函数的极值与导数-1.ppt

1.3.2 函数的极值与导数,【复习】已知函数 f(x)=2x3 - 6x2 + 7, 求f(x)的单调区间,并画出其大致图象;,【思考】函数 f(x)在 x0 和 x2 处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,一、复习与引入:,用“导数法”求函数的单调性及单调区间的步骤：,极大值,极小值,二、新课函数的极值:,一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 1.如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值; 2.如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值. 极大值与极小值统称极值.,在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值x0,极值指的是对应的函数值f(x0).,y,x,x0,f(x),f(x0),x0,f(x0),(1)一个函数的极大值在函数的整个定义域内最大. （ ）,考考你的判断力：,(2)函数的极值是唯一的. （ ）,(3)函数的极大值一定大于极小值. （ ）,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. （ ）,如图，函数 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？,探索思考：,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？,左正右负为极大，左负右正为极小,函数的极值与导数:,探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点,x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0,注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,探索,A,注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别,尝试高考,三、例题选讲:,例1:求y=x3/3-4x+4的极值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.,+,0,28/3,0,-4/3,+,求函数f(x)的极值的步骤如下:,(2).求导数,(3).求方程 的根.,(4)检查 在方程根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.,方法小结：,(1).确定函数的定义域；,强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)=0左右侧导数的符号.,(最好通过列表法),练习,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a; 当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,例2:求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,a=2.,例3:函数 在 处具有极值，求a的值,分析：f(x)在 处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知， 可求出a的值.,解：, ， ,例4:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处 有极值，求a、b的值,解：,因为在x=1和x=2处,导数为0,练习1:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3; 而,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3.,练习2 :已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k-1成立的充要条件 .,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.,由于当x0时, 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10对一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,解法2:分离变量也可通过函数值域求出a的范围.,(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即2ax3x2-1恒成立，显然当x=0时，不等式恒成立 当 时，不等式化为 令,反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,练习3:下列函数中，x=0是极值点的函数 是( ) A.y=x3 B.y=x2 C.y=x2x D.y=1/x,分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。,B,练习4 :下列说法正确的是( ) A.函数在闭区间上的极大值一定比 极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值 C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p| ， 则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最