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第三章 向量代数,高等代数与解析几何课题开发组,3.1 向量及其线性运算,欧拉 （1707-1783 ）,3,3.1.1 向量的基本概念,既有大小, 又有方向的量,称为向量(矢量).,用有向线段表示向量. 有向线段的长度表示向量的,例如,也可用一个字母表示. 例如,或,大小, 有向线段的方向表示向量的方向.,如速度,加速度, 力, 位移等.,定义3.1,可以,向量的大小叫做向量的模,记作,模等于的向量叫做单位向量.,向量的模:,向量,4,若 大小相等, 方向相同, 则称 相等，,定义3.2,与起点无关的向量称为自由向量 (向量).,定义3.3 如果两个向量 和 的大小相等，方向相反，则 称 是 的反向量，记作 .,定义3.4 长度为0的向量成为零向量，记作0.,定义3.5 长度为1的向量称为单位向量.,模等于零的向量叫做零向量, 记作,零向量的起点和终点重合，方向可任意.,或,记做,5,1向量的加减法,称为向量加法的平行四边形法则。,再以,为边作平行四边形,称,定义3.6 从一点 作向量,为两向量的和向量，记作,个向量的和如何理解？,3.1.2 向量的线性运算,6,两向量的差：,不难得到：,(2) 结合律,(1) 交换律,向量加法的运算规律,7,特别地,定义3.7 向量,运算规律:,(1) 结合律,(2) 分配律,与实数,的乘积是一个向量，记作,它的方向，当,它的模,与 的方向相同（相反）.,8,定理3.1,的充分必要条件是存在唯一的,3.1.3 共线向量、共面向量,定义3.8 方向相同或者相反的向量称为共线向量，而,再证唯 一性.,证,充分性是显然的.,设向量,设,则,取实数,所以，,平行于同一平面的向量成为共面向量.,下面证必要性. 设,为负；,9,定理3.2,三个向量,共面的充分必要条件是存在不,全为零的数,使,证,中有两个向量例如,共线，由定理,3.1知，则有不全为零的,使,那么,仍不全为零，有,设,均不共线，作,过,点作直线与,平行交,所在直线于,点，于是由三角形,如果,法则及数乘向量定义有,10,其中,不全为零.,反之，如果有不全为零的,使,不妨设,，于是,这说明,是以,为边的平行四边形的对角线，,因此,共面.,从而有,11,证 由三角形法则,又因,是,的中点，,故,即,例3.1,中，,是,边中点，证明,12,例3
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