逻辑代数基础-数字电子技术基础.ppt

数字电子技术基础,信息科学与工程学院基础电子,第一章 逻辑代数基础,内容提要,本章介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法。 首先介绍了数制和码制的概念、逻辑代数的三种基本运算、逻辑代数的常用公式和重要定理，然后讲述逻辑函数及其表示方法，最后重点介绍如何应用这些公式和定理化简逻辑函数。,1.1 概述 1.2 逻辑代数的基本运算 1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 1.4 逻辑代数的基本定理 1.5 逻辑函数及其表示方法 1.6 逻辑代数的公式化简法 1.7 逻辑代数的卡诺图化简法 1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简,第一章 逻辑代数基础,1.1.1 数字信号和模拟信号,随时间连续变化的信号,时间和幅度都是离散的, 1.1 概述,模拟信号：,u,正弦波信号,u,研究模拟信号时，我们注重电路输入、输出信号间的大小、相位关系。相应的电子电路就是模拟电路，包括交直流放大器、滤波器、信号发生器等。,在模拟电路中，晶体管一般工作在放大状态。,数字信号：,数字信号,产品数量的统计。,数字表盘的读数。,数字电路信号：,研究数字电路时注重电路输出、输入间的逻辑关系，因此不能采用模拟电路的分析方法。主要的分析工具是逻辑代数，电路的功能用真值表、逻辑表达式或波形图表示。,在数字电路中，晶体管工作在开关状态下，即工作在饱和状态或截止状态。,1.1.2 数制,（1）十进制：,以十为基数的记数体制,表示数的十个数码：,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,遵循逢十进一的规律,143.75,=,- 数的构成以及进位规则,一个十进制数数 N可以表示成：,若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电路状态与十个记数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济。,表示方法： 123.4D 或 （123.4）10,（2）二进制：,以二为基数的记数体制,表示数的两个数码：,0, 1,遵循逢二进一的规律,（1001) B =,= ( 9 ) 10,= ( 1001 ) 2,如 1 + 1 = 10,优缺点,用电路的两个状态-开关来表示二进制数，易于物理实现；操作简单，运算方便；可靠性高，抗干扰能力强；逻辑设计方便。,位数较多，不好读、不易记，使用不便。,（3）十六进制：,十六进制记数码：,0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15),以十六为基数的记数体制,遵循逢十六进一的规律,如 F + 1 = 10,表示方法： 2A.FFH 或 （2A.FF）16,(4E6)H =,4162+14 161+6 160,= ( 1254 ) D,（4）数制转换,（a）二进制与十进制之间的转换：,= ( 9 ) D,例：( 1001 ) 2 =,转换方法：按权(或多项式)展开相加,= ( 13.25 ) 10,例：( 1101.01 ) 2,= ( 101 ) D,例：( 145 ) 8 =,整数部分除以2，余数是二进制数的K0 ，然后依次用2除所得的商，余数依次是K1、K2、 、Kn 。转换结果为（ K n、Kn-1 K0 ）2 。 小数部分乘以2，整数是二进制数的K-1 ，然后依次用2乘所得的积，整数依次是K-2、K-3、 K-m 。转换结果为（ K -1K-2 K-m ）2 。,（b）十进制与二进制之间的转换：,转换过程：,(25)D=( )B,例：,11001,(0.125)D=( )B,例：,0.001,(0.654)D=( )B,例：,0.101001,(125)D=( ) 7,例：,236,（c）二进制与十六进制之间的转换：,(0101 1001)B=,027+1 26+0 25+1 24 +1 23+0 22+0 21+1 20B,=,(023+1 22+0 21+1 20) 161 +(1 23+0 22+0 21+1 20) 160B,= ( 59 ) H,每四位2进制数对应一位16进制数,(100111001011.01001000)B= ( ) H,从小数点左右开始 四位一组,(1001 1100 1011 . 0100 1000)B =,9CB.48,例：,（d）十六进制与二进制之间的转换：,0 0000 1 0001 2 0010 3 0011,十六进制 二进制,4 0100 5 0101 6 0110 7 0111,十六进制 二进制,8 1000 9 1001 A 1010 B 1011,十六进制 二进制,(A59.3F)H= ( ) B,( A 5 9 . 3 F )H =,101001011011.00111111,例：,十六-二进制对照表,按权展开法,二十转换,整数除2取余倒序法 小数乘2取整顺序法,十二转换,小数点左、右四位一组分组，取每一组等值的十六进制数 ,二十六转换,每一位十六进制数用相应的四位二进制数代替,十六二转换,用四位二进制数表示09十个数码，即为BCD（Binary-Coded-Decimal）码 。四位二进制数最多可以有16种不同组合，不同的组合便形成了一种编码。主要有： 8421码、 5211码、2421码、余3码等。,1.1.3 码制,只代表不同事物的代号而不表示数值大小的数码称为代码。,为了便于记忆和处理，编制代码是遵循的规则称为码制。,二进制数,自然码,8421码,2421码,5211码,余三码,恒权代码,在BCD码中，十进制数 (N)D 与二进制编码 (K3K2K1K0)B 的关系可以表示为：,(N)D= W3K3 +W2K2+W1K1+W0K0,W3W0为二进制各位的权重,所谓的8421码，就是指各位的权重是8, 4, 2, 1。,十进,制数,编码,种类,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,8421码,余3码,2421码,5211码,余3循环码,0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001,0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100,0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111,0000 0001 0100 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111,0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010,权,1.1.4 二进制的算术运算,二进制的算术运算和十进制算术运算基本相同，只是进位方式改为“逢二进一”和“借一当二”。,1、原码,在数字电路和计算机系统中，二进制数的正、负用0、1表示，称为原码或机器码。,+1011 原=, - 1011原=,01011,11011,2、补码,在数字电路和计算机系统中，为了简化运算电路，引入了补码的概念： 最高位为符号位，正数为0、负数为1。 正数的补码和原码相同； 负数的补码可通过将原码的数值位逐位取反，然后最低位加1得到。, - 1011 补=,+1011 补=,数值位取反,0100,最低位加1,10101,01011,【练习题】,6D,109,111101.1011111,61.7421875,1111111,7F,100110,111010,小结,基本要求： 了解数字电路的优点； 掌握数制转换方法； 掌握8421BCD码的构成； 4. 掌握原码、补码的概念。,作业： P38 思考题和习题 1-1、1-2、1-3、1-4各题中的（1）（3）小题, 1.1 概述,1.1.1模拟信号和数字信号, 1.1 概述,1.1.1模拟信号和数字信号,1.1.2 数制,数的构成以及进位规则,（1）十进制：,以十为基数的记数体制(D),（2）二进制：,以二为基数的记数体制(B),（3）十六进制：,以十六为基数的记数体制(H),二十,按权展开相加法,十二,整数部分除2取余倒序法 小数部分乘2取整顺序法,二十六,小数点左、右四位一组分组，取每一组等值的十六进制数,十六二,每一位十六进制数用相应的四位二进制数代替,1.1.3 码制,1、原码,在数字电路和计算机系统中，二进制数的正、负用0、1表示，称为原码或机器码。,2、补码,在数字电路和计算机系统中，为了简化运算电路，引入了补码的概念： 最高位为符号位，正数为0、负数为1。 正数的补码和原码相同； 负数的补码可通过将原码的数值位逐位取反，然后最低位加1得到。,1.2 逻辑代数的基本运算,在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。,在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义，这里的0和1只表示两个对立的逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。,1 “与”逻辑,A、B条件都具备时，事件Y才发生。,1.2.1 三种基本运算,-与、或、非,灭,灭,灭,亮,1.2 逻辑代数的基本运算,逻辑代数的描述方法,真值表,用0表示开关断开、1表示开关闭合 用0表示灯灭、1表示灯亮,逻辑代数的描述方法,逻辑式,逻辑符号,真值表,Y=AB或AB,0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1,有0出0，全1出1。,2 “或”逻辑,A、B只有一个条件具备时，事件Y才发生。,灭,亮,亮,亮,逻辑代数的描述方法,逻辑式,逻辑符号,真值表,Y=A + B,0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1,有1出1，全0出0。,3 “非”逻辑,逻辑式,真值表,逻辑符号,有1出0，全0出1。,A条件具备时 ，事件 Y不发生；A不具备时，事件Y才发生。,1.2.2 几种常用的逻辑运算,“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑运算，任何其它的逻辑运算都可以以它们为基础表示。,与非逻辑,与非：条件A、B都具备，则Y不发生。,或非逻辑,条件A、B任一具备，则Y不 发生。,与或非逻辑,当A，B不同时输出Y为1；而A，B相同时输出Y为0，即“相异为1，相同为0”。,异或逻辑：,当A，B相同时输出Y为1；当A，B不同时输出Y为0 ，即“相异为0，相同为1” 。,同或逻辑, 1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,逻辑代数的基本公式见下表,1.3.1 逻辑代数的基本公式,摩根定理,可以用列真值表的方法证明：,【例1】用列真值表的方法证明：,【例2】用列真值表的方法证明：,1,0,1,1,0,1,常用异或和同或运算公式,此外，,(A的个数为偶数),(A的个数为奇数),1.3.2 逻辑代数的常用公式,（1）A+AB=A,证明：,利用运算规则可以对逻辑式进行化简。,例如：,A+A B,=A (1+B),=A 1,=A,在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。,证明：,例如：,两个乘积相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。, 也可利用基本公式：A+BC=(A+B)(A+C)证明 ,证明：, 1.4 逻辑代数的基本定理,1.4.1 代入定理,任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。,例如，已知 (反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即,1.4.2 反演定理,注意以下两条规则：,需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。,不属于单个变量上的反号应保留不变。,【例】 Y= (A + B ) C,【例】 Y= A (B + C) + CD,注意：加括号的目的是保证优先级。,【例】,1.4.3 对偶定理,对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，则得到的一个新逻辑式Y，这个就是Y的对偶式。,【例】,对偶定理： 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,小结,基本要求： 掌握三种基本逻辑运算的概念和逻辑符号、图形符号； 掌握同或和异或的概念和符号； 熟练掌握逻辑代数的一些常用公式，要求会灵活运用； 掌握真值表法证明函数式的方法； 了解逻辑代数的3个定理，会用定理求反函数及对偶式。,1.2逻辑代数的基本运算,1.2.1 三种基本运算,-与、或、非,1.2逻辑代数的基本运算,1.2.1 三种基本运算,-与、或、非,1.2.2 几种常用的逻辑运算,1.3逻辑代数的基本公式和常用公式,1.2逻辑代数的基本运算,1.2.1 三种基本运算,-与、或、非,1.2.2 几种常用的逻辑运算,常用异或和同或运算公式,此外，,(A的个数为偶数),(A的个数为奇数),1.3.2 逻辑代数的常用公式, 1.4 逻辑代数的基本定理,一、 代入定理,任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。,二、 反演定理,注意以下两条规则：,需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。,不属于单个变量上的反号应保留不变。,三、 对偶定理,对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，则得到的一个新逻辑式Y，这个就是Y的对偶式。,对偶定理： 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,1.5 逻辑函数及其表示方法,1.5.1 逻辑函数,任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。,以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入输出间的关系称为逻辑函数。,1.5.2 逻辑函数的表示方法,一、 逻辑真值表,真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,优缺点,直观明廖。输入确定后，可从真值表直接查到对应输出，集成电路（IC）手册常用它描述器件的逻辑功能。,能方便得将实际问题抽象为数学问题。,不适用于变量较多的情况。,请注意,n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,二、 逻辑函数式,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。,Y = A （B + C）,优缺点,书写简洁、方便；,便于用逻辑图实现。,不如真值表直观。,便于利用公式定理进行运算、变换；,三、 逻辑图,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。,【例】 Y = A （B + C）,更接近于工程实际，与实际使用的电路器件有明显的对应关系。,逻辑函数的表示方法,逻辑真值表：将输入变量所有的取值下对 应的输出值找出来，列成表格。,逻辑函数式：把输出与输入之间的逻辑 关系写成与，或，非等运算的组合式。,逻辑图：将逻辑函数中各变量之间的与、 或、非等逻辑关系用图形符号表示出来。,四、各种表示方法间的互相转换,1. 从真值表写出逻辑函数式,这种方法一般分为下面三步：,首先，找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变 量取值组合；,其次，每组输入变量取值的组合对应一个乘 积项，其中取值为1的写入原变量，取 值为0的写如反变量；,最后，将这些乘积项相加，即得到Y的逻辑函 数式。,【例】写出下列真值表对应的函数式。,第一步，找出使输出Y=1的各组合。,第二步，各组合写成乘积项形式。,第三步，各乘积项相加。,2. 从逻辑式列出真值表,将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，列成表。,0,1,0,0,0,1,3. 从逻辑式画出逻辑图,用图形符号代替逻辑式中的运算符号。,将式中所有的与、或、非运算符号用图形符号代替，并依据运算优先顺序将它们连接起来。,解：,4. 从逻辑图写出逻辑式,从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式。,【例】写出右图的逻辑函数式。,先写出符号对应的逻辑式子,各种表示方法间的互相转换,1. 从真值表写出逻辑函数式,各种表示方法间的互相转换,1. 从真值表写出逻辑函数式,2. 从逻辑式列出真值表,将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，列成表。,3. 从逻辑式画出逻辑图,用图形符号代替逻辑式中的运算符号。,4. 从逻辑图写出逻辑式,从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式。,数字电路逻辑图逻辑函数式 真值表分析逻辑功能。,实际问题真值表逻辑函数式 逻辑图设计完成数字电路。,1.5.3 逻辑函数的两种标准形式,一、最小项,n个变量的最小项有多少个？,在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。,例如：3变量A、B、C的最小项包括,2n个。,三变量（A、B、C）最小项的编号表：,0,0,0,0,0 0 1,1,m0,m1, 在输入变量的任何取值下有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。, 全体最小项和为1。, 任意两个最小项的乘积为0。, 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。, 在输入变量的任何取值下有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。 全体最小项和为1。 任意两个最小项的乘积为0。 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。,相邻,相邻,二、最大项,n个变量的最大项有多少个？,在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。,例如：3变量A、B、C的最大项包括,2n个。,三变量（A、B、C）最大项的编号表：,0,0,0,0,M0,相邻, 在输入变量的任何取值下，必有一个 最大项，而且只有一个最大项的值为0。, 全体最大项之积为0。, 任意两个最大项之和为1。, 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项，则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。,三、逻辑函数的两种标准形式,1. 逻辑函数的最小项之和形式标准与或式,例如：,最小项和最大项的关系：,【例1】,【例2】,2. 逻辑函数的最大项之积形式标准或与式,如果已知逻辑函数Y=mi时，定能将Y化成编号i以外的那些最大项的乘积。,【例1】,【例2】,【例3】求最小项,【练习题】分析电路实现的逻辑功能。,【练习题】求最小项和最大项。,小结,基本要求： 了解逻辑函数三种描述方法的特点，掌握他们之间的转换方法； 掌握最小项和最大项的概念； 掌握逻辑函数两种标准形式的求法。,作业： P40 思考题和习题 1-11题中的（1） （3）小题 1-12题中的（1） （3）小题,1.6 逻辑函数的公式法化简,1.6.1 逻辑函数的最简形式,逻辑函数最简，易于用最少的器件实现，又能提高电路的可靠性。,一个逻辑函数的真值表是唯一的，而函数表达式却有很多，常用的有与或、与非与非、或非或非、与或菲等，它们之间可相互转换。,（1）与或式：,（2）与非-与非式：,取两次反,用摩根定理变换,（1）与或式：,（2）与非-与非式：,（3）与或非式：,用摩根定理变换,（4）或非-或非式：,用摩根定理变换,1.6.2 常用化简方法,公式法化简的原理是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余因子，来得到最简函数形式。,逻辑代数的基本公式和常用公式,1. 并项法,利用公式 将两项合并成一项，并消去互补因子。,【例1】,【例2】,2. 吸收法,利用公式A+AB=A消去多余的乘积项。,【例1】,【例2】,3. 消项法,【例1】,【例2】,利用公式 消去多余的乘积项。,4. 消因子法,【例1】,【例2】,利用公式 消去多余的因子。,5. 配项法,【例1】,【例2】,利用公式 和 先配项或添加多余项，然后再逐步化简。,【例1】,反演,【例2】,【 练习题】化简成最简与或式。,小结,基本要求： 1. 掌握逻辑函数常用几种最简形式的转换； 2. 掌握公式法化简的技巧，会用公式法化简逻辑函数。,作业： P39 思考题和习题 1-8题中的 (3) (4) (5) (6) 小题 1-10题中的（2） （3）小题作业： 1-11题中的（1） （3）小题 1-12题中的（1） （3）小题,1.7 逻辑函数的卡诺图化简法,1.7.1 逻辑函数的卡诺图法,一、 表示最小项的卡诺图,将n变量的全部最小项（2n）用小方块表示，并是逻辑相邻的最小项几何位置也相邻，所得到的方格图即为n变量最小项的卡诺图。,三变量ABC的卡诺图：,m1,m0,四变量ABCD的卡诺图：,卡诺图中任何几何位置相邻的两个最小项，在逻辑上都是相邻的。由于变量取值的顺序按格雷码排列，保证了各相邻行(列)之间只有一个变量取值不同，从而保证画出来的最小项方格图具有这一重要特点。, n变量的卡诺图有2n个方格，对应表示2n个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。, 5变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适于表示5变量以下的逻辑函数。,所谓几何相邻，一是相接，即紧挨着； 二是相对，即任意一行或一列的两头。 所谓逻辑相邻，是指除了一个变量不同外其余变量都相同的两个与项。,二、 用卡诺图表示逻辑函数,逻辑函数,最小项和的形式,卡诺图,【例】,1,1,1,1,0,0,0,0,用卡诺图表示逻辑函数，首先将函数式化成最小项和的形式；在函数式中包含的最小项在卡诺图相应的位置添1，其余位置添0。,只要将构成逻辑函数的最大项在卡诺图相应的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是说，任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填0的那些最大项之积。,最大项的卡诺图表示法,必须注意: 在卡诺图中最大项的编号与最小项编号是一致的，但对应输入变量的取值是相反的。,M0,M1,M3,M2,【例】,0,0,0,1.7.2 用卡诺图化简逻辑函数,依据：具有相邻性的最小项可以合 并，消去不同的因子。,在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。,一、合并最小项的规则,1.6 逻辑函数的公式法化简,1.6.1 逻辑函数的最简形式,常见逻辑函数的几种形式,与或式、与非-与非式、与或非式、或非-或非式,与或式,两次取反,与非-与非式,展开,与或非式,摩根定理,或非-或非式,摩根定理,展开,摩根定理展开,1.6 逻辑函数的公式法化简,1.6.1逻辑函数的最简形式,1.6.2常用的化简方法,1. 并项法,利用公式 将两项合并成一项，并消去互补因子。,2. 吸收法,利用公式A+AB=A消去多余的乘积项。,3. 消项法,利用公式 消去多余的乘积项。,4. 消因子法,利用公式 消去多余的因子。,5. 配项法,利用公式 和 先配项或添加多余项，然后再逐步化简。,1.7 逻辑函数的卡诺图化简法,1.7.1 逻辑函数的卡诺图表示法,一、 表示最小项的卡诺图,将n变量的全部最小项（2n）用小方块表示，并使逻辑相邻的最小项几何位置也相邻地排列起来，所得到的图形即为n变量最小项的卡诺图。,三变量ABC的卡诺图：,四变量ABCD的卡诺图：,所谓几何相邻，一是相接，即紧挨着； 二是相对，即任意一行或一列的两头。 所谓逻辑相邻，是指除了一个变量不同外其余变量都相同的两个与项。,二、 用卡诺图表示逻辑函数,逻辑函数,最小项和的形式,卡诺图,用卡诺图表示逻辑函数，首先将函数式化成最小项和的形式；在函数式中包含的最小项在卡诺图相应的位置添1，其余位置添0。,逻辑函数最大项的卡诺图表示法,只要将构成逻辑函数的最大项在卡诺图相应的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是说，任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填0的那些最大项之积。,注意: 在卡诺图中最大项的编号与最小项编号是一致的，但对应输入变量的取值是相反的。,1.7.2 用卡诺图化简逻辑函数,依据：具有相邻性的最小项可以合并，消去不同的因子。,在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。,一、合并最小项的规则,AB,两个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去一个不同的因子。,AD,四个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去两个不同的因子。,八个最小项相邻且组成矩形框，情况怎样？,八个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去三个不同的因子。,二、卡诺图化简的步骤,将函数化成最小项和的形式； 2. 填卡诺图； 3. 合并最小项； 4. 将各乘积项相加，即得到最简与或式。,（1）圈成的矩形框越大越好；,（3）每个矩形框至少包含一个新的最小项；,（4）必须圈完所有最小项；,（5）注意“相接”“相对”都相邻；,（6）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；,（2）各最小项可以重复使用；,（7）尽可能圈大圈，少圈圈；,（8）圈法不惟一，结果可能也不唯一。,合并最小项应注意,1,1,1,【例 1】,第一步，将函数化成最小项和的形式。,第二步，填卡诺图,第三步，合并最小项,第四步，各乘积项相加,1,1,1,1,1,0,0,1,【例 2】,【例 2】,1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,【例 2】,【例 3】化简,Y(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15),【例 4】,【例 4】,【例 5】,0,1,0,0,1,1,1,1,【例 6】求最小项,【例 7】根据卡诺图求最简与或式。,卡诺图中，当0的数量远远小于1的数量时，可采用合并0的方法； 采用合并0的方法可直接写出反函数的最简与或式； 采用合并0的方法可求函数的最大项表达式； 采用合并0的方法可求最简或与式。,任何一个逻辑函数既可以等于其卡诺图上填1的那些最小项之和，也可以等于其卡诺图上填0的那些最大项之积， 因此，如果要求出某函数的最简或与式，可以在该函数的卡诺图上合并那些填0的相邻项。这种方法简称为圈0合并，其化简步骤及化简原则与圈1合并类同，只要按圈逐一写出或项，然后将所得的或项相与即可。但需注意，或项的变量取值为0时写原变量， 取值为1时写反变量。,【例 8】 求函数 Y 的最简或与式。,（1）圈成的矩形框越大越好；,（3）每个矩形框至少包含一个