计算方法第一章误差.ppt

数值计算方法,授课老师：涂泳秋 Email：tyq_,数值计算方法,上课时间： 1-18周周三上午三、四节 上课地点： 第4，8，12，16周：1班4#机房，2班5#机房 其余周次：A1-403 考试方式： 闭卷 成绩计算方法： 笔试60%，平时20%，上机20% 实验工具：MatLab,数值分析,数值分析是数学与计算机技术结合的 一门学科，是利用计算机解决数学问题的理论和方法，是计算数学的一个重要分支。,现代复杂工程技术问题的解决步骤,工程问题,上机计算,数学模型,结果分析,问题解答,设计算法,数值分析涉及的主要内容,计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算（即使函数也是通过数值分析方法处理，转化为四则运算而形成的小型软件包） 数值代数：求解线性方程组和非线性方程组的解法，分直接方法和间接方法 插值和数值逼近。离散的点上的函数值，想办法得到点之间的值 数值微分和数值积分。很多函数无法求出积分，利用数值方法求解 常微分方程和偏微分方程的数值解法,数值分析需要考虑哪些问题,计算速度 例如：求解一个20阶线性方程组，20个未知量，用加减消原法需3000次乘法运算，用行列式求解需进行9.7*1020次运算，如果用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。 说明了算法方法的重要性 2. 存储量。大型问题有必要考虑 例如算法所需要保留的中间结果比较少，则可以省下为保留中间结果所需要的额外的存储空间。,数值分析需要考虑哪些问题,数值稳定性 在大量计算中，舍入误差是积累还是能控制，这与算法有关。 例：一元二次方程,其精确解为,如用求根公式：,和字长为8位的计算器求解，有,又,数值分析需要考虑哪些问题,误差的来源和基本概念,误差的来源 模型误差：在建立数学模型过程中，不可能将所有因素都考虑，必然要进行必要的简化，带来了与实际问题的误差。不是数值方法考虑的问题 测量误差：测量已知参数时，数据带来的误差。也不是数值方法考虑的问题 截断误差：在设计算法时，必然要近似处理，寻求简化。这是计算数学考虑问题 舍入误差：计算机的字长是有限的，每一步运算均需四舍五入，由此产生的误差称舍入误差。 数值分析主要讨论截断误差。测量误差看成初始的舍入误差，数值分析也要从整体上讨论舍入误差的影响,误差的基本概念,绝对误差和绝对误差限 X*是精确值，x是它的一个近似值，称e=x-x*是近似值x的绝对误差，简称误差。绝对误差可正可负，是有量纲的。误差是无法计算的，但可以估计出它的一个上界。即 ：,相对误差和相对误差限,相对误差和相对误差限,记作,相对误差是个相对数，是无量纲的，也可正,可负。相对误差的估计,，即：,实际计算中，x*未知，用x代替，两者的差为：,例：重力加速度常数g。,两者均有三位有效数字,后者的绝对误差大，而相对误差分别为,两者相等，与量纲的选取无关,有效数字,若近似值x的绝对误差限是某一位数的半个单位，则说 x 精确到该位，若从该位到 x的左面第一位非零数字一共有n位，则称近似值x有n位有效数字。,例：,3.14有三位有效数字,；3.1416有五位有效数字，,误差限为0.00005,又例：0.003529是四位有效数字，0.00352900,是六位有效数字。前者的误差限为,，,后者为,，写成标准的浮点数为：,当,其中，有效数字的个数是l,即,有效数字：由绝对误差决定,有效数字与相对误差,此定理说明，相对误差限是由有效数字决定。,数值计算中误差的传播,1. 对函数的计算：,数值计算中误差的传播,2. 对多元函数的计算：,数值计算中误差的传播,3. 四则运算中误差的传播：,证明第二条如下：,数值计算中的若干准则,关于数值稳定性的算法 一个程序往往需要进行大量的四则运算才能得出结果，每一步的运算均会产生舍入误差。在运算过程中，舍入误差能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法，否则就称之为不稳定的算法。,数值计算中的若干准则,结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成,相对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的,结果仍然有四位有效数字。这说明算法设计的重要性,2. 注意避免两个相近数的减法,数值计算中的若干准则,3. 简化计算步骤，减少运算次数,例：计算 的值。,只需14次乘法。,又如：,采用“秦九韶算法”,例：计算多项式,只需n次乘法和n次加法。,一般要注意，能在循环外