高考数学第十一篇复数、算法、推理与证明（选修1_2）第4节直接证明与间接证明习题.docx

第4节直接证明与间接证明【选题明细表】知识点、方法题号综合法1,6,10,11分析法3,4,8,12反证法2,5,7,9,13基础巩固(时间:30分钟)1.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是(A)(A)abc (B)bca(C)cab (D)acb解析:因为a=-=,b=-=,c=-=,且+0,所以abc.故选A.2.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60”时,应假设(B)(A)三个内角都不大于60(B)三个内角都大于60(C)三个内角至多有一个大于60(D)三个内角至多有两个大于603.已知ab0,证明-可选择的方法,以下最合理的是(B)(A)综合法 (B)分析法 (C)类比法 (D)归纳法解析:首先,排除C,D.然后,比较综合法、分析法.我们选择分析法,欲证-,只需证+,即证ab+(a-b)+2,只需证0bc,且a+b+c=0,求证0 (B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0 (D)(a-b)(a-c)0解析:由题意知ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.5.已知p3+q3=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2;已知a,bR,|a|+|b|2,所以不正确;对于,其假设正确.6.(2017山东青岛模拟)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(D)(A)都大于2(B)都小于2(C)至少有一个不大于2(D)至少有一个不小于2解析:因为a0,b0,c0,所以(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.选D.7.用反证法证明命题“a,bR,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是 .答案:a,b都不能被5整除8.+与2+的大小关系为 .解析:要比较+与2+的大小,只需比较(+)2与(2+)2的大小,只需比较6+7+2与8+5+4的大小,只需比较与2的大小,只需比较42与40的大小,因为4240,所以+2+.答案:+2+能力提升(时间:15分钟)9.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(C)(A)(B)(C) (D)解析:若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.选C.10.已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)ABC (B)ACB(C)BCA (D)CBA解析:因为,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()f()f().所以ABC.11.如果a+ba+b,则a,b应满足的条件是.解析:因为a+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)=(-)(a-b)=(-)2(+).所以当a0,b0且ab时,(-)2(+)0.所以a+ba+b成立的条件是a0,b0且ab.答案:a0,b0且ab12.已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:+=.证明:要证+=,即证+=3也就是+=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需证c2+a2=ac+b2,又ABC三个内角A,B,C成等差数列,故B=60,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.13.设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列Sn不是等比数列;(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?(1)证明:假设数列Sn是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1a1(1+q+q2),因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q0矛盾,所以数列Sn不是等比数列.(2)解:当q=1时,Sn=na1,故Sn是等差数列;当q1时,S