Matlab：一维数组及其应用.ppt

Matlab：一维数组及其应用,一、一维数组 二、一维数组在二维绘图中的应用 三、一维数组在向量运算中的应用 四、一维数组在一元多项式运算中的应用,一、一维数组,数值数组(简称为数组)是Matlab中最重要的一种内建数据类型 数组运算是Matlab软件定义的运算规则，其目的是为了数据管理方便、操作简单、指令形式自然和执行计算的有效。 无论在数组上施加什么运算(加减乘除或函数)，总认定那种运算对被运算数组中的每个元素(Element)进行运算。,1、一维数组的两种形式,行数组：n个元素排成一行 又称为行向量（row vector） 列数组：m个元素排成一列 又称为列向量（column vector）,一般情况下，向量指列向量,2、用方括号 创建一维数组,整个数组放在方括号里 行数组元素用空格或逗号分隔 x = 2, pi/2, sqrt(3), 3+5i 列数组元素用分号分隔 y = 2;pi;3/4;j 标点符号一定要在英文状态下输入 x = 生成空数组,3、用冒号创建一维数组,x = a:b,x = a:inc:b,默认 inc = 1,x = a,a+inc,a+2*inc,a，b必须为实数,a是数组x中的第一个元素，b不一定是数组x的最后一个元素。,4、用linspace()函数创建一维数组,x = linspace(a,b),x = linspace(a,b,n),x = linspace(0,pi,10) x = linspace(1+i,100+100*i),在a,b区间内生成 n 个数据，包括a和b在内,默认 n = 100,若a，b为实数，等效于：,5、用logspace()函数创建一维数组,x = logspace(a,b),默认n = 50,x = logspace(a,b,n),x = logspace(a,pi),6、引用一维数组中的单个元素,x = 1:5 k = 2 a = x(k) 引用数组 x 中的第 k 个元素， 将其赋值给变量 a b = x(end) 引用数组 x 中的最后一个元素， 将其赋值给变量 b,c = x(8) 会出现什么结果？,7、一维数组中单个元素的赋值,x = 1:5 a = 1.5 k = 3 x(k) = 0 将 0 赋值给数组 x 中的第 k 个元素 x(end) = a 将 a 赋值给数组 x 中的最后一个元素,x(8) = 6.5 会出现什么结果？,8、引用一维数组中的子数组,引用一维数组x中的第2、5、9个元素，将其赋值给变量 a,x = linspace(1,5) a = x(2,5,9),b = x(end:-1:1) c = x(1:2:end) d = x(2:2:end),b = ? c = ? d = ?,x = linspace(1,5) s = 2,5,9 a = x(s),9、给一维数组中的子数组赋值,将2、7分别赋值给x的第1、4个元素,x = linspace(1,5) x(1,4) = 2,7,x = linspace(1,5) s = 1,4 a = 2,7 x(s) = a,10、Matlab中的函数 在一维数组上的运算规则,Matlab中的很多函数都可以直接以数组作为输入参数，函数输出也为数组。,输入为行数组，则输出也为行数组,输入为列数组，则输出也为列数组,10、一维数组的转置运算,x. x,x做转置（行列，列行） x做共轭转置,若x的元素均为实数，则x.与x的结果相同,x = (1:100),11、一维数组与一维数组的运算,x + y x - y x.*y x./y x.y x.y,加 减 乘 右除 左除 幂,两个一维数组之间进行运算，要求： 1、两个数组都为行数组（或都为列数组） 2、数组元素个数相同，,对应位置的元素做,C语言中，可使用循环语句完成类似的操作,y + x y - x y.*x y./x y.x y.x,12、一维数组与数的运算,若x为数组，c为数（实数或复数），,x + c x c c.*x x./c x.c x.c,加 减 乘 右除 左除 幂,数组的每个元素都与数c做,c + x c - x c*x c./x c.x c.x,13、与一维数组相关的函数,一维数组相关函数的应用 以线性拟合为例,测得铜导线在温度Ti下的电阻为Ri，编写一个M脚本文件，用matlab提供的数组函数对数据进行线性拟合，求出斜率、截距和相关系数，并与origin的拟合结果进行比较。,x=0:0.2:2*pi; plot(x,cos(x),k*-);,二、一维数组在二维绘图中的应用,1、plot(a,b,string),a, b 都是一维数组，以 a 中元素为横坐标， b 中元素为纵坐标作平面曲线。 a, b 必须具有相同长度。string 是用 单引号 括起来的字符串，用来指定图形的属性（点、线的形状和颜色）,黑色、实线 离散点用星号,属性可以全部指定，也 可以只指定其中某几个。 排列顺序任意,2、线型、标记和颜色,3、用plot函数同时绘制多条曲线,plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2, ),x1,y1,s1 第一条曲线及其属性 x2,y2,s2 第二条曲线及其属性 属性可以不写,4、在已存在的图形上添加新图形,可以使用hold命令在一个已经存在得图形上添加一个新的图形。 hold on：在输入新的plot函数得时候，matlab不会将现存得坐标轴删除，而是将新得曲线添加到当前的坐标轴中。当新的数据超出了当前坐标限的范围，matlab就将坐标轴重新刻度。 hold off：将当前的图形窗口中的图形释放，用以绘制新的图形。 hold：实现hold设置的切换。 ishold：查询hold当前是on还是off,例：使用hold绘制多个图形,5、在一个图形窗口中绘制多个子图,一个图形窗口可以包含多个子图，每个子图拥有自己的坐标轴,subplot(m,n,p) 将一个绘图窗口分割成 mn 个子图，并将第 p 个子图选定为当前的绘图区域。,子图从最上边一行开始 ，从左至右、从上至下依次编号,例：使用子图,被激活的子图在用户输入另一个subplot或者figure命令之前会一直保持被激活状态。,当一个新的subplot命令改变了在图形窗口中的子图数量的时候，原来的那些子图就被擦除掉了，以便给新的子图腾出空间。,为了回到默认的模式并且在整个图形窗口中只用一套坐标轴，可以使用命令subplot(1,1,1),6、在多个图形窗口中绘图,激活绘图窗口 figure(n) 关闭图形窗口 close(n) close all 擦除窗口的内容 clf：将一个图形窗口的内容擦除而不关闭它。 clf reset：将当前的图形窗口擦除，然后将诸如hold这样的所有属性重新设置为它们的默认状态。,例：使用多个图形窗口,为了在一个已有的图形窗口中绘制一个新的图形，这个窗口必须是激活的，或者是当前的图形窗口。,上机练习,三、一维数组在向量运算中的应用,1、向量的模（长度）,a = 4,3,1 d = sqrt(sum(a.*a) 或： d = sqrt(sum(a.2),2、两点之间的距离,a = 4,3,1 b = 5,2,3 AB = sqrt(sum(a - b).2),3、向量的方向角与方向余弦，单位向量,a = 4,3,1 d = sqrt(sum(a.2) e0 = a./d,4、向量的线性运算,a = 4,3,1 b = 5,2,3 c = 1.6,直接利用matlab的数组运算规则即可进行运算,pab = a + b sab = a b d = c*a,5、向量的内积（点积，点乘）,dot(a,b) =,sqrt(dot(a,a),Matlab中提供了 dot() 函数实现向量的内积,6、两个向量之间的夹角,tmp = dot(a,b)/sqrt(dot(a,a)/sqrt(dot(b,b) theta = acos(tmp),7、向量的叉积（叉乘）,cross(a,b) =,Matlab中提供了 cross() 函数实现向量的内积,8、向量的混合积：,dot(cross(a,b),c),上机练习：,3.以A(1,2,3)，B(2,0,5)，C(4,2,-1)为顶点的三角形的面积。,4.求以A(0,0,2)，B(3,0,5)，C(1,1,0)，D(4,1,2)为顶点的四面体的体积。,四、一维数组在一元多项式运算中的应用,借助matlab提供的函数，处理多项式是一件非常简单的事情，很容易对多项式进行积分、微分以及求根的操作。,一元多项式在代数中占有非常重要的地位。在实际应用中如对实验数据的插值、微商和曲线拟合等，都要大量用到多项式；在矩阵分析时，也要用到一元多项式的概念。多项式函数是形式最简单的函数，也是最容易计算的函数，从理论上讲，它可以表示绝大多数复杂函数。在许多计算机的计算和编程中，很多函数值如sin(x),cos(x)等的计算都是先将函数进行Tailor展开为多项式进行逼近计算的，并且都能达到很高的精度。,1、多项式的表示和创建,在matlab中，一个一元多项式用一个行向量来表示的，向量元素为多项式系数的降幂排列，其中最后一个元素代表多项式中的0幂项。,p = 1,-12,0,25,116,2、多项式的符号表示,poly2sym() 把系数向量表示的多项式转为符号表示,poly2sym(p) 用默认字符x来表示多项式的变量 poly2sym(p,v) 用字符v来表示多项式的便量,p = 1,-12,0,25,116 px = poly2sym(p) pt = poly2sym(p,t),3、计算多项式的值,p = 1,-12,0,25,116; x1 = 2.3; x2 = -1,3,7;,y = polyval(p,x),p1 = polyval(p,x1); p2 = polyval(p,x2);,计算多项式p在x处的值，x可以是标量，向量或矩阵,4、求多项式的根,r = roots(p) 此函数返回多项式p的根组成的向量,多项式和多项式的根都是用向量表示的，为加以区别，多项式的根表示成列向量。,p = 1,-12,0,25,116 r = root(p),对于系数为实数的多项式，如果其根出现复数，则复数必是成对出现的。,5、由根创建相应的多项式,r = 1;2;-1;3;7 p = poly(r),p = poly(r) r是一个向量，构造一个多项式，其根为r,由于matlab在进行数据处理时存在截断误差，因此，poly函数的返回值有可能在该出现0的位置出现了一个非常接近0的数，有时还会使某些系数带有一个很小的虚部。因此建议对poly函数的输出结果再进行一次处理，从而消除有可能出现的数据错误。例如，可以通过比较将绝对值极小的数强制置0，或利用real函数将实部从结果中提取出来，取消错误虚部的影响。,由根构造多项式时，所得到的多项式的第一项为1,练习,6、多项式的加法和减法,当两个多项式的阶次不同时，其系数向量的长度也不同，这时需要先将低阶多项式的系数向量前边补上足够的0，以便使它和高阶多项式具有相同的长度，然后再执行加法（减法）运算。,Matlab没有专门的函数执行多项式加法（减法）,如果两个多项式的阶次相同，其系数向量的长度相等，多项式的加法就是将两个多项式向量直接相加（相减）。,7、多项式的乘法,a = 1,2,3,4 b = 1,4,9,16 c = conv(a,b),w = conv(u,v) 此函数返回多项式u和v的乘积,多项式的乘法就是多项式系数向量之间的卷积,如果要执行多个多项式之间的乘法运算，需要重复使用conv函数,数学物理方法（陆全康 赵惠芬，第二版，高等教育出版社，2003）P87,8、多项式的除法,q,r = deconv(b,a ) q：用来存储b/a的商多项式， r：用来存储b/a的余数多项式,余数通常都与除数和被除数中较长的那个向量等长，因此r的前面一般有若干个0,此函数表示多项式b除以多项式a得到商多项式q和余数多项式r，如果r的元素全部为0，则表示多项式b可以整除多项式a。,多项式的除法就是多项式系数向量之间进行解卷积运算,练习,9、多项式的微分（求导）,polyder( ) 多项式微分,k = polyder(p) 求多项式p的微分多项式,k = polyder(a,b) 求a x b的微分,q,d = poyder(b,a)：求有理分式b/a的微分 q：分子多项式 d：分母多项式,10、多项式的积分,p = 1,6,20,48,69,72,44 h = polyder(g) q = polyint(h,44),q = polyint(p,k) 对多项式p积分，k为积分常数 q = polyint(p) 对多项式p积分，积分常数为0,11、部分分式展开（留数计算）,找出两个多项式b(x)和a(x)之比b(x)/a(x)的留数、极点及直项向量。,将部分分式展开的形式还原为两个多项式b(x)和a(x)相除的形式,r,p,k = residue(b,a),b,a = residue(r,p,k),求函数在指定点处的留数,数学物理方法（陆全康 赵惠芬，第二版，高等教育