人教版八年级上册第十五章分式教材分析及讲义（无答案）

第十五章 分式 教材分析一、本章的地位和作用分式是不同于整式的另一类有理式，是一种重要的代数式；相应的，分式方程是不同于整式的另一类有理方程，是一种重要的方程分式或分式方程作为某些类型问题的数学模型，具有整式或整式方程不可替代的特殊作用这一章所涉及的分式的基本概念,基本性质,基本运算,分式方程的基本解法等,都是学习数学的必须具备的基础知识。在学习本章之前，学生已经对分数有较多的了解在此基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式；在讨论分式的概念、基本性质、约分与通分和四则运算时进行类比，可以温故知新、深化知识教材通过利用现实情境中的数量关系引出数学模型分式的概念，然后通过与分数类比的方法得出分式的基本性质和四则运算法则.最后运用分式的有关知识解决可化为一元一次方程的分式方程的实际问题等，为今后进一步学习函数和一元二次方程等知识做好准备。 二、课程学习目标1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式.2、类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.3、类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算.4、结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质；能用科学记数法表示小于1的正数.5、掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程中的化归思想.6、结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.三、本章主要内容、重点、难点及数学思想1、基本知识：分式的概念、分式的基本性质，分式的约分和通分法则、分式的四则运算、整数指数幂的运算性质、掌握可以化为一元一次方程的分式方程的解法.2、基本技能：熟练掌握分式的约分和通分、分式的四则运算、可以化为一元一次方程的分式方程的解法.3、基本的数学思想：化归思想（化繁为简）、类比思想（类比分数）、整体思想（化简求值、分式方程）、数学建模思想（应用题）.4、基本活动经验： 积累分式运算的方法，总结进行分式运算的解题经验，解决不同类问题时有不同的策略.5.重点、难点重点：本章学习的重点是分式的四则运算，它是整式四则运算的进一步发展，是代数式恒等变形的重要内容之一（1）分式的基本性质是本章学习的重点（2）分式的四则运算是本章的重点内容（3）注意类比学习方法的掌握难点：(1)分式的四则混合运算(2)分式方程的增根问题(3)列分式方程解决实际问题 四、数学课程标准对本章的要求：了解分式及最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算；能解可以化为一元一次方程的分式方程.五、2019年中考说明中对分式的要求考试内容考试要求层次ABC数与代数数与式分式了解分式和最简分式能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算；能选用恰当的方法解决与分式有关的问题幂的运算了解整数指数幂的意义和基本性质能用整数指数的幂性质进行简单运算代数式的值了解代数式的值的概念会求代数式的值；能根据代数式的特征推断代数式反映的规律运用恰当的知识和方法对代数式进行变形，解决有关问题方程与不等式分式方程了解分式方程的概念能解可化为一元一次方程的分式方程运用方程不等式的内容解决有关问题六、本章知识结构图七、课时安排本章教学时间约需15课时，具体分配如下（仅供参考）：15.1 分式 3课时15.2 分式的运算 6课时15.3 分式方程 3课时数学活动 1课时小结 2课时八、教学建议（一）参考教参P246P250（二）具体教学建议：1. 加强学习方法的引导, 重视分数与分式的联系 分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数就是具体的、特殊的基础对象.分式是把具体的分数一般化后的抽象代表，根据这种关系，分式的基本性质、约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性.本章教科书对分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等内容的展开，充分地考虑了这样的认识过程.因此，教学中应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，这将有助于理解和记忆所学的分式内容.同时，这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用.2.关注基础知识和基本技能，本章中分式的基本概念、基本性质、基本运算、分式方程的概念、解法和应用等，都是进一步学习数学必备的基础，应切实打好基础运算技能的训练是代数教学的基本任务，也是本章的重要教学目标，本章的运算技能涉及分式的基本性质与运算、解分式方程等它们都是本章的重点内容本章从哪些方面来培养学生的运算能力呢？ 调整好学生心态，注意知识间的内在联系 学生已经掌握分数基本性质，并能应用它进行分数计算，教师可以因势利导，让学生明白不要畏惧困难，分数即具体数值，而分式即为能成立的字母，只不过数的范围扩大而已，实质相同，也是找到分母的“公分母”，没有想象中的那么复杂，他们之间即为孪生兄弟，没有不可逾越的鸿沟。 掌握基础知识，深刻理解算理 切实掌握相关运算的定义、法则、公式、性质、定理等基础知识是进行正确运算的基础，因为这些基础知识能为运算指明思考方向，为学生选择合理的运算方法提供理论依据.从学生常见的运算错误中可以发现，大多是与基础知识不扎实有关，如大多数学生习惯于机械运算，见积就用乘，见商就想除，就是因为对基础知识不理解，不能合理运算造成的. 在下面这两个典型的错例中，错误的原因就是：学生对解分式方程与分式计算存在解题策略的混淆；学生对增根、验根、分式有意义的条件存在概念、意识和题型特征的混淆.建议：增强分式运算与解分式方程的对比练习，澄清有关的概念，把握题目特征，增强解题能力. 通过观察分析，找到解题技巧平方差公式、完全平方公式和两个数互为相反数，在异分母分式加减法中应用最广，首先将分式中的分母因式分解，即化难为易，找到本质，才能做到有的放矢。比如：通过观察两个分式的分母有公分母（y-x）,而（x-y）与（y-x）互为相反数，可把转化为，这样达到通分的目的. 分析观察可以从包含以下几个方面逐级深入：第一，全题包含了哪些运算；第二，各运算之间的先后顺序如何? 第三，算式中有无应先整理的式子(如分数小数系数、多项式排列混乱、需要先因式分解等)；第四，是否有简便方法；第五，哪些地方容易忽视和出错 突出比较分析，选择合理方法选择合理的方法是在挖掘题目中特殊的信息基础上，对题目进行剖析，多法择优。在具体的课堂教学中，可以要求学生在对某一问题得到一种算法后，不要满足于已得的解法，要有意识地分析比较这种方法的优缺点，积极探求可加以改进和其他更简便的运算方法，并总结解决过程中是如何对运算进行合理设计的，促进学生形成追求最合理、最明确、最简单的运算方法的思维品质。 注重对典型运算错误的剖析 发现一个问题，比解决一个问题更重要。从实际的教学现状来看，学生在运算过程中，经常会出现这样的错误，如从整体上看，运用的运算方法正确，但在运算的过程中，抄写运算符号、数值、去括号、去分母、约分等方面出现问题，而影响了整个运算结果的准确性，并且这样的屡屡出错会挫伤学生学好数学的信心，从而阻碍了数学思维的进一步发展。为此，对于学生运算中经常出现的典型错误，一定要注意收集总结、归类整理，以此为例题，引导学生自主、合作地进行剖析，师生共同探究这些错误产生的根本原因，找出运算出错的根源，从而加以解决，这也是提高学生运算能力的有效途径之一。 3. 关注方程与实际问题的联系，体现数学建模思想 列方程解应用题一直是学生的难点，讲解的过程中注意渗透思考分析问题的思路. 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一致的.不同的是，因为学习了分式后，表示量与量的关系的代数式就可以不受整式限制，也可以用分式表示.对于应用题要讲清以下步骤： （1）审清题意：弄清题中涉及哪些量？已知数和未知量各几个？量与量之间的基本关系是什么？ （2）设未知数，找出尽可能多的等量关系，用含未知数的代数式表示其它未知量，注意所设未知量的单位要明确. （3）列方程，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含有未知数的等式，这就是方程. （4）解方程，并验根，验根时应注意： 检验解得的根是否是原分式方程的根； 检验这个根是否符合实际.（5）写出答案. 设未知数、列方程是建立方程模型解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础列方程历来是教学中的难点，教学中，可以从多角度帮助学生进行思考，例如借助表格、图形、等进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用分式方程分析、解决它们总之，教师需要精心设计教学活动，帮助学生克服难点，使学生逐步领会数学建模思想，体会方程的作用，掌握运用方程解决问题的方法我校备课组在分式方程教学中采用列表分析法进行教学，中上层学生们较易接受和掌握，效果不错。用列表在实际教学中，我发现在应用题的题目本身结构中一般会有两个共同之处：三个量；两种情况。所谓三个量：不管什么类型的题目都是三个量之间的关系。例如：行程问题中是速度、路程、时间；工程问题中是工作时间，工作效率、工作总量，销售问题中是单价，数量、总价；等等，所谓两种情况：不管什么题目都会有甲、乙两人，或两个工程队，或今年、明（去）年，或计划、实际等。所以，在解应用题时可以先列个表格，具体方法如下：例题：学校组织学生去距离学校15千米的郊区，一部分同学骑自行车，另一部分同学在40分钟后乘汽车沿相同的路线行进，结果骑自行车与乘汽车的同学同时到达目的地。已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。 （1）三个量：路程、速度、时间 （2）两种情况：骑自行车、豳自行车； （3）列表：如下表1：表1路程速度时间自行车汽车（4）设未知数：骑自行车的速度为xkm/h，（5）用已知条件及含有未知数的代数式表示各数量关系，如表2。表2路程速度时间自行车15kmx km/h15/x h汽车15km3x km/h15/3x h（6）找出计划、实际两种情况下某一量之间的关系的语句：结果同时到达（自行车比汽车多走了min；（7）依据表格列方程：在填表格时，先填已知数据，其次填设出的未知数，再根据三个量之间的关系表示出第三个量来，最后找出关键语句列出方程进持解答。九、具体内容 15.1 分式（一）对分式概念的理解一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.注意：（1）与是同一运算关系的两种不同表示方法.既可以表示这个运算，又可以表示这个运算的结果.（2）分式的分母中必须含有字母，分子可以含有字母，也可以不含有字母，这是区别于整式的重要依据.（3）当时，分式有意义.（4）分式是两个整式相除的商，分母（含有字母）是除式，分子是被除式，分数线可以理解为除号，还有括号作用.例如：表示 (x3)(x5)这里的括号作用对今后学习分式方程起着重要作用，务必使学生理解.（5）分式是用形式定义的，因此判断一个式子是不是分式，取决于其形式，而不是化简后的结果.例如： 是分式,而不能先约分后再判断（6）分式的值为0的条件是：分子的值为0且分母的值不为0.（先写限制条件，养成先列条件再计算的习惯）（7）有理式的概念： （二）相关习题1、分式的概念,辨析分式与整式.例1. 在 ，-0.5xy+y, , , 中，是分式的有 ；整式有 . 2、分式值为零、分式有意义的条件.例2. 指出使下列分式有意义的字母取值范围.（1） 当m 时，分式 有意义；（2）当m 时，分式 有意义；（3）当m 时，分式 有意义；（4）当x、y 满足关系 时，分式 有意义.例3当 x为何值时，下列分式的值为零 . （1） (2) (3) (4) （5）3、分式值为正、负的条件.例4 （1）当x 时，分式的值为正； （2）当x 时，分式的值为负. (3) 若分式的值为正数，则x范围是 . (4) 若分式的值为负， 则x范围是 . (5) 若分式的值为正，则x范围是 .4、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即： （）其中、是整式.（1） 基本性质的引入，由回忆分数的通分与约分引入分式的基本性质；（2） 基本性质的重要性分式恒等变形的基础，是学习好分式的关键；（3） 对基本性质中的A、B、C的认识,注意强调 C0的条件.（4） 在理解分式的基本性质的基础上，掌握分式的符号变号法则：分式本身及其分子、分母这三处的正负号中，同时改变两处，分式的值不改变.即： 注意：因为分数线在分式中具有括号的作用，当分子或分母为多项式，要把它看作一个整体，变号时，将多项式的各项都改变符号.例5. 根据分式基本性质填空.(1) = （2) = (3) = ( ) (4) = （5） （6）例6不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：（1） （2） （3） 例7不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数.(1) (2) 例8.下列等式: (1) (2) (3) （4）其中错误的有 ，正确的有 . 5、约分： 根据分式的基本性质，不改变分式的值，约去分式的分子和分母的公因式，这样的分式变形叫做分式的约分. 分子、分母没有公因式的分式，叫做最简分式.（1）约分的结果使学生明确最简分式的要求（2）分式的分子、分母是单项式时，公因式是它们系数的最大公约数与公有字母的最低次幂的积（3）分式的分子、分母是多项式时，先进行因式分解，然后再约分例9.约分：6、通分：根据分式的基本性质，不改变分式的值，使分子和分母同乘适当的整式，把几个分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母.求最简公分母的步骤：各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母为底的幂的因式；相同字母的幂的因式取指数最大的.按上述条件取出的因式写成积的形式例10. (1)分式，的最简公分母是 .(2) 分式 , 的最简公分母是 .例11将下列各组中的分式通分（1）和 （2）和 （3） 和15.2 分式的运算类比分数的运算学习分式的运算，分式的乘除法与分数的乘除法类似，即将乘除法统一成乘法，分式乘除法的实质是分式的约分，而分式约分的依据是分式的基本性质：（C是整式且）.1、分式的乘除（1）分子、分母是多项式时，先进行因式分解，然后计算（2）运算结果要求为最简分式（3）整式与分式乘除时，应把整式看成分母为1的代数式与分式乘除（4）乘除混合运算时，要注意运算顺序，要先统一为乘法运算.2、分式的乘方（商的乘方）：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.即：（是正整数）例1. 计算（分子、分母是单项式） （1） （2） （3）例2计算（分子、分母是多项式）（1） （2）(3) （4） 例3分式乘除的混合运算 (1) (2)（3） （4）例4分式乘方运算：例5分式的乘方混合运算： （1） （2） （3） （4） （5）例6 计算：（3） （4） (7) (8) (9) 3、分式的加减法： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.即： 分式加减法学习初期，注意规范学生的解题步骤，明确每一步的解题依据，不跳步。 通分 注意：分子是多项式时要加括号计算分子 约分 例7. 计算：（4） （5） 计算: （1） . （2） . （3） 4、混合运算 混合运算中注意的问题： （1）正确使用运算法则；（2）注意运算顺序；（3）灵活使用运算律；（4）结果必须为最简分式. 例8.计算:(1) （4） （5）5、负整数指数幂的运算法则： 一般地，当是正整数时， （）注意：（1）此公式可以进一步变形： （） （2）当为整式时，使用公式；当为分式时，使用公式. （3）指数概念扩大到全体整数后，幂的运算仍然成立，引导学生理解成立的合理性，并理解整指数幂的运算要综合幂的运算才能使复杂的运算得到简化.（4）负指数的科学记数法，负指数引入，可形成对科学记数法的完整认识.（5）分式与负指数间形式的互化，也为学习反比例函数奠定基础. (6)经历负指数幂的不同的运算过程，培养学生选择合理运算方法的意识。例9. 计算:（4） （5） (6) 例10.用科学记数法表示下列各数：（1）0.001 (2) -0.000001 （3）0.001357 （4）-0.00000003415.3分式方程1、分式方程概念： 分母中含未知数的方程叫做分式方程.2、分式方程的解法：转化为整式方程具体步骤：（1）去分母：方程两边同乘各分母的最简公分母，化为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.注意：产生增根的原因：造成增根的原因就是解分式方程的第一步中去分母造成的.根据等式性质，方程两边同乘以（或除以）同一个非零数，所得结果仍是等式.这就是说，方程两边不能乘（除）以零，解方程的过程中，如果在方程的两边同时乘以值为零的整式，就会产生增根。3、有关增根问题 解得是增根【例题分析】例1. 解下列分式方程:例2.解答题:（1）x为何值时，代数式的值等于2？（2）若方程有解，则a的值为多少？ .4、字母系数分式运算例3（1）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 且（2）a为何值时，关于x的方程的解是0？（3）关于的分式方程有增根，则的值是（ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 1（4）当m为何值时 , 关于x的方程无解.（5）解关于x的方程: (a0, b0且ab)5、分式方程的应用（1）列分式方程解应用题的一般步骤：一、审题：已知、未知； 二、分析如何设未知数、找相等关系；三、设、列、解、验（两步检验）、答（2）列分式方程解应用题的双重检验： 验增根；验符合实际. (3)几个常见的等量关系：【例题分析】例4.某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天，现两队合作2天后，留下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程期限是多少天？例5.京通公