2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程习题课——抛物线的综合问题课后训练案巩固提升新人教A版.docx

习题课抛物线的综合问题课后训练案巩固提升一、A组1.以抛物线y2=2px(p0)的焦半径|MF|为直径的圆与y轴的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析:由抛物线定义知|MF|=xM+p2,所以半径r=|MF|2=xM2+p4,而圆心为MF的中点xM+p22,yM2,圆心到y轴的距离为xM+p22=r,故该圆与y轴相切.答案:B2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45的直线,则它被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析:由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案:B3.(2016福建厦门高二月考)过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2的值为()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:法一(特例法):当直线AB垂直于x轴时,有Ap2,p,Bp2,-p,则y1y2x1x2=-p2p24=-4.法二:由焦点弦AB所在直线方程与抛物线方程联立,得y1y2=-p2,则y1y2x1x2=y1y2y122py222p=4p2y1y2=4p2-p2=-4.答案:B4.定点M3,103与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P坐标为()A.(0,0)B.(1,2)C.(2,2)D.18,-12解析:如图,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程为y=43x-12,与y2=2x联立,求得x=2,y=2或x=18,y=-12(舍去),所以点P坐标为(2,2).答案:C5.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|4即可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2,由y0+24,解得y02,故y0的取值范围是(2,+).答案:C6.焦点为F的抛物线y2=2px(p0)上一点M在准线上的射影为N,若|MN|=p,则|FN|=.解析:由条件知|MF|=|MN|=p,MFMN,在MNF中,FMN=90,得|FN|=2p.答案:2p7.(2016四川绵阳高二月考)若P为抛物线y2=4x上一动点,则点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值等于.解析:易知点A在抛物线外.点P到x=-1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和为点P到焦点F(1,0)的距离和到点A(2,3)的距离之和减1.当且仅当A,P,F三点共线(点P在线段AF上)时,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和最小,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值为|AF|-1=10-1.答案:10-18.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且AOB的面积为16,则AOB等于.解析:由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称.设A-a,a24,Ba,a24,a0,则SAOB=122aa24=16,解得a=4.所以AOB为等腰直角三角形,AOB=90.答案:909.设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点.(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;(2)求证:OAOB是一个定值.(1)解:依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由y=2(x-1),y2=4x,消去y,整理得x2-3x+1=0,所以x1+x2=3,x1x2=1.所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.(2)证明:设直线l的方程为x=ky+1,直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ky+1,y2=4x,消去x,整理得y2-4ky-4=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4.因为OAOB=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3,所以OAOB是一个定值.10.导学号59254033动圆P与直线x=-1相切,点F(1,0)在动圆上.(1)求圆心P的轨迹Q的方程;(2)过点F作曲线Q的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN必过定点.(1)解:设P(x,y),根据题意,有(x-1)2+y2=x+1,化简,得y2=4x,即圆心P的轨迹Q的方程为y2=4x.(2)证明:由题意,知直线AB的斜率存在且不为0.设直线lAB:y=k(x-1),A(xA,yA),B(xB,yB),代入y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,所以xA+xB=2(k2+2)k2.因为M是线段AB的中点,所以Mk2+2k2,2k.因为ABCD,所以将点M坐标中的k换成-1k,即得N(2k2+1,-2k).当k2+2k2=2k2+1,即k=1时,直线lMN:x=3;当k1时,直线lMN:y+2k=-2k-2k2k2+1-k2+2k2(x-2k2-1).整理,得(1-k2)y=k(x-3),所以直线MN过定点(3,0).综上所述,不论k为何值,直线MN必过定点(3,0).二、B组1.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k等于()A.13B.23C.23D.223解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x10,x20.由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以x1x2=4.根据抛物线的定义得,|FA|=x1+2,|FB|=x2+2.因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2.由得x2=1,所以B(1,22),代入y=k(x+2),得k=223.答案:D2.(2016吉林长春高二月考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是()A.5B.17C.17-1D.17+1解析:点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离.圆心坐标是(0,4),圆心到抛物线焦点的距离为17,即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是17-1,这个值即为所求.故选C.答案:C3.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=.解析:由y2=4x得F(1,0),准线方程为x=-1.又FA+FB+FC=0,可知F是ABC的重心,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),所以x1+x2+x33=1,即x1+x2+x3=3.由抛物线定义可得|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,|FC|=x3+1,所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+3=3+3=6.答案:64.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,若OAOB=-4,则直线l恒过的定点M的坐标是.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=-4.当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=x0(x00),则x02-4x0=-4,解得x0=2;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,由y=kx+b,y2=4x,得ky2-4y+4b=0,得y1y2=4bk,则x1x2=y12y2216=b2k2,得b2k2+4bk=-4,所以bk=-2,有b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M的坐标为(2,0).答案:(2,0)5.导学号59254034已知抛物线y2=4x,过其焦点F作弦AB,若弦长|AB|不超过8,且弦AB所在直线l与椭圆3x2+2y2=2相交,试确定弦AB所在直线l的斜率k的取值范围.解:由题意得抛物线的焦点坐标为F(1,0),则弦AB所在直线的方程为y=k(x-1)(k0).联立方程y2=4x,y=k(x-1),消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,因为|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+28,所以k21,即k-1或k1.联立方程3x2+2y2=2,y=k(x-1),消去y得(3+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.因为直线l与椭圆相交,所以=-8k2+240,解得-3k3.综上所述,得1k3或-30),由准线x=p2=1,得p=2,所以抛物线方程为y2=-4x.由题意,设直线PQ的方程为x=my-2,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)证明:设M(