高中数学第二章数列章末复习课练习（含解析）新人教A版.docx

第二章章末复习课 整合网络构建警示易错提醒1数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列2求数列的通项(易错点)(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an(2)当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(3)当已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式ana1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项(5)归纳、猜想、证明法3等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an1and(常数)an是等差数列；q(q为常数，q0)an是等比数列(2)中项公式法：2an1anan2an是等差数列；aanan2(an0)an是等比数列(3)通项公式法：ananb(a，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列(4)前n项和公式法：Snan2bn(a，b为常数，nN*)an是等差数列；Snaqna(a，q为常数，且a0，q0，q1，nN*)an是等比数列4求数列的前n项和的基本方法(易错点)(1)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(2)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(3)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导(4)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(5)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式专题一等差、等比数列的判断判定一个数列是等差或等比数列有如下多种方法：定义法an1and(常数)an是等差数列q(非零常数)an是等比数列中项公式法2an1anan2(nN*)an是等差数列aanan2(an1anan20)an是等比数列通项公式法anpnq(p，q为常数)an是等差数列ancqn(c，q均为非零常数)an是等比数列前n项和公式SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列Snkqnk(k为常数，且q0，k0，q1)an是等比数列例1已知数列an、bn满足：a11，a2a(a为常数)，且bnanan1，其中n1，2，3，.(1)若an是等比数列，试求数列bn的前n项和Sn的公式(2)当bn是等比数列时，甲同学说：an一定是等比数列；乙同学说：an一定不是等比数列你认为他们的说法是否正确？为什么？解：(1)因为an是等比数列，a11，a2a，所以a0，anan1.又bnanan1，则b1a1a2a，a2，即bn是以a为首项，a2为公比的等比数列所以，Sn(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设bn的公式比为q，则q且a0，又a11，a2a，a1，a3，a5，a2n1，是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，a2n，是以a为首项， q为公比的等比数列即an为：1，a，q，aq，q2，aq2，当qa2时，an是等比数列；当aa2时，an不是等比数列法二：an可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设bn的公式为q.取aq1时，an1(nN*)，此时bnanan11，an、bn都是等比数列取a2，q1时，anbn2(nN*)所以bn是等比数列，而an不是等比数列归纳升华判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：q(q为常数且不为零)an为等比数列(2)等比中项法：aanan2(nN*且an0)an为等比数列(3)通项公式法：ana1qn1(a10且q0)an为等比数列变式训练已知数列an的前n项和为Sn，且an5Sn3，求数列an的通项公式解：当n1时，因为a15a13，所以a1.当n2时，因为an5Sn3，所以an15Sn13，所以anan15(SnSn1)即anan15an，所以an是首项a1，公比q的等比数列所以ana1qn1(nN*)专题二数列的通项公式的求法(1)定义法：定义法是指直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式an求解(3)由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列(4)待定系数法(构造法)求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法例2(1)等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5a，则数列an的通项公式为_；(2)已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n，n1，则数列an的通项公式为_解析：(1)设数列an的公差为d(d0)，因为a1，a3，a9成等比数列，所以aa1a9，即(a12d)2a1(a18d)d2a1d，因为d0，所以a1d.因为S5a，所以5a1d(a14d)2.由得：a1，d，所以an(n1)n.(2)n1时，a1S1，所以a12a11，即a11，n2时，anSnSn12(anan1)2(1)n，所以an2an12(1)n1，an12an22(1)n2，a22a12，所以an2n2(1)n1又因为a11适合an2n2(1)n1，所以an2n2(1)n1答案：(1)ann(2)an2n2(1)n1归纳升华(1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解(2)由递推关系an1AanB(A，B为常数，且A0，A1)求an时，由待定系数法设an1A(an)可得，这样就构造了等比数列an变式训练已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式解：设an1x5n12(anx5n)将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得35x2x，则x1，代入式得an15n12(an5n)由a1516510及式得，an5n0，则2.所以an5n是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an5n12n12n1，所以an2n15n(nN*)专题三数列求和数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互拆消，从而求得其和；(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例3(1)已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn_.(2)设数列an满足a12，an1an322n1.求数列an的通项公式；令bnnan，求数列bn的前n项Sn.(1)解析：设等比数列an的公比为q，则q327，解得q3，所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.则Sn11.答案：(2)解：由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.由bnnann22n1知Sn12223325n22n1从而22Sn123225327n22n1得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12归纳升华用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和变式训练设数列an满足a13a232a33n1an(nN*)(1)求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)因为a13a232a33n1an，所以当n2时，a13a232a33n2an1，由得3n1an，所以an，在中，令n1，得a1，所以数列an的通项公式an(nN*)(2)因为bnn3n，所以Sn3232333n3n，所以3Sn32233334n3n1.由得2Snn3n1(332333n)n3n1，所以Sn.专题四函数与方程思想(1)在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，an及Sn，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值(2)数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数也有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题例4(1)已知数列an的首项为a121，前n项和为Snan2bn，等比数列bn的前n项和Tn2n1a，则Sn的最大值为_；(2)若等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645.则通项公式an_解析：(1)由Tn22na，可求得a2，所以Sn2n2bn，所以数列an为等差数列，又因为a121，Sn2n2bn，故b21(2)23，所以Sn2n223n2，当n6时，Sn取得最大值66.(2)因为a1a72a4a2a6，所以a1a4a73a415，所以a45，所以a2a610且a2a69，所以a2，a6是方程x210x90的两根，解得或若a21，a69，则d2，所以an2n3；若a29，a61，则d2，所以an132n.故an2n3或an132n.答案：(1)66(2)2n3或132n归纳升华函数的思想：等比数列的通项ana1qn1qn(q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)也与指数函数相联系变式训练等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.求数列an的通项an与前n项和Sn.解：设数列an的公差为d，由题意得所以d2.所以ana1(n1)d2n1，Snn(n)专题五数列的交汇问题例5设数列an满足1，其中常数.(1)求数列an的通项公式；(2)若，bn(2n4 001)an，当n为何值时，bn最大？解：(1)由题意得1，当n2时，1，由得，即(n2)又当n1时，1，所以a121.因为，所以数列an是以21为首项，以为公比的等比数列所以an(21)，即an.(2)当时，an，所以bn.设bn最大，则即解得n.因为nN*，所以n2 002，故当n2 002时，bn最大归纳升华数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处它包含知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点变式训练已知二次函数f(x)x2axa(xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且