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1991年量子力学考研试题一. （见1997年第二题）证明：（1） 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易； （2） 在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性为最小。 证明：（1） 设算符与角动量算符及皆对易，即 则 同理可知，若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易；若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易，于是，问题得证。 （2）在与的共同本征态下，与的平均值为 由升降算符的修正可知 于是有 同理可证，算符在下的平均值也未零。在态上， 同理可得 故有 或者写为 显然，当时，上式取最小值 二. （见2001年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为时，能级是，如果总能量算符变成（为实参数），求粒子能级的严格解。解：视为参变量，则有 利用费曼-海尔曼定理可知 又知 在任何束缚态下，均有 所以， 进而得到能量本征值满足的微分方程 对上式作积分，得到 利用时，定出积分常数 最后，得到的本征值为 三. 一维谐振子的哈密顿算符为 引入无量纲算符， ；（1） 计算，；（2） 将用与表示，并求出全部能级。解： （1）计算对易关系 （2）改写哈密顿算符 而 所以，有 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。对任何态矢，均有 因此， 若是哈密顿算符的本征态，则，即 上式说明能量的下限为。用作用的任意一个本征态上，利用 可知 若，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为。重复这个推理的过程，得到都是哈密顿算符的本征值，由于，本征值不能小于，此数列必须终止于某个最小值，即不再是能量本征值，其条件为 因此， 于是可知相应当能量本征值 类似前面的做法，利用 可知 说明也是能量的本征态，相应的能量本征值为，重复此过程可知，都是能量本征值。最后，得到能量本征值的表达式为 四. 有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场的作用，磁场指向轴电正方向，磁作用为。设时，电子的自旋向上，即，求时的平均值。 解：哈密顿算符可以改写为 其中， 在泡利表象中，设时体系的波函数为 则其应满足 于是有 此即， 上式可以化为 解之得到 利用初始条件 ；可知 于是， 时的波函数为 而 五.（第一问见1998年第五题）有一量子体系由哈密顿量描述，其中，可视为微扰，是厄米特算符，且有。 （1）若算符在的非简并基态上的平均值已知，且分别记为，求在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到量级。（2） 将上述结果用在如下三维问题上， 计算在微扰后非简并基态上的平均值，准确到量级。解： （1）设满足 则哈密顿算符的基态波函数的一级近似为 利用归一化条件 若准确到量级，则一级近似波函数已经归一化。在
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