高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程一学案含解析新人教A版选修1.docx

2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程(一)学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆梳理(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|MF2|2a(常数)且2a|F1F2|.知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？答案不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b21到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()2椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关()3椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.()类型一椭圆的标准方程命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；(2)经过点(3，)，且与椭圆1有共同的焦点考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解(1)方法一当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，点A(0,2)，B在椭圆上，解得这与ab相矛盾，故应舍去当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，点A(0,2)，B在椭圆上，解得椭圆的标准方程为x21，综上可知，椭圆的标准方程为x21.方法二设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn)点A(0,2)，B在椭圆上，故椭圆的标准方程为x21.(2)方法一椭圆1的焦点为(4,0)和(4,0)，可设椭圆的方程为1(ab0)由椭圆的定义可得2a，2a12，即a6.c4，b2a2c2624220，椭圆的标准方程为1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为1(9)，将x3，y代入上面的椭圆方程，得1，解得11或21(舍去)，椭圆的标准方程为1.反思与感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程(2)待定系数法先确定焦点位置；设出方程；寻求a，b，c的等量关系；求a，b的值，代入所设方程特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(2，1)，Q(，2)考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解(1)椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知，2a2，即a.又c2，b2a2c26.所求椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所求椭圆的标准方程为x21.(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，代入得所求椭圆的标准方程为1.命题角度2由标准方程求参数(或其取值范围)例2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案(0,1)解析方程1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为1，有解得0m1.反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式；(2)1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是跟踪训练2(1)已知方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为_考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案(7,10)解析化成椭圆标准形式得1，根据其表示焦点在x轴上的椭圆，得解得7k且m1.1平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、选择题1设椭圆1(m1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m等于()A6B3C2D4考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案C解析m2m21，椭圆焦点在x轴上，am，则2m314，m2.2设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案B解析由椭圆定义知|PF1|PF2|2a8，不妨设|PF1|PF2|，|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，PF1F2为直角三角形3已知椭圆5x2ky25的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为()A1B1C.D考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案A解析原方程可化简为x21，由c214，得k1.4椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2B8C4D.考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案C解析如图，F2为椭圆右焦点，连接MF2，则ON是F1MF2的中位线，|ON|MF2|，又|MF1|2，|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4.5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1或1C.1D.1或1考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程答案B解析由已知2c|F1F2|2，所以c.因为2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，所以a2，所以b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.6曲线1与1(0k9)的关系是()A有相等的焦距，相同的焦点B有相等的焦距，不同的焦点C有不等的焦距，不同的焦点D以上都不对考点椭圆的标准方程题点由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案B解析曲线1焦点在x轴上对于曲线1，0k9k0，焦点在y轴上，故两者的焦点不同259(25k)(9k)16c2，2c8，故两者焦距相等故选B.7方程1表示椭圆的必要不充分条件是()Am(1,2)Bm(4,2)Cm(4，1)(1,2)Dm(1，)考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案B解析方程1表示椭圆的充要条件是即m(4，1)(1,2)由题意可得，所求m的取值范围包含集合(4，1)(1,2)观察选项，故选B.8已知椭圆y21的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到x轴的距离为()A.B.C.D.考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案C解析0，由|MF1|MF2|4，又|MF1|2|MF2|2(2)212，由与可得，|MF1|MF2|2，设M到x轴的距离为h，则|MF1|MF2|F1F2|h，h.9已知椭圆1的左焦点为F，一动直线与椭圆交于M，N两点，则FMN的周长的最大值为()A16B20C32D40考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案D解析设右焦点为A，一动直线与椭圆交于M，N两点，则FMN的周长l|MN|MF|NF|MN|2a|MA|2a|NA|4a(|MN|MA|NA|)，由于|MA|NA|MN|，所以当M，A，N三点共线时，FMN的周长取得最大值4a40.二、填空题10椭圆1的焦距是2，则m的值是_考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案3或5解析当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1.m41，m5.当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1，m3，m3或5.11已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程答案1解析方法一依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.方法二依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，则解得b212或b23(舍去)，从而a216.所以椭圆C的标准方程为1.12已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案3解析由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.又，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，即4c22|PF1|PF2|4a2，|PF1|PF2|2b2，|PF1|PF2|2b2b29，又b0，b3.三、解答题13求过点(0,4)且与椭圆9x24y236有相同焦点的椭圆的方程考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解由9x24y236，得1，则c，焦点在y轴上，设所求椭圆方程为1，则a4，b2a2c211，所求椭圆方程为1.四、探究与拓展14已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解方法一设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得所以b2a2c212.于是所求椭圆的标准方程为1或1.方法二设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a|PF1|PF2|358，所以a4.在方程1中，令xc，得|y|；在方程1中，令yc，得|x|.依题意有3，得b212.于是所求椭圆的标准方程为1或1.15已知椭圆1(ab