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微分几何教案（四） 3.4 曲线的弧长，自然参数四 曲线的弧长 自然参数 设曲线的矢量式参数方程为，如果把曲线看作质点运动的轨迹，那么由物理学知，表示质点运动在t时刻的速度值。因此质点在时间间隔内所经过的路程为。自然我们也可以用它作为曲线介于间的长度，即质点走过的路程。1 曲线弧长的计算公式结论 类曲线从的弧长是证明 （略）注：弧长是曲线本身的一个几何量，所以它不受曲线的表达式（或方程）的影响。详细地说，若曲线采用另一参数，它们所确定的弧长应该是一致的。事实上，设，则，并设。将其带入则得 。因此这证明曲线的弧长与参数的选择无关。所以，在理论问题中，我们经常用弧长作为曲线的参数。2 自然参数 定义一新函数：，这里t可以大于、可以小于a，因此s(t) 也可能是负值。 s(t)的性质：，所以s(t)是t的增函数；于是存在t = t (s) ,故可表示为 自然参数：我们称S为曲线的自然参数。 结论：曲线关于自然参数的导矢的模。证注：其实该结论的逆也成立，即有下面的命题命题：若曲线的方程为，则t为弧长参数的充要条件是它的切向量满足。证明：只须征“”：若，则所以,(注：因为)。于是.其中为常数。可见t可以看作有某点起计算的曲线的弧长。 为区别起见，对自然参数的微商用“”表示，即。 用自然参数的好处：自然参数实际是用弧长作参数，而弧长是曲线（对于刚体的运动）的不变量,而且用它做参数,许多公式都大大简化,且容易得出其它不变量.例1 求双曲螺线=acht,asht,at从t=0起计算的弧长.例2求圆锥螺线的自然参数表示.解：（略）说明 不是任何曲线可求弧长的。例如，其中。（王申怀编微分几何39页例8）。一般的有结论：曲线可求长x=x(t),y=y(t)都是连续有界变差函数。理论上讲每条正则曲线总可以用弧长来作为它的参数，但实际上计算是有困难的。第一，可能不是初等函数，例如= acost,bsint,0（即椭圆的参数方程），一般不能用初等函数表示，因此无法把它改写成用弧长s表示；第二，即使s(t) 已求出，但也可能求不出它的反函
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