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第五章 矩阵的相似变换5.1 矩阵的特征值与特征向量 定义： 对于阶方阵, 若有数和向量满足, 称为的 特征值, 称为的属于特征值的特征向量 特征方程： 或者 有非零解 特征矩阵： 或者 特征多项式： 例1 求 的特征值与特征向量 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , , （不同时为0） 例2 求 的特征值与特征向量 解 求的特征向量： , 求的特征向量： , 注 在例1中, 对应2重特征值有两个线性无关的特征向量； 在例2中, 对应2重特征值只有一个线性无关的特征向量 一般结论：对应重特征值的线性无关的特征向量的个数 定理1 设的特征值, , 则 (1) ； (2) 证 由特征值的定义可得 其中都是次数不超过的多项式由题设, 又有 比较多项式同次幂的系数可得 推论 0是的特征值 一元多项式： 矩阵多项式： 定理2 设, 则 (1) ； (2) 证 (1) 因为 （） 所以 (2) 注 一般结论：若的全体特征值为,则的全体特征值 为 例3 设的特征值为, 求 解 设, 则的特征值为 故 定理3 设的互异特征值为, 对应的特征向量依次为 , 则向量组线性无关 证 采用数学归纳法 时, 线性无关 设时, 线性无关, 下面证明线性无关 设数组使得 左乘, 利用可得 ： 因为线性无关（归纳法假设）, 所以 代入可得 故线性无关 根据归纳法原理, 对于任意正整数, 结论成立 定理4 设的互异特征值为, 重数依次为, 对应的线性无关的特征向量为, 则向量组线性无关（自证）5.2 相似对角化 1相似矩阵：对于阶方阵和, 若有可逆矩阵使得, 称相似于, 记作 (1) ： (2) ： (3) 性质1 性质2 可逆, 可逆, 且 性质3 （为正整数） 性质4 为多项式, 性质5 与的特征值相同 证 由可得 2相似对角化：若方阵能够与一个对角矩阵相似, 称可对角化 定理5 阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量证 必要性设可逆矩阵使得 即划分, 则有 因为为可逆矩阵, 所以它的列向量组线性无关上式表明：是的个线性无关的特征向量 充分性设线性无关, 且满足, 则为可逆矩阵, 且有 即 注 的主对角元素为的特征值 推论1 有个互异特征值可对角化 推论2 设的全体互异特征值为, 重数依次为, 则可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值,有个线性 无关的特征向量 例4 判断下列矩阵可否对角化： (1), (2), (3) 解 (1) 有3个互异特征值 可对角化 对应于的特征向量依次为 , , 构造矩阵 , 则有 (2) 例1求得有3个线性无关的特征向量 可对角化 对应于的特征向量依次为 , , 构造矩阵 , 则有 (3) , 例2求得,
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