2020版高考数学第2章函数、导数及其应用第11节导数的应用（第1课时）导数与函数的单调性教学案.docx

第十一节导数的应用考纲传真1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)1函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值常用结论1可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零2对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f(x)0.()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上，f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值C结合原函数与导函数的关系可知，当x(4,5)时，f(x)0，yf(x)在(4,5)上是增函数，故选C.3函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减 B先减后增C增函数 D减函数Df(x)sin x1，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(0，)上是减函数4已知a是函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2C4 D2D由f(x)3x2120得x2，又当x2时，f(x)0，当2x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，x2是f(x)的极小值点，即a2.5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_8y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，最大值为8.第1课时导数与函数的单调性利用导数求函数的单调区间【例1】(1)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)(2)(2016北京高考)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.求a，b的值；求f(x)的单调区间(1)Byx2ln x，x(0，)，yx.由y0可解得0x1，yx2ln x的单调递减区间为(0,1，故选B.(2)解f(x)eaxxeaxb，由切线方程可得解得a2，be.f(x)xe2xex，f(x)(1x)e2xe.令g(x)(1x)e2x，则g(x)e2x(1x)e2xe2x(x2)令g(x)0得x2.当x2时，g(x)0，g(x)单调递减；当x2时，g(x)0，g(x)单调递增所以x2时，g(x)取得极小值1，也是最小值所以f(x)g(x)ee10.所以f(x)的增区间为(，)，无减区间规律方法1.掌握利用导数求函数单调区间的3个步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(或f(x)0)解出相应的x的取值范围，对应的区间为f(x)的单调递增(减)区间2理清有关函数单调区间的3个点(1)单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；(2)求可导函数f(x)的单调区间，可以直接转化为f(x)0与f(x)0这两个不等式的解集问题来处理；(3)若可导函数f(x)在指定区间D上单调递增(减)，则应将其转化为f(x)0(f(x)0)来处理 (1)(2019北京模拟)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A(0,1) B(1，)C(，1) D(1,1)(2)(2019威海模拟)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_(1)A(2)(2，)(1)f(x)2x(x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数(2)函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.f(x)(x2)ex0，解得x2.利用导数讨论函数的单调性【例2】设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，)此时f(x).可得f(1)，又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增规律方法研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.(1)讨论分以下四个方面,二次项系数讨论，根的有无讨论，根的大小讨论，根在不在定义域内讨论.(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.(3)讨论完必须写综述. 已知函数f(x)x22aln x(a2)x，当a0时，讨论函数f(x)的单调性解函数的定义域为(0，)，f(x)xa2.当a2，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)内单调递增当0a2，即2a0时，0xa或x2时，f(x)0；ax2时，f(x)0，f(x)在(0，a)，(2，)内单调递增，在(a,2)内单调递减当a2，即a2时，0x2或xa时，f(x)0；2xa时，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)内单调递增，在(2，a)内单调递减综上所述，当a2时，f(x)在(0，)内单调递增；当2a0时，f(x)在(0，a)，(2，)内单调递增，在(a,2)内单调递减；当a2时，f(x)在(0,2)，(a，)内单调递增，在(2，a)内单调递减函数单调性的应用考法1比较大小或解不等式【例3】(1)设函数f(x)是定义在(0,2)上的函数f(x)的导函数，f(x)f(2x)，当0x时，若f(x)sin xf(x)cos x0，af，b0，cf，则()AabcBbcaCcba Dcab(2)(2019山师大附中模拟)已知f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)e，xR,2f(x)f(x)0，则不等式f(x)e2x1的解集为()A(，1) B(1，)C(，e) D(e，)(1)A(2)B(1)由f(x)f(2x)，得函数f(x)的图象关于直线x对称，令g(x)f(x)cos x，则g(x)f(x)cos xf(x)sin x0，所以当0x时，g(x)在(0，)内递增，所以gggg，即abc，故选A.(2)设F(x)，则F(x).因为2f(x)f(x)0，所以F(x)0，即F(x)是单调递减函数，f(x)e2x1等价于1，即F(x)1.又因为f(1)e，所以F(1)1，则不等式f(x)e2x1的解集是(1，)，故选B.考法2求参数的取值范围【例4】已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1，即a的取值范围为(1，)(2)由h(x)在1,4上单调递减得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是.母题探究(1)本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围(2)本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解(1)由h(x)在1,4上单调递增得，当x1,4时，h(x)0恒成立，当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，a1，即a的取值范围是(，1(2)h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)0在1,4上有解，当x1,4时，a有解，又当x1,4时，min1，a1，即a的取值范围是(1，)规律方法1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.2.若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.3.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧,利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)；(2)xf(x)f(x)xf(x)；(3)xf(x)f(x)；(4)f(x)f(x)exf(x)；(5)f(x)f(x).(1)(2019武汉模拟)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若a，b，c，则a，b，c的大小关系正确的是()Aabc BbcaCacb Dcab(2)(2019兰州模拟)已知函数f(x)x22aln x(a2)x.当a1时，求函数f(x)的单调区间；是否存在实数a，使函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由(1)D设g(x)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0.g(x)在(0，)上是减函数由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)，又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，g(3)g(e)g(ln 2)，故cab.(2)解当a1时，f(x)x22ln x3x，则f(x)x3.当0x1或x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0，f(x)单调递减f(x)的单调增区间为(0,1)与(2，)，单调减区间为(1,2)假设存在实数a，使g(x)f(x)ax在(0，)上是增函数，g(x)f(x)ax20恒成立即0在x(0，)上恒成立x22x2a0当x0时恒成立，a(x22x)(x1)2恒成立又(x)(x1)2，x(0，)的最小值为.当a时，g(x)0恒成立又当a，g(x)当且仅当x1时，g(x)0.故当a时，g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增1(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1 B.C. D.C