世纪金榜第四章第二节.ppt

第二节 平面向量基本定理与坐标运算,1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理. 条件：e1,e2是同一个平面内的两个_向量. 结论：对于这一平面内的任一向量a,_实数1,2满足a=_. (2)基底：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底.,不共线,有且只有一对,1e1+2e2,(3)平面向量的正交分解： 向量正交分解是把一个向量分解为两个_的向量. 2.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向 量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向 量a可表示成a=x i+y j，由于a与有序数对(x,y)是一一对应 的，因此向量a的坐标是(x,y)，记作_.,互相垂直,a=(x,y),(2)设 =xi+yj，则向量 的坐标(x,y)就是_的坐标,即 若 =(x,y),则A点坐标为_,反之亦成立(O是坐标原点).,终点A,(x,y),3.平面向量的坐标运算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x,y),(x2-x1,y2-y1),4.向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a0)，则ab_.,x1y2-x2y1=0,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)若a,b不共线，且1a+1b=2a+2b，则1=2, 1=2.( ) (3)平面向量的基底不惟一，只要基底确定后，平面内的 任何一个向量都可被这组基底惟一表示.( ),(4)点的坐标与向量的坐标在形式上完全一样，但意义完全不 同，向量的坐标中既有方向也有大小的信息.( ) (5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示 成 ( ),【解析】(1)错误，只有不共线的两个向量才能作为平面的一 组基底. (2)正确.由1a+1b=2a+2b，得(1-2)a+(1-2)b =0，又a,b不共线，故1-2=1-2=0,从而1=2,1=2. (3)正确.由基底的定义及平面向量基本定理知正确.,(4)正确.由向量的坐标的意义可知正确. (5)错误.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10. 答案：(1) (2) (3) (4) (5),1.若已知e1，e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是_. e1与-e2； 3e1与2e2； e1+e2与e1-e2； e1与2e1. 【解析】由题意知向量e1与2e1共线，故不能作为平面的基底. 答案：,2.若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则 【解析】由题意知 =(1，1)， =(2，2)， 故 (1，1)-2(2，2)=(-3，-3). 答案：(-3，-3),3.设向量a(m，1)，b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m=_. 【解析】设ab(0)，即m且1m， 解得m1，0，m1. 答案：-1,4.若向量a(1，1)，b(1，1)，c(4，2)，则c用a,b 表示为_. 【解析】设c=xa+yb，则 c=3a-b. 答案：c=3a-b,5.已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)， 若(ab)c，则m_. 【解析】ab(1，m1). (ab)c， 2(1)(m1)0，m1. 答案：1,6.设向量a(1，3)，b(2，4)，若表示向量4a,3b-2a, c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c_. 【解析】设c(x，y)， 则4a+(3b-2a)+c=0， 答案：(4，-6),考向 1 平面向量基本定理及其应用 【典例1】(1)下列各组向量：e1=(-1,2)，e2=(5,7)； e1=(3,5),e2=(6,10)； e1=(2,-3),e2=( )，能作为表示它们所在平面内所 有向量基底的是_.,(2)如图，在ABC中， DEBC交AC于E，BC边 上的中线AM交DE于N.设 =a, =b，用a,b表示向量,【思路点拨】,【规范解答】(1)中的两向量不共线；中e1= e2，故两向 量共线；中e2= e1，故两向量共线.综上，只有中的两向 量可作为平面的一组基底. 答案：,(2) DEBC， 由ADEABC，得 (b-a). 又AM是ABC的中线，DEBC， (b-a). 又 a+ (b-a)= (a+b). ADNABM, (a+b).,【互动探究】在本例题(2)图中，连结C,D交AM于点P， 若 求,的值.,【解析】 a-b， (a+b). =( a+ b)-( a-b)=( )a+( )b. 又 =b， 解得,【拓展提升】用平面向量基本定理解决问题的一般思路 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便. 【提醒】解题时要熟练运用平面几何的一些性质定理.,【变式训练】如图所示，E,F分别 是四边形ABCD的对角线AC,BD的中 点，已知 =a, =b, =c, =d，求向量,【解析】方法一：连结AF, a+b， (a+b)， 又 =b+c， (b+c). a+ (b+c)， =a+ (b+c)- (a+b)= (a+c).,方法二： =d+a， =a+b, (d+a), (a+b)， 可得 (d+a)-d= (a-d). (a-d)- (a+b)=- (b+d).,考向 2 平面向量的坐标运算 【典例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1)，则a-2b=_. (2)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(-2，1)，O(0，0)，给出下 面的结论： 直线OC与直线BA平行； 其中正确结论的个数是_.,(3)(2013盐城模拟)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)， 且 则向量 =_. 【思路点拨】(1)利用向量坐标运算的法则求解. (2)根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证. (3)利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解.,【规范解答】(1)a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3). 答案：(7,3) (2)由题意得 =(-2,1), =(2,-1)，故 ， 又 无公共点，故OCBA，正确； 故错误; =(0，2)= ，故正确; =(-4，0)， =(-4，0)，故正确. 答案：3,(3)A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)， =(1，8)， =(6，3). =3(1，8)=(3，24)， =2(6，3)=(12，6). (12，6)-(3，24)=(9，-18). 答案：(9，-18),【拓展提升】两向量相等的充要条件及应用 (1)充要条件：两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)相等的充要条件 是它们的对应坐标分别相等，即 (2)应用：利用向量相等可列出方程组求其中的未知量，从而 解决求字母的取值、点的坐标及向量的坐标等问题. 【提醒】当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即为终点 坐标；反之也成立.,【变式训练】已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，O为 坐标原点.设 =a, =b, =c，且 =3c, =-2b. (1)求3a+b-3c. (2)求满足a=mb+nc的实数m,n.,【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8). (1)3a+b-3c3(5，5)(6，3)3(1，8) (1563，15324)(6，42). (2)mb+nc(6mn，3m8n)(5，5)， 解得,考向 3 平面向量共线的坐标表示 【典例3】(1)(2013无锡模拟)已知平面向量a=(1,2sin), b=(5cos,3),若ab,则sin 2=_. (2)已知a=(1,0),b=(2,1), 当k为何值时，ka-b与a+2b共线. 若 2a+3b, =a+mb且A，B，C三点共线，求m的值.,【思路点拨】,【规范解答】(1)ab,13-10sincos=0, 10sincos=3,2sincos= ,即sin2= . 答案： (2)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). ka-b与a+2b共线，2(k-2)-(-1)5=0, 即2k-4+5=0,得,方法一:A，B，C三点共线， 即2a+3b=(a+mb), 解得 方法二： =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m), A，B，C三点共线， 8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,【拓展提升】 1.向量共线的两种表示形式. abb=a(a0)；abx1y2-x2y1=0，至于使用哪种 形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用式. 2.两向量共线的充要条件的作用. (1)判断两向量是否共线(平行)， (2)解决三点共线的问题； 另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出 未知数的值.,【变式训练】(1)若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x=_. 【解析】a=(-1,x)与b=(-x,2)共线， (-1)2-x(-x)=0， a与b方向相同， 答案：,(2)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则 的值为_. 【解析】由条件得 =(a-2,-2), =(-2,b-2)，根据三点 共线得(a-2)(b-2)=4， 整理得2(a+b)=ab，所以 即 答案：,【易错误区】忽视平行四边形的多样性致误 【典例】(2013常州模拟)已知平行四边形的三个顶点的坐标 分别为(-1,0),(3,0),(1,-5)，则第四个顶点的坐标为_. 【误区警示】解答此题时容易出现的错 误是思维定势，认为平行四边形只是如 图1所示的一种情形，从而忽视了另外的 两种情形导致漏解.,【规范解答】如图2所示，设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y).,(1)若四边形ABCD1为平行四边形，则 而 =(x+1,y)， =(-2,-5), 解得 D1(-3,-5). (2)若四边形ACD2B为平行四边形，则 而 (4,0), =(x-1,y+5)， 解得 D2(5,-5).,(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则 而 (x+1,y)， (2,5), 解得 D3(1,5). 答案：(-3,-5)或(5,-5)或(1,5).,【思考点评】 1.注意分类讨论思想的运用. 若已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标，则点D的坐标只有一种情形，而此题中给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出顺序，所以平行四边形的形状不确定，应存在三种可能，故应进行分类讨论，将平行四边形的各种情况考虑全，以免漏解.,2.注意转化方法的利用. 求点的坐标可转化为求向量的坐标，通过设出所求点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量的共线或向量的相等建立方程(或方程组)，进而求得点的坐标.,1.(2012广东高考改编)若向量 (2,3)， (4,7)， 则 _. 【解析】 (2,3)-(4,7)=(-2,-4). 答案：(-2,-4),2.(2013南京模拟)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O， E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若 则 【解析】由已知得 又DEFBEA， 即, = a+ b- a= a+ b. 答案： a+ b,3.(2013盐城模拟)已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且ab，则实数x=_. 【解析】ab,43-2x=0,x=6. 答案：6,4.(2012山东高考改编)如图，在平 面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心 的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的 位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于(2,1)时， 的坐 标为_.,【解析】设圆心运动到C时，圆与x轴的切点为D，则弧PD的 长为2，所以PCD=2,点P的横坐标为 点P的纵坐标为 所以点P的坐标为 (2-sin 2,1-cos 2)，即 的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 答案：(2-sin 2,1-cos 2),1.在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A，B，C三点在同 一直线上的充要条件为存在惟一的实数,使得 成立,此时称实数为“向量 关于 和 的终 点共线分解系数”.若已知P1(3,1)，P2(-1,3),且向量 与向 量a=(1,1)垂直,则“向量 关于 和 的终点共线分解系 数”为_.,【解析】由 与向量a=(1,1)垂直,可设 =(t,-t)(t0), 由 得 (t,-t)=(3,