2004普通高等学校招生全国统一考试天津卷理科数学试题及答案

2004年普通高等学校招生天津卷理工类数学试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第一卷1至2页，第二卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第一卷（选择题 共60分）注意事项： 1. 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么柱体（棱柱、圆柱）的体积公式其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. i是虚数单位，= A. B. C. D. 2. 不等式的解集为A. B. C. D. 3. 若平面向量与向量的夹角是，且，则A. B. C. D. 4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 A. 1或5B. 6C. 7D. 95. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a= A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于A. B. C. D. 7. 若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是A. B. C. D. 8. 已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数为增函数的区间是 A. B. C. D. 10. 如图，在长方体中，AB=6，AD=4，分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，若，则截面 的面积为A. B. C. D. 1611. 函数（）的反函数是A. B. C. D. 12. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为A. B. C. D. 2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第二卷（非选择题 共90分）注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚题号二三总分171819202122得分二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件那么此样本的容量n= 14. 如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 15. 若，则 （用数字作答）16. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个（用数字作答）三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分） 已知，（1）求的值；（2）求的值18. （本小题满分12分） 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数 （1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F （1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小20. （本小题满分12分） 已知函数在处取得极值 （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程21. （本小题满分12分） 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件： ，其中a为常数，k为非零常数（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求22. （本小题满分14分） 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明2004年普通高等学校招生天津卷理工类数学参考解答一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分15 DAACA 610 BABCC 1112 DD二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13. 8014. 15. 200416. 300三. 解答题：17. 本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分 （1）解： 由，有 解得（2）解法一：解法二：由（1），得 于是，代入得18. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分 （1）解：可能取的值为0，1，2 所以，的分布列为012P（2）解：由（1），的数学期望为（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为19. 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，PA / EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA / 平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且底面ABCD，PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， 同样由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而平面PDC， 由和推得平面PBC而平面PBC，又且，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知，故是二面角CPBD的平面角由（2）知，设正方形ABCD的边长为a，则， 在中，在中，所以，二面角CPBD的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且，这表明PA/EG而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB（2）证明；依题意得，又，故由已知，且，所以平面EFD（3）解：设点F的坐标为，则从而所以由条件知，即，解得点F的坐标为，且，即，故是二面角CPBD的平面角，且，所以，二面角CPBD的大小为20. 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力满分12分 （1）解：，依题意，即 解得 令，得若，则，故在上是增函数，在上是增函数若，则，故在上是减函数所以，是极大值；是极小值（2）解：曲线方程为，点不在曲线上设切点为，则点M的坐标满足因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得所以，切点为，切线方程为21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分 （1）证明：由，可得 由数学归纳法可证 由题设条件，当时 因此，数列是一个公比为k的等比数列（2）解：由（1）知，当时，当时， 而 所以，当时 上式对也成立所以，数列的通项公式为当时 上式对也成立，所以，数列的通项公式为 ，（2）解：当时22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线