方阵的特征值、特征向量与相似化简.ppt

线性代数 第五章,第五章 方阵的特征值、特征向量与相似化简,本章教学内容 1 数域 多项式的根 2 方阵的特征值与特征向量 3 方阵相似于对角矩阵的条件 4 正交矩阵 5 实对称矩阵的相似对角化 *6Jordan标准形简介,1 数域 多项式的根,本节教学内容 1.数域的概念 2.多项式的根与标准分解式,1 数域 多项式的根,1.数域的概念 定义1.1 设F 是一个数集，F 中至少包含两个不 同的数，如果F 中任意两个数的和、差、积、商 (当除数不为零时)仍是F 中的数，则称F 是一个数 域。 注 数域对数的四则运算(除数不为零)封闭。 数域F 必包含0和1两个数。 证 依定义有,1 数域 多项式的根, 有理数集Q是一个数域，称有理数域； 实数集R是一个数域，称实数域； 复数集C是一个数域，称复数域。 若F 是数域，则F Q，即有理数域是最小的 数域。 证,1 数域 多项式的根,例3 答 是。 证,1 数域 多项式的根,2.多项式的根与标准分解式 定义1.2 对于非负整数n及数域F 上的数ai, (i=0,1, 2, ,n)，未定元x的形式表达式 称为数域F上的一个一元多项式.当an0时，称(x) 为一个一元n次多项式.非零数an称为(x)的首项系 数， a0称为常数项. 系数全为零的多项式称为零多 项式，通常零多项式不定义次数，如果为了方便， 也可认为它的次数为-.,1 数域 多项式的根,定义1.3 对于正整数n，一元n次多项式(x)对应 的方程(x)=0称为代数方程，方程(x)=0的根称为 (x)的根或零点.方程(x)=0重复出现的根称为方程 (或多项式(x)的重根，其重复出现的次数称为该 重根的重数，重数为1的根称为单根. 例1 例2,1 数域 多项式的根,关于代数方程及多项式，有下列结论 定理1.1 复数域上，n次代数方程恰有n个根(k重 根算k个，n1). 推论 n次(n1)多项式在复数域上恰有n个根(k重 根算k个). 定理1.2 若n次多项式(x) 全部互异的根为x1, x2, , xt，它们的重数分别为n1, n2, nt，则有 (an0, n1+n2+nt=n) 上式右端称为(x)在复数域 上的标准分解式。,1 数域 多项式的根,例3 下列哪些是复数域上的标准分解 (1) (2) (3) (4),是,是,不是,不是,1 数域 多项式的根,例4 复数域上，将多项式 标准分解。 解 根据根与系数的关系，(x)的有理根必是2的 约数，即可能是1,-1,2,-2,1 数域 多项式的根,本节学习要求 1.理解数域的概念， 2. 理解多项式、多项式的根与多项式的标准分 解式的概念。 作业：习题5.1(A) 第3题,2 方阵的特征值与特征向量,本节教学内容 1.方阵的特征值 2.方阵的特征向量 3.方阵的特征值与特征向量的问题,2 方阵的特征值与特征向量,1.方阵的特征值 定义2.2 对于n阶方阵A=(aij) ，把含有字母的 矩阵 称为A的特征矩阵， 多项式()=E-A 称为A的特征多项式, ()的根称为A的特征根或特征值. ()的单(重)根称为A的单(重)特征值.,2 方阵的特征值与特征向量,方阵的特征值具有下列性质 定理2.1 n阶方阵A=(aij)的特征多项式 记 ,称为A的迹 (定义2.1),2 方阵的特征值与特征向量,证 ()的n次项及n-1次项必来自均部项 故()的n次项系数为1, ()的n-1次项系数为 ()的常数项为,2 方阵的特征值与特征向量,定理2.2 设n阶方阵A的特征值为 则 证 由定理2.1知A的特征多项式 推论 方阵A可逆 A的特征值都不为零。,2 方阵的特征值与特征向量,2.方阵的特征向量 定义2.3 设0是n阶方阵A的一个特征值，若n维 非零(列)向量满足A= 0 ，则称为A的对应于 0的一个特征向量。 定理2.3 设A为n阶方阵, 若数 0与n维非零(列)向 量 满足A= 0， 则 0为A的特征值，为A的对 应于 0的特征向量。 证,#,2 方阵的特征值与特征向量,3.方阵的特征值与特征向量的问题 ,2 方阵的特征值与特征向量,例2.2 在实数域上求矩阵 的特征值与特征向量。 解,2 方阵的特征值与特征向量,对于1,2=2，解方程组(2E-A)X=0得基础解系 对于3=-4，解方程组(-4E-A)X=0得基础解系,2 方阵的特征值与特征向量,例2.3 在实数域上求矩阵 的特征值与特征向量。 解,2 方阵的特征值与特征向量,对于1=2，解方程组(2E-B)X=0得基础解系 对于2,3=1，解方程组(E-B)X=0得基础解系,2 方阵的特征值与特征向量,例2.4 设矩阵A满足A2=A(这样的矩阵叫做幂等 矩阵)，证明A 的特征值只能是0或者1. 证,2 方阵的特征值与特征向量,例2.5 设矩阵A可逆，0为A 的特征值，为A的 对应于 0的特征向量，证明: 证,2 方阵的特征值与特征向量,本节学习要求 理解方阵的特征值、特征多项式及特征向量的概念，熟悉特征值的性质，会求方阵的特征值与特征向量，会论证特征值与特征向量有关的问题。 作业：习题5.2(A) 第1(1)(3),3,8题,3 方阵相似于对角矩阵的条件,本节教学内容 1.相似矩阵及其性质 2.方阵的相似对角化,3 方阵相似于对角矩阵的条件,1.相似矩阵及其性质 定义3.1 设A,B是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵 P，使P-1AP=B，则称A与B相似(或A相似于B)。 记作AB 运算P-1AP称为对A作相似变换，P称为相似因子 或相似变换矩阵. 注 矩阵的相似关系是同阶方阵间的一种关系.,3 方阵相似于对角矩阵的条件,相似矩阵具有基本性质 证,(反身性),(对称性),(传递性),3 方阵相似于对角矩阵的条件,性质1 若AB，则R(A)=R(B). 证 若AB，则存在可逆矩阵P，使 根据第三章推论3.2知R(A)=R(P-1AP)=R(B). 性质2 若AB，则A=B. 证 若AB，则存在可逆矩阵P，使 性质3 若AB，则ATBT. 证 若AB，则存在可逆矩阵P，使,3 方阵相似于对角矩阵的条件,性质4 若AB且A可逆，则B可逆且A-1B-1. 证若AB且A可逆，则由性质2知B=A 0， 所有B可逆； AB，则存在可逆矩阵P，使 #,3 方阵相似于对角矩阵的条件,性质5 若AB,则对任意多项式(x)有(A)(B) 证 若AB，则存在可逆矩阵P，使,3 方阵相似于对角矩阵的条件,性质6 若AB，则A与B有相同的特征多项式， 从而有相同的特征值，trA=trB. 证 从而A与B有相同的特征值，trA=trB. # 注：性质6的逆不成立。,3 方阵相似于对角矩阵的条件,2.方阵的相似对角化 所谓方阵的相似对角化，指 求一个相似变换矩阵P，使P -1AP =对角阵. 能与对角矩阵相似的方阵称为可对角化。 问题：方阵的对角化有何意义？ 方阵A在何条件下可对角化？ 如何将方阵的对角化？ 首先，若P -1AP=(对角阵)，则An=PnP -1, 易求得An。 下面讨论后两个问题。,3 方阵相似于对角矩阵的条件,定理3.1 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充分必 要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证(必要性) 设n阶矩阵A能与对角矩阵相似，则 存在可逆矩阵P，使P-1AP=，即AP=P，,3 方阵相似于对角矩阵的条件,(充分性) 注：上述证明过程可见将方阵A对角化的方法.,3 方阵相似于对角矩阵的条件,将方阵A对角化的方法 求A的特征值：1, 2, ,n, 求A的对应于1, 2, ,n的线性无关的特征向量1, 2, ,n, 设P=(1, 2, ,n)，则,3 方阵相似于对角矩阵的条件,例3.1 已知 解,3 方阵相似于对角矩阵的条件,令 问题 任意求得的特征向量都线性无关吗？ 任意n阶方阵都有n个线性无关的特征向量吗？,3 方阵相似于对角矩阵的条件,定理3.2 设i是A的ni重特征根，那么A对应于i 的特征向量中，线性无关的特征向量最多有ni个. (证:略) 定理3.3 设1,2,s是n阶方阵A的互异特征值， (证:略),3 方阵相似于对角矩阵的条件,注: 设1,2,s是n阶方阵A的全部互异特征值， i是A的ns重特征根(ni称为的代数重数)(i=,2,s), n1+n2+ns=n，A的对应于i的特征向量的极大线 性无关组(即方程组(iE-A)x=0的基础解系)为 则 是A的全部特征向量的一个极大无关组，称为A的 一个特征向量系，其向量个数p= p1+p2+ps n, 当p=n时， A的特征向量系是完全的，否则是不 完全的。A可相似对角化 p=n.即,(pi称为i的几何重数),3 方阵相似于对角矩阵的条件,定理4 数域P上n阶方阵A可与对角阵相似 A在P上有n个特征值（重根按重数计算）； A在P上的每一个特征值的几何重数等于的 代数重数。 推论1 若n级方阵A有n个互异的特征值，则A可 与对角阵相似. (其逆不成立) (定理3.4) 推论2 若n级方阵A的特征多项式在复数域C上 无重根，则A在C上可与对角阵相似.(其逆不成立),3 方阵相似于对角矩阵的条件,本节学习要求 理解相似矩阵的概念，熟悉相似矩阵的性质， 熟悉方阵的相似对角化的条件，会将方阵相似对角化。 会用相似矩阵的性质解决有关的问题。 作业：习题5.3(A) 第2,4,6题,4 正交矩阵,本节教学内容 1.实向量的内积与长度 2.正交向量组 3.正交矩阵与正交变换 4.共轭矩阵 *5.H-矩阵与酉矩阵,4 正交矩阵,1.实向量的内积与长度 定义4.1设=(a1,a2,an)T, =(b1,b2,bn)TRn, ,的内积：(,)= T =a1b1+a2b2+anbn 若,为n维行向量，则(,)= T 性质 设, Rn，kR ，则 (,)=(,) (k,)=k(,) (+,) =(,)+(,), (,)0, (,)=0 =0,4 正交矩阵,定义4.2 =(a1,a2,an)T(Rn) 的长度(范数)： 性质 设, Rn，kR ，则 0, =0 =0 k=k + + (三角不等式) 定义 若=1, 称为单位向量。 性质 若0，则记 由(0)得到e，称将单位化.,是与同向的单位向量,4 正交矩阵,例1 设=(1,1,1,-1)T, =(1,-1,1,1)T，则 (,)=- =- e=-,0,2,4 正交矩阵,2.正交向量组 定义4.3 若(,)=0, 则称与正交(或垂直). 注：任意实向量都与零向量正交. 定义4.4 如果一组非零向量两两正交，则称这组 向量为正交向量组，简称正交组. 例2 问1=(1,0,1)T,2=(1,0,-1)T,3=(0,1,0)T是不是 正交组？ 答：是.,4 正交矩阵,定理4.5 正交向量组必是线性无关组. 证 注：定理的逆不成立。,4 正交矩阵,定义4.5 由单位向量构成的正交向量组称单位正 交向量组，简称单位正交组(或标准正交组，规范 正交组). 特征： 特例： 问题：,4 正交矩阵,Schmide单位正交化方法 正交化： 单位化：,4 正交矩阵,例4.3 将下列向量组单位正交化 解正交化,4 正交矩阵,单位化,4 正交矩阵,3.正交矩阵与正交变换 定义4.6如果n阶实方阵A的列向量组是单位正交 向量组，则称A为正交矩阵. 定理4.2 n阶实矩阵A为正交矩阵 ATA=E. 证,4 正交矩阵,推论4.1 n阶实矩阵A为正交矩阵 A-1=AT. 性质1 A为正交矩阵 -A为正交矩阵 性质2 A为正交矩阵 AT(=A-1)为正交矩阵 性质3 A,B为同阶正交矩阵 AB为正交矩阵 性质4 A为正交矩阵 A=1或A=-1(逆不成立) 注：上述性质根据定理4.2易证成立。 定义4.7 对n阶实矩阵A作相似变换Q-1AQ，若Q 为正交矩阵，则变换Q-1AQ称为对A的正交变换. 注：正交变换Q-1AQ可表示为QTAQ.,4 正交矩阵,4.共轭矩阵 定义4.8 称为A的共轭矩阵， 性质1 性质3 性质4 性质6 性质7 注性质1-6依共轭复数性质可证,性质4推出性质7.,性质2,性质5,4 正交矩阵,本节学习要求 1.理解实向量的内积与长度、正交向量组、正交矩阵与正交变换和共轭矩阵等概念； 2. 熟悉向量的内积与长度、正交矩阵和共轭矩阵的性质，掌握其证明方法； 3. 掌握Schmide单位正交化方法。 作业：习题5.4(A) 第5,8,9题,5 实对称矩阵的相似对角化,本节教学内容 1.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 2.用正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化,5 实对称矩阵的相似对角化,1.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 定理5.1 实对称矩阵的所有特征值都是实数. 证 设是实对称矩阵A的特征值，是A的对应于 的特征向量，即A=,5 实对称矩阵的相似对角化,推论 实对称矩阵A的特征向量是实向量。 证 因实对称矩阵A的对应于特征值的特征向量 是实齐次线性方程组的解向量，在实数范围内求 解，其解是实向量。,5 实对称矩阵的相似对角化,定理5.2 实对称矩阵对应于不同的特征值的特征 向量正交. 证 设1,2是实对称矩阵A的不同特征值， i是 A的对应于 i的特征向量，即A i =i，i =1,2， 则,5 实对称矩阵的相似对角化,2.用正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化 定理3 对于n阶实对称矩阵A,必有正交矩阵Q，使 注：定理的证明课外阅读.,5 实对称矩阵的相似对角化,用正交变换对实对称矩阵A相似对角化的方法 求A的特征值：1, 2, ,n, 求A的对应于1, 2, ,n的线性无关的特征 向量1, 2, ,n, 正交单位化1, 2, ,n, 得单位正交向量组 1, 2, ,n, 设Q=(1, 2, ,n)， 则Q