 11 （3）用莫尔定理求 C 端的垂直位移 4 3 4 3333 2 0 22 2 0 1 0 11 2 2 22 2 2 22 1 1 11 32 3 128 33 )()()()()()( dG Pa dE Pa EI Pa GI Pa EI Pa dx EI xPx dx GI aPa dx EI xPx dx EI xMxM dx GI xTxT dx EI xMxM p aa p a ll p l V 自由端的垂直位移单位力方向一致。 9-21. 平均半径为 R 的细圆环，截面为圆形，直径为D。两个力 P 垂直于圆环轴 线所在的平面。试求两个力P 作用点的相对位移。 解： （1）求曲杆的扭矩方程和弯矩方程 R P P 1 A B C x1 x2 R P T() M( ) Q() PRMPRTsin)()cos1()( （2）上两式分别对 P 求偏导数 R P M R P T sin )( )cos1( )( （3）用卡氏定理求垂直位移 4 3 4 3 2 0 2 0 6496 sin sin )cos1 ( )cos1 ( )()()()( Ed PR Gd PR RdR EI PR RdR GI PR ds P M EI M ds P T GI T p ll p V 9-24. 图示杆系各杆的材料相同，截面面积相等。试用力法求各杆的内力。 解： （1）属一次静不定问题，取C 为多余约束，约束反力为X1 列出用力法求解的基本方程 0 1111P X （2）求1P P l b) A B C P A B C X1 D A B C A B C 1 1 2 3 3 1 2 P D D 由上图知 10 1 1 NN 分别对 D 点受力分析 N N P N P N cos2 1 cos2 1 sin2sin2 32 32 由莫尔定理 0 cos ) cos2 1 () sin2 ( cos ) cos2 1 ( sin2 0 1 3 1 1 l P l P EA EA lNN i i i i P （3）求11 ) cos4 1 1( cos ) cos2 1 ( cos ) cos2 1 ( 1 3 22 3 1 11 EA l l l l EA EA lNN i i ii （4）求出 X1 0