(好资料)2007年高考“数列”题--高考数学试题全解

2007年高考“数列”题1(全国) 等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为解：，即解得的公比已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，解：（）由题设：， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，（）用数学归纳法证明（）当时，因，所以，结论成立（）假设当时，结论成立，即，也即当时，又，所以也就是说，当时，结论成立根据（）和（）知，2(全国II) 已知数列的通项，其前项和为，则 解：已知数列的通项an=5n+2，其前n项和为Sn，则=。设数列的首项（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数解：（1）由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故那么， 又由（1）知且，故，因此为正整数方法二：由（1）可知，因为，所以由可得，即两边开平方得即为正整数3（北京卷）若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第 项解：数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项。数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式解：（I），因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以4（天津卷）设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，则( )A.2B.4C.6D.8解：是与的等比中项可得(*)，由为等差数列，及代入(*)式可得.故选B.在数列中N其中.(I)求数列的通项公式；(II)求数列的前项和；(III)证明存在N使得对任意N均成立.【分析】(I)解法一：，.由此可猜想出数列的通项公式为.以下用数学归纳法证明.(1)当时等式成立.(2)假设当时等式成立，即 那么，这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何N都成立.解法二：由N可得所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公式为(II)解：设 当时，式减去式，得这时数列的前项和当 时，这时数列的前项和(III)证明：通过分析，推测数列的第一项最大.下面证明：由知要使式成立，只要因为所以式成立. 因此，存在使得对任意N均成立.【考点】本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.5(上海卷) 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%） （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ，则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦) （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则解得 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列”例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列记各项的和为当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和解：（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为 （2）， ， 当时，取得最大值的最大值为626 （3）所有可能的“对称数列”是： ； ； ； 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时，6（重庆卷）若等差数列的前三项和且，则等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 6解：由可得 选 A设为公比q1的等比数列，若和是方程的两根，则_.解：和是方程的两根，故有： 或（舍）。 已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；(5分)（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：. (7分)（I）解：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为（II）证法一：由可解得；从而因此令，则因，故特别地，从而即证法二：同证法一求得及，由二项式定理知，当时，不等式成立由此不等式有证法三：同证法一求得及令，因因此从而证法四：同证法一求得及下面用数学归纳法证明：当时，因此，结论成立假设结论当时成立，即则当时，因故从而这就是说，当时结论也成立综上对任何成立7（辽宁卷）设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63B45 C36D27解： 由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B已知数列，与函数，满足条件：.（I） 若，且存在，求的取值范围,并求（用表示）；（II）若函数为上的增函数，证明对任意， ()解法一：由题设知得又已知,可得4分由 是等比数列，其首项为.于是又存在，可得01,所以-2t2且8分解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得4分由可知,所以是首项为,公比为的等比数列.由 可知，若存在，则存在.于是可得01,所以-2t2且=28分解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即 于是有 -得4分由所以是首项为,公比为的等比数列，于是（b2-b1）+2b.又存在，可得01,所以-2t2且8分()证明：因为.下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且1,得1, 1, ，即，结论成立. 10分（2）假设n=k时结论成立，即.由f(x)为增函数，得f(),即,进而得f(),即.这就是说当n=k+1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的.12分8（江苏卷）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某个正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）解：设的公差为，由，知，（）（1）因为，所以，所以（2），由，所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为，设数列中的某一项=现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。9(广东卷) 已知数列的前n项和，第k项满足，则k= （A）9 （B）8 （C）7 （D）6解：a1=S1= -8，而当n2时，由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10，此式对于n=1也成立。要满足5ak8,只须52k-108，从而有k0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）n1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn-1（n2）的递推关系式；（）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.解： （）我们有（），对反复使用上述关系式，得 ，在式两端同乘，得，得即如果记，则其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列12(湖南卷) 已知（）是曲线上的点，是数列 的前项和，且满足，（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增解：（I）当时，由已知得因为，所以 于是 由得 于是 由得， 所以，即数列是常数数列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，数列是单调递增数列且对任意的成立且即所求的取值集合是（III）解法一：弦的斜率为任取，设函数，则记，则，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，所以时，从而，所以在和上都是增函数由（II）知，时，数列单调递增，取，因为，所以取，因为，所以所以，即弦的斜率随单调递增解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，故，即弦的斜率随单调递增13（湖北卷）若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解： 由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即 即公比不一定为， 则命题乙不成立，故选B已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）A2B3C4D5解： 由等差数列的前项和及等差中项，可得 ，故时，为整数。故选D14（江西卷）已知数列对于任意，有，若，则解：由题意得，填4设正整数数列满足：，且对于任何，有（1）求，；（3）求数列的通项解：（1）据条件得 当时，由，即有，解得因为为正整数，故当时，由，解得，所以（2）方法一：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得因为时，所以，所以又，所以故，即时，成立由1，2知，对任意，（2）方法二：由，猜想：下面用数学归纳法证明1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由得即由左式，得，即，因为两端为整数，则于是又由右式，则因为两端为正整数，则，所以又因时，为正整数，则据，即时，成立由1，2知，对任意，15（山东卷）设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和解：(I) 验证时也满足上式，(II) ， ， 16(陕西卷) 各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S3n=14,则S40等于（A）80（B）30 (C)26 (D)16解：选B已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且SkN*),其中a1=1.()求数列ak的通项公式;()对任意给定的正整数n(n2),数列bk满足（k=1,2,，n-1）,b1=1.求b1+b2+bn.解：（）当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故（）因为，所以所以故17（四川卷）已知函数f(x)x24,设曲线在点(xn,f(xn)处的切线与x轴的交点为(xn1，0)(nN *)，其中x1为正实数.()用xn表示xn1；()求证：对一切正整数n，xn1xn的充要条件是x12；()若x14，记anlg，证明数列an成等比数列，并求数列an的通项公式.解：（） 由题可得所以过曲线上点的切线方程为，即令，得，即显然 （）证明：（必要性）若对一切正整数，则，即，而，即有（充分性）若