《曲面及其方程》PPT课件.ppt

1,祝同学们在新学期 取得更好的成绩,磨璞见玉 砺剑生辉,2,时间：2-9，11-14，17-18周每周一和周三（7-8节）,1 .答疑的时间和地点：,地点：教一楼C300答疑室,2.从第二周开始每周周一交作业（分两组轮换交）,15周周三（7-8节），16周周一（7-8节）答疑,3,第八章 空间解析几何 6学时,第十章 重积分 12学时,第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时,第十二章 无穷级数 18学时,第七章 微分方程 14学时,总复习 4学时,第九章 多元函数微分法及其应用 20学时,总计 88学时,内容与学时,4,第一节、向量及其线性运算,第三节、曲面及其方程,第8章,本章内容：,第二节、数量积 向量积 混合积*,第八章,空间解析几何 与向量代数,第四节、空间曲线及其方程,第五节、平面及其方程,第六节、空间直线及其方程,5,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,五、小结及作业,四、二次曲面,6,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段AB的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,7,定义1.,如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:,(1) 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 ,研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,8,故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为R的轨迹,表示上(下)球面 .,9,解,根据题意有,所求方程为,10,例3. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,11,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,12,定义2. 一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该平面曲线和定,直线分别称为母线和旋转轴.,问题：,如何求旋转曲面方程？,下面我们主要讨论坐标面上的曲线,绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程。,13,下面我们重点讨论坐标面上的母线绕坐标轴旋转得的旋转曲面.,故旋转曲面方程为,当绕z轴旋转时,若点,设 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,建立yoz面上曲线C 绕z轴旋转所成曲面的方程:,14,15,例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上,直线 L的方程为,绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为,16,例6.求坐标面xoz上的双曲线,分别绕x,轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕x轴旋转,绕z轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面（双叶及单叶）.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,17,yoz面上的椭圆:,绕z轴旋转得旋转椭球面方程:,绕y轴旋转得旋转椭球面方程:,例7.,旋转曲面特点：至少有两个变量的平方项系数相等.,18,例8.,将yoz平面上的抛物线C:,绕z轴旋转一周所产生的旋转抛物面为:,又如:将yoz平面上的抛物线C:,绕y轴旋转一周所产生的旋转抛物面为:,19,例9 问方程:,表示什么图形?,解,绕y轴旋转成的右半圆锥面部分。,表示xoy平面上的直线,例10,表示顶点在z轴上(0,0,1)处,开口向下的旋转抛物面.,(0,0,1),表示什么图形?,解,20,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在xoy面上，,表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为,故在空间,过此点作,圆柱面.,对任意z,平行z轴的直线l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,21,定义3.,平行定直线并沿定曲线C移动的直线L形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于z轴;,准线为xoy面上的抛物线.,z轴的椭圆柱面.,z轴的平面.,表示母线平行于,(且z轴在平面上),表示母线平行于,C叫做准线,L叫做母线.,22,一般地,在空间中,柱面,柱面,平行于x轴;,平行于y轴;,平行于z轴;,母线,柱面,母线,母线,准线为xoy面上的曲线,准线为yoz面上的曲线,准线为xoz面上的曲线,23,注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,在不同的坐标系中应该注意。,一般地，在空间直角坐标系中,xoy面上的曲线可表示为,而相应,表示柱面；,同理可用此方法表示其它坐标面上的曲线：,24,从柱面方程看柱面的特征：,25,四、二次曲面(自学为主）,此三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程（9种） ,下面仅,就几种常见的标准方程讨论其形状 .,研究二次曲面图形的基本方法: 截痕法、伸缩法 （P316),二次曲面基本类型有:,锥面、椭球面、双曲面、抛物面、柱面,二次曲面.,(二次项系数不全为0)表示的曲面称为,把平面称为一次曲面,26,1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,27,与,的交线为椭圆：,(4) 当ab时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),28,2. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,( p,q 同号),特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,用坐标面,与曲面相截,截得一点，即坐标原点,29,( p,q同号),(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,30,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,31,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z轴;,相交直线:,双曲线:,32,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,33,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面x0或y0上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换,得到, 见书 P29 ),34,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕z轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行z轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等 .,35,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥