离散型随机变量及其分概率布律.ppt

2.2 离散型随机变量及其分概率布律,一.离散型随机变量及其概率分布,二.几个常用的离散型分布,三.小结 思考题,离散型随机变量的定义,一.离散型随机变量及其概率分布,如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个，则称 X 为离散型随机变量,离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,为离散型随机变量 X 的分布律也称概率函数,离散型随机变量,定义,称,也称概率函数.,由概率的定义，,必然满足：,(1),(2),完,例1,某篮球运动员投中篮圈的概率是 0.9,求他两,解,可取 0, 1, 2 为值,且,于是,的概率分布可表示为,完,【例4】盒中有5个乒乓球，其中2个白球，3个黄球，从中任取3个，记X=“取到白球的个数”，X是一个随机变量，且X的可能取值是0，1，2，,p2=PX=2=0.3,概率分布为,p0=PX=0=0.1,p1=PX=1=0.6,X的概率分布表：,【例1】设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).,PX=3=(1-p)3p,可爱的家园,解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：,pk,p,或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3,0,1,2,3,4,(1-p) p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,X,PX= 4 = (1-p)4,以 p = 1/2 代入得X 的分布律：,X pk,0 1 2 3 4,0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625,1.两点分布,定义,其分布为,且,特别地,点分布,即,完,二.几个常用的离散型分布,【例2】抛掷一枚质地均匀的硬币,有两种可能的结果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入变量X，令,pk=PX=k=0.5 (k=0,1).,X的概率分布表：,概率分布为,例2,200 件产品中,有 196 件是正品,则,服从参数为 0.98 的两点分布.,于是,4 件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定,完,2. 二项分布,将试验E重复进行n次，若各次试验结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，称这n次试验是相互独立的。,贝努利试验：,PX=k= (k= 0,1,2,n)=？,X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数,则X是一个随机变量，所有可能取值为0,1,2,n.,事件A在k(0kn)次试验中发生，其它n-k次试验中 不发生的方式有,(1) PX=k0, k=0,1,2,n.,二项分布中满足,说明,n=1时，,注意,即PX=0=1-p, PX=1=p,PX=k=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，,(0-1)分布,定义,若一个随机变量,的概率分布由 (1) 式给,出,记为,的二项分布,二项分布的图形特点:,完,加时,是随之增加直至达到最,大值,随后单调减少.,在图1和图2中，,分别给出了当,从图易,看出：,概率,先是随之增加直至达到最大值，,随后,二项概率,大值.,注：,完,单调减少.,可以证明，,一般的二项分布的图形也具有这一,性质，,二项概率,先是随之增加直至达到最大值，,随后,【例2】一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？,则答5道题相当于做5重Bernoulli试验,解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，,【例3】按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽取20只,问20只元件中恰有k(k=0,1,2,20)只为一级品的概率为多少？,记X为20只元件中一级品的只数,解,解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,则Xb(400,0.02),某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。,所求概率为,【例4】,解,第一种方法：,X:第1人维护的20台中同一时间发生故障的台数,Ai :第i人维护的20台中发生故障不能及时维修,(i=1,2,3,4),80台发生故障不能及时维修的概率为,第二种方法,则80台发生故障不能及时维修的概率为,4.泊松(Poisson)分布,随机变量X所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率,称X服从参数为的泊松分布,记为X().,(1) PX=k0.,有,【例5】,因为,解,所以,4.二项分布的泊松近似,对二项分布,计,算其概率很麻烦.,例如，,要计算n=5000,故须寻求近似计算方法.,这里先介绍二项分布的,泊松近似，,在本章第四节中还将介绍二项分布的,的正态近似.,泊松定理,每次试验中发生的概率为,为常数),则有,注：,(i)：,必定很小.,因此，,泊松定理表明，,很小时有下列近似公式：,二项分布的泊松近似,很小时有下列近似公式：,实际计算中，,时近似效果变很好.,(ii),把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀,有事件，,此类事件如：,地震、火山爆发、特大洪,水、意外事故等，,则由泊松定理知，,重伯努利试,验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,完,例8,一家商店采用科学管理,由该商店过去的销,售记录知道,某种商品每月的销售数,的泊松分布来描述,为了以 95%以上的把,握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品,多少件?,解,设该商品每月的销售数为,的泊松分布.,设商店在月底应进该种商品,件,即,可以用参数,解,设该商品每月的销售数为,的泊松分布.,设商店在月底应进该种商品,件,即,查泊松分布表,得,完,例 9,自 1875年至 1955年中的某 63年间,上海市夏,季( 5-9月)共发生大暴雨 180次,试建立上海市夏季,暴雨发生次数的概率分布模型.,解,每年夏季共有,天,每次暴雨发生以 1 天计算,则夏季每天发生暴,雨的概率,将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分布,分布模型.,来建立上,的概率,解,将暴雨发生看做稀有事件,利用泊松分布来建立,分布模型.,上,的概率,由于,故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为,解,故得上海市暴雨发生次数的概率分布模型为,并将它与资料,记载的实际年数作对照,均列入下表.,次暴雨的理论年数,计算 63 年中上海市夏季发生,由上表可见,按建立的概率分布模型计算的理论年,数,这表明,的模型,分布.,与实际年数总的来看符合得较好,所建立,能近似描述上海市夏季暴雨发生次数的概率,完,三、小结,1. 如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷个， 则称 X 为离散型随机变量,为离散型随机变量 X 的分布律满足,2.(01)分布(两点分布):,随机变量X只可能取0与1两个值,分布律是,PX=k=pk(1-p)k-1,(k=0,1)(0p1),称X服从(0-1)分布。,(k= 0,1,2,n),4.泊松(Poisson)分布,随机变量X所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率,称X服从参数为的泊松分布,记为X().,保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若