《基本不等式》PPT课件.ppt

基本不等式,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,a,b,1、正方形ABCD的 面积S=,、四个直角三角形的 面积和S =,、S与S有什么 样的不等关系？,探究：,SS即,问：那么它们有相等的情况吗？,(ab),结论： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(ab),(ab),思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,分析法,问题二,证明不等式：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较,注意从不同角度认识基本不等式,上面两个重要不等式有如下变形及推广,(当且仅当a=b时取”=“号),(当且仅当a=b时取”=“号),(当且仅当a=b时取”=“号),(当且仅当a=b时取”=“号),时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？,练习：已知三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？ 最小值是多少？,解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,xy=100,篱笆的长为2（x+y）m,由 ，,可得,2（x+y）40,当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10,这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m,设三角形的两条直角边为x、y，,解：,则s=,xy=100,当且仅当x=y=10时取等号,当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20,例 1,结论1、若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_.,成立条件： 一正，二定，三相等,（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大？面积最大值是多少？,练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？,解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,2(x+y)=36,即 x+y=18,=81,当且仅当x=y=9时取等号, 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81,解：,设矩形的长为xm，宽为ym，则,2(x+y)=20,即 x+y=10,=25,当且仅当x=y=5时取等号, 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25,x,x,y,y,结论2、若x、y皆为正数，则当x+y的值是 常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_,成立条件： 一正，二定，三相等,利用基本不等式求最值问题 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，x+y 有最_值是_.（简记：积定和最小） (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当_时,xy有最 _值是_.（简记：和定积最大）,x=y,小,x=y,大,一正、二定、三相等,极 值 定 理,分析：,水池呈长方形，它的高时3m，底面的长与宽没有确定。如果地面的长和宽 确定了，水池的总造价也就确定了。因此，应当考察底面的长与宽取什么值 时水池的总造价最低。,解：,设底面的长为xm，宽为ym，水池的总造价为z元，,根据题意，有,x,y,3,Z=150,+,=240 000+720(x+y),容积为4800,3xy=4800,即xy=1600,由基本不等式与不等式的性质，可得,z,z297 600,当x=y，即x=y=40时，等号成立,所以，将水池的底面设计成长40m的正方形时总造价最低，最低总造价为297 600元.,练习：做一个体积为32m3,高为2m的长方体纸盒，底面的长与 宽取什么值时用纸最少？,解：,根据题意，有,Z=2,+4x+4y,体积为32,2xy=32,即xy=16,由基本不等式与不等式的性质，可得,z32+48=64,x,y,2,设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z,=32+4(x+y),=8,当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4,当x=y=4时，用纸最少为64,小结：,求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”,2. 利用基本不等式求最值,1. 两个重要的不等式,1、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形 的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？,解：,设菜园的长和宽分别为xm，ym,则 x+2y=30,x,y,菜园的面积为s=xy=,x（2y）,=,当且仅当,x=2y时取等号,此时x=15，y=,2、设x，y满足x+4y=40，且x，y都是正数，求xy的最大值,解：,x+4y=40,x（4y）,=400,xy100,当且仅当x=4y时等号成立,此时，x=20,y=5,当x=20,y=5时，xy的最大值为100,巩固练习,3、已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并