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电磁场与电磁波习题详解 85 第六章 平面电磁波 6-1 理想媒质中一平面电磁波的电场强度矢量为 (V/m) )10(2cos5)( 8 ztetE x = v v (1) 求媒质及自由空间中的波长。 (2) 已知媒质 0 =， r0 =，求媒质的 r 。 (3) 写出磁场强度矢量的瞬时表达式。 解：解：由题意得 (V/m) ) 2102cos(5)10(2cos5)( 88 zteztetE xx = vv v (1) 媒质中的波长： (m) 1 2 22 = k 自由空间中的波长： (m) 3103 102 22 8 8 0 = = c f c (2) 由题意知 9 )102( )103()2( 28 282 2 2 r00 = = v k k r (3) 媒质的波阻抗：)( 40 3 1 0 0 0 0 = r 磁场强度矢量的瞬时表达式为 )10(2cos 5 )( 1 )( 8 ztetEetH yz = v v v v (A/m) )10(2cos 8 1 8 ztey= v 6-2 电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为 (V/m) e10)j( 20j4z yx eeE = vv v 试求： (1) 工作频率f； 课后答案网 课后答案网 习题六 86 (2) 磁场强度矢量的复数表达式； (3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。 解：解： （1） 由题意可得 c f c k 2 00 = z kc f= = 9 8 103 2 10320 2 （2） 磁场强度矢量的复数表达式为 z xyz eeEeH 20j4 0 e10)j( 11 += vv v v v (A/m) 120 )(j10 20j4 yx z eee vv + = (3) 电磁波的瞬时值为 eRe)( jt EtE vv = (V/m) ) 20 sin(10) 20 cos(10 44 ztezte yx += vv eRe)( jt HtH vv = (A/m) ) 20 sin(10) 20 cos(10 120 1 44 ztezte xy = vv 所以，坡印廷矢量的瞬时值为 )()()(tHtEtS vvv = )20sin(10)20cos(10 44 yx eztezt vv += + 120 )20cos(10 120 )20sin(10 4 4 y x ezt ezt v v )(W/m 120 10 2 8 z e v = Re 2 1 * av HES vvv = 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 87 += )j(e 120 10 e10)j(Re 2 1 20j 4 20j4 yx zz yx eeee vvvv = + )( 120 10 Re 2 1 8 zz ee vv =)(W/m 120 10 2 8 z e v 6-3 假设真空中有一均匀平面电磁波，它的电场强度矢量为 (V/m) ) 3 2106cos(3) 2106cos(4 88 +=ztezteE yx vv v 求对应磁场强度矢量和功率流密度的时间平均值。 解：解：磁场强度矢量为 )( 1 )( 0 tEetH z v v v = (A/m) ) 3 2106cos(3 1 ) 2106cos(4 1 8 0 8 0 =ztezte xy vv 电场强度的复矢量形式为 (V/m) 34 ) 3 2j( 2j + += z y z x eeeeE vv v 磁场强度的复矢量形式为 (A/m) e 30 1 e 40 11 2j ) 3 2j( 0 z y z xz eeEeH + += vv v v v 故功率流密度的时间平均值为 )(W/m 48 5 2 1 Re 2 av eHES z v vvv = 6-4 理想介质中， 有一均匀平面电磁波沿z方向传播， 其频率rad/s 102 9 =。 当0=t时，在0=z处，电场强度的振幅mV/m 2 0 =E，介质的4 r =， 1 r =。求：当s 1=t时，在m 62=z处的电场强度矢量、磁场强度矢量 和坡印廷矢量。 解：解：根据题意，设平面电场强度矢量和磁场矢量为 += += )cos( )cos()( 0 0 kzt E eHeH kztEeEetE m yyy mxxx vv v vv v 课后答案网 课后答案网 习题六 88 在0=t时0=z处 ，mV/m 2cos 00 = m EE， 不 妨 设0 0 =， 则 mV/m 2= m E 所以 = = (mA/m) )cos( 2 (mV/m) )cos(2 kzteH kzteE y x v v v v 由已知条件知： rad/s 102 9 =， 3 40 4 00 =k )( 60 2 1 4 0 0 0 = 所以在s 1=t时，m 62=z处 )62 3 40 10102cos(2 69 = x eE v v mV/m ) 3 2 cos(2 xx ee vv = (mA/m) 103 . 5 60 1 3 = yy x y ee E eH vvv v )(mW/m 103 . 5)(mW/m 10 60 1 2623 = zz eeHES vv vvv 6-5 已知空气中一均匀平面电磁波的磁场复矢量为 A/m)( e)462( )34(j zx zyx eeAeH + += vvv v 试求： (1) 波长、传播方向单位矢量及传播方向与z轴的夹角； (2) 常数A； (3) 电场强度复矢量。 解：解： (1) 由磁场强度矢量的标准形式 rk HH v v vv = j 0e zx eek vv v 34+= 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 89 ()() =+= +=+= 534 6 . 00.8 5 3 5 4 | 22 k eeee k k e zxzxk vvvv v v v m 4 . 0m 5 222 = k k o &53 5 3 arccos 5 3 cos= zz (2) 304 5 3 5 4 =+=AAHek v v 即 A/m)( e)4623( )34(j zx zyx eeeH + += vvv v (3) 电场强度复矢量为 HeE k v v v = 0 )34(j 0 e)4623() 5 3 5 4 ( zx zyxzx eeeee + += vvvvv )34(j e) 5 68 5 25 5 66 (120 zx zyx eee + += vvv V/m)( e)682566(24 )34(j zx zyx eee + += vvv 6-6 设无界理想媒质中，有电场强度复矢量： zk zE eE j 011 e= v v ， zk zE eE j 022 e= v v (1) 1 E v 、 2 E v 是否满足0 22 =+EkE vv ； (2) 由 1 E v 、 2 E v 求磁场强度复矢量，并说明 1 E v 、 2 E v 是否表示电磁波。 解：解： 采用直角坐标系。 (1) 考虑到 yyxx E zyx eE zyx eE 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 + + + + + = vv v zz E zyx e 1 2 2 2 2 2 2 + + + v zk zE ek j 01 2 e= v 1 2E k v = 课后答案网 课后答案网 习题六 90 于是 0 1 2 1 2 =+EkE vv 同理，可得 0 2 2 2 2 =+EkE vv (2) 根据题意知 0 1 1 0 1 =EeH z v v v ，0 1 2 0 2 =EeH z v v v 所以0 1= S v ，0 2 =S v ， 1 E v 、 2 E v 所形成的场在空间均无能量传播，即 1 E v 、 2 E v 均不 能表示电磁波。 6-7 理想媒质中平面波的电场强度矢量为 V/m)( )102102cos(100 26 xteE z = v v 试求： (1) 磁感应强度； (2) 如果媒质的1 r =，求 r 。 解：解：(1) 依题意知，磁感应强度为 Ee k EeEeHB xxx v v v v v v vv = 1 H/m)( )102102cos(10010 264 xtey= v (2) 如果媒质的1 r =，则 c k r 0 2 102 = 所以 8 r 109= 6-8 假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为 (V/m) e)2( 3 )322( 6 jzyx yx eeE + = vv v 试求： (1) 电场强度的振幅、波矢量和波长； (2) 电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式。 解：解：(1) 依题意知，电场强度的振幅 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 91 (V/m) 33)23(3 222 0 2 00 =+=+= yx EEE 由)322( 6 zyxrk+= v v ，得波矢量为 )322( 6 zyx eeek vvv v += 而 2 | 222 =+= zyx kkkkk v ，求得波长 (m) 4 2 = k (2) 电场强度矢量的瞬时表达式为 (V/m) )322( 6 cos)2( 3 eRe)( j zyxteeEtE yx t += vv vv 磁场强度矢量的瞬时值表达式为 )( 1 )( 0 tEetH k v v = (A/m) )322( 6 cos)2336( 120 1 zyxteee zyx += vvv 6-9 为了抑制无线电干扰室内电子设备， 通常采用厚度为 5 个趋肤深度的一层铜皮 S/m) 108 . 5,( 7 00 =包 裹 该 室 。 若 要 求 屏 蔽 的 频 率 是 MHz 100kHz 10，铜皮的厚度应是多少。 解：解：因为工作频率超高，趋肤深度越小，故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽 kHz 10时所对应的厚度。因为趋肤深度 m 00066. 0 12 1 = f 所以，铜皮的最小厚度 hmm 3.3m 0033. 05= 6-10 频率为MHz 540的广播信号通过一导电媒质)2 . 0/, 1, 1 . 2( rr =， 试求： (1) 衰减常数和相移常数； (2) 相速和波长； (3) 波阻抗； 解：解：依题意，导电媒质现在可作为良介质近似处理。 (1) 衰减常数： 课后答案网 课后答案网 习题六 92 36 . 0 2 = 相移常数： 6 . 3= (2) 相速m/s 103 2 8 p = f v，波长m 9 52 = (3) 波阻抗 120 = 6-11 如果要求电子仪器的铝外壳) 1,S/m 1054. 3( r 7 =至少为 5 个趋肤深 度，为防止MHz 200kHz 20的无线电干扰，铝外壳应取多厚。 解：解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铝壳的最小厚度应不低于屏蔽 kHz 20时所对应的厚度。 77 1 1 0 1054 . 3 10414 . 3 112 = f f & m 000598. 0= 因为铝壳为 5 个趋肤深度，故铝壳的厚度应为 mm 3m 003. 05 0 =h 6-12 在导电媒质中，如存在自由电荷，其密度将随时间按指数律衰减 )e( 0 t =。 (1) 确定良导体中t等于周期T时，电荷密度与初始值之比； (2) 什么频率限上铜不能再被看作良导体。 解：解：(1) 良导体中t等于周期T时，电荷密度与初始值之比 2 =T， 2 00 ee = T T 在良导体中1 ，故0e 2 ，所以 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 93 0 0 T (2) 因为良导体满足1 ，所以当1 时，铜将不再被视为良导体。 即 Hz 10044. 1 210100 36108 . 5 2 16 9 7 = = f 可见，在非常宽的频带内铜都可以视为良导体。 6-13 证明椭圆极化波 kz yx EeEeE j 21 e)j( += vv v 可以分解为两个不等幅的、旋向相反 的圆极化波。 证明：证明：法一：设 += = ) 2 cos()sin( )cos( 22 1 kztEkztEE kztEE y x 则 )cos( 2 )cos( 2 2121 xxx EEkzt EE kzt EE E += + + = )2/cos( 2 )2/cos( 2 2121 + + + =kzt EE kzt EE Ey yy EEkzt EE kzt EE +=+ + + =)2/cos( 2 )2/cos( 2 2121 x E 与 y E 组成振幅为 2 21 EE+ 的左旋圆极化波， x E 与 y E 组成振幅为 2 21 EE 的右 旋圆极化波 法二：对于椭圆极化波E v ， 21 EE，令 kz yx kz yx BEeAEeBeAeEEE j 21 j 21 e)(j)(e)j( +=+= vvvv vvv 当BA=、)( 21 AEAE=、AEA 1 同 时 满 足 时 ， 有 2 21 EE BA + =。此时， 1 E v 与 2 E v 的旋向相反。所以，此时椭圆极化波E v 可分解 为两个不等幅的、旋向相反的圆极化波。 课后答案网 课后答案网 习题六 94 当BA=、BEAE= 21 时，有 2 21 EE BA =，且AEA 1 ， 1 E v 与 2 E v 的旋向相反。所以，此时椭圆极化波E v 可分解为两个不等幅的、旋向相反的 圆极化波。 6-14 已知平面波的电场强度 (V/m) e) 34) 3j2( )4 . 28 . 1j(zy zyx eeeE += vvv v 试确定其传播方向和极化状态；是否横电磁波？ 解：解：传播方向上的单位矢量为 zy zy zzyy k ee kk ekek e vv vv v 5 4 5 3 22 += + + = 0=Eek v v ，即E v 所有分量均与其传播方向垂直，所以此波为横电磁波。 改写电场为 ree zyx zy eeeE vvv vvv v+ += ) 5 4 5 3 (3 j arctanj e 5 3 5 4 5e13 2 3 re yx k ee vv vv += 3j arctanj e5e13 2 3 显然 x e v 、 y e v 均与 k e v 垂直。此外，在上式中两个分量的振幅并不相等，所以为 右旋圆极化波。 6-15 假设真空中一平面电磁波的波矢量 )( 22 yx eek vv v += 其电场强度的振幅V/m 33 m =E，极化于z轴方向。试求： (1) 电场强度的瞬时表达式； (2) 对应的磁场强度矢量。 解：解：(1) 电场强度的瞬时表达式为 (V/m) )( 22 cos33),(yxtetrE z += vv v 其中 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 95 rad/s 10 2 3 8 = kc （2）对应的磁场强度矢量为 )( 1 )( 0 tEetH k v v v = )( 22 cos(33) 2 1 2 1 ( 1 0 yxteee zyx += vvv (A/m) )( 22 cos)( 240 3 yxtee xy += vv 6-16 真空中沿z方向传播的均匀平面电磁波的电场强度复矢量 kz EE j 0e = vv ， 式中 ir0 jEEE vvv +=，且bEE= ir 2，b为实常数。又 r E v 在x方向， i E v 与x轴 正方向的夹角为 60o。试求电场强度和磁场强度的瞬时值，并说明波的极化。 解：解：将E v 分解为 kzkz EEEE j ir j 0 e)j(e += vvvv kz yxx e b e b eb j e)60sin 2 60cos 2 j( += vvv oo kz yx e b e b b j e 4 3 j) 4 j( += vv 所以 eRe),( jt EtrE v v v = )sin( 4 3 )sin( 4 )cos(kztbekzt b kztbe yx = vv )sin(433 . 0 )14cos(03 . 1 o kztbekztbe yx += vv ),( 120 1 ),( 1 ),( 0 trEetrEetrH zk v v vv v vv v = 课后答案网 课后答案网 习题六 96 )sin( 4 3 )sin( 4 )cos( 120 1 kztbekzt b kztbe xy += vv )14cos(1073 . 2 )sin(1015 . 1 o33 += kztbekztbe yx vv 由于电场的y分量相位领先电场x分量相位，且两分量的幅值不相等，所以 为左旋椭圆极化。 6-17 证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。 证明：证明：设任一圆极化波为 yyxx EeEeE vv v += )2/cos()cos( mm m vv xyxx tEetEe+= EeH z v v v = 1 )2/cos()cos( 1 mm m vv xxxy tEetEe+= HES vvv = )2/(cos)(cos 1 22 m 22 m m vv xzxz tEetEe+= )(sin)(cos 1 222 mxxz ttEe += v 2 m 1 Eez v = 6-18 真空中一平面电磁波的电场强度矢量为 (V/m) e)j(2 2 jz yx eeE += vv v （1）此电磁波是何种极化？旋向如何？ （2）写出对应的磁场强度矢量。 解：解：因为 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 97 += = )2/2/cos(2)2/sin(2 )2/cos(2 ztztE ztE y x 所以此电磁波的x分量的相位滞后y分量的相位，且两分量的振幅相等，故 此波为左旋圆极化波。其对应的磁场强度矢量为 EeEeH zk v v v v v = 00 11 =(A/m) e)j(2 1 2 j 0 z xy ee = v 6-19 判断下列平面电磁波的极化方式，并指出其旋向。 （1） )cos()sin( 00 kztEekztEeE yx += vv v （2） )sin(2)sin( 00 kztEekztEeE yx += vv v （3） ) 4 cos() 4 sin( 00 +=kztEekztEeE yx vv v （4） )cos() 4 sin( 00 kztEekztEeE yx += vv v 解：解：(1) 此电场强度的复矢量为 kz yx eeEE j 0 e)j( += vv v 场的x分量的相位滞后y分量的相位 2 ，且分量的振幅相等，故此波为左 旋圆极化波。 （2） 由题可知，场的x分量的相位与y分量的相位相同，故此波为线极 化波。 （3） 此电场强度的复矢量为 ) 4 j( 0 ) 4 j( 0 ee + += kz y kz x EeEeE vv v 场的x分量的相位与y分量的相位相同，故此波为线极化波。 （4） 此电场强度的复矢量为 kz y kz x EeEeE j 0 ) 4 3 j( 0 ee + += vv v 场的y分量的相位超前x分量的相位 4 3 ，故此波为左旋椭圆极化波。 6-20 证明两个传播方向及频率相同的圆极化波叠加时，若它们的旋向相同，则合 成波仍是同一旋向的圆极化波；若它们的旋向相反，则合成波是椭圆极化波， 其旋向与振幅大的圆极化波相同。 证明：证明： 课后答案网 课后答案网 习题六 98 情况 1 任设两个传播方向、频率及旋向均相同的圆极化波： kz yxA eeAE j e)j( += vv v ， kz yxB eeBE j e)j( += vv v 式中A、B为非 0 的实常数，且0+BA。则合成波 kz yxBA eeBAEEE j e)j)( +=+= vv vvv 其仍为与 A E v 、 B E v 同旋向的圆极化波。 情况 2 任设两个传播方向、频率相同、旋向相反的圆极化波： kz yxA eeAE j e)j( += vv v ， kz yxB eeBE j e)j( = vv v 式中A、B为非 0 的实常数，且0+BA。则合成波 kz y kz xBA eBAeBAEEE jj e)j(e)( +=+= vv vvv 若|BA ，则 zxy eBAeBAeBA vvv )|j(|)()j( 22 =+ 与波的传播方向相反，故E v 为左旋椭圆极化波，与 A E v 的旋向相同。若|BA v 的场合外，能速与相速是相等的。 群速是波的包络上一个点的传播速度，只有当包络的形状不随波的传播而变化 时，它才有意义。若信号频谱很宽，则信号包络在传播过程中将发生畸变。因此， 只是对窄频带信号，群速才有意义。 6-22 空气中的电场为 kz yyxx EeEeE j mm e)j( += vv v 的均匀平面电磁波垂直投射到理 想导体表面)0( =z，其中 mx E、 my E是实常数，求反射波的极化状态及导体 表面的面电流密度。 解：解：对于理想导体，有 0 2 =，1=，0=T 所以，此时反射波可写为 kz yyxx EeEeE j mmr e)j( vv v += 显然，反射波的x分量的相位滞后，y分量的相位2/，反射波沿z方向传播。 所以，反射波为右旋椭圆极化波)( mmyx EE或右旋圆极化波)( mmyx EE=。 由于理想导体内无电磁场，所以0 t =H v 。令空气一侧为介质 1，导体一侧为介质 2， 又 kz yxxy EeEeH j mm 0 i e)j( 1 = vv v ， kz yxxy EeEeH j mm 0 r e)j( 1vv v = ri1 HHH vvv += 故 课后答案网 课后答案网 习题六 100 )j( 2 )( mm 0 01021yxxyzzzS EeEeHeHHnJ vv v v vv v v = = 6-23 设有两种无耗非磁性媒质，均匀平面电磁波自媒质 1 垂直投射到其界面。如 果： 反射波电场振幅为入射波的 1/3； 反射波的平均功率密度的大小为入射波的 1/3； 媒质 1 中合成电场的最小值为最大值的 1/3，且界面处为电场波节。试 分别确定 21/n n。 解：解：对于无耗非磁性媒质，1 r =，为实数。由题意且考虑无耗非磁性媒 质及波阻抗得反射系数 1 1 2 1 2 1 21 21 21 21 12 12 + = + = + = + = n n n n nn nn 从而 + = 1 1 2 1 n n 当反射波电场振幅为入射波的 1/3，即 | 3 1 0i 0r = E E 时，将3/1=及3/1=代入反射系数表达式，得 2 2 1 = n n 及 2 1 2 1 = n n 反射波的平均功率密度的大小为入射波的 1/3，即 3 1 | | | 2 iav, rav, = S S v v 将 3 3 =及 3 3 =代入反射系数表达式，得 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 101 32 2 1 += n n 及32 2 1 = n n 媒质 1 中合成电场的最小值为最大值的 1/3，因此 |1 |1 3 1 max min + = E E 又界面处为电场波节，故0|两种情况下反射波和透射波的极化。 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 103 (2) 当 12 4=时，欲使反射波为线极化波，入射角应为大。 解：解：(1) 设任意一左旋圆极化入射波为 )sincos(j iii0i ii e)sincos(j zxk zxy eeeEE + += vvv v 当 21 ，所以 0 )tan( )tan( ti ti | + = ，0 )sin( )sin( ti ti T，0 T，| | TT， TT| 所以反射波为 )sincos(j i|i|i0r ii e)sincosj( zxk zxy eeeEE = vvv v 是右旋椭圆极化波。透射波为 )sincos(j tti0t tt e)sincosj( zxk zxy eeeTEE + += vvv v 是左旋椭圆极化波。故 21 时 ti + = 0 | T，0 T，| | TT， TT| 此时， r E v 为右旋椭圆极化波， t E v 为左旋椭圆极化波。故 21 时，反射波为椭圆 极化波，旋向与入射波相反，透射波为椭圆极化波，旋向与入射波相同。 所以，无论 1 与 2 关系如何，反射波均匀为椭圆极化波，旋向与入射波相反， 透射波均为椭圆极化波，旋向与入射波相同。 (2) 当 12 4=时，欲使反射波为线极化波，则入射波的平行极化分量必须 发生全透射，且要求入射角 课后答案网 课后答案网 习题六 104 o 1 2 Bi 4 . 632arctanarctan= 6-28 一圆极化平面电磁波自折射率为 3 的介质斜入射到折射率为 1 的介质，若发 生全透射且反射波为一线极化波，求入射波的入射角。 解：解：斜入射的均匀平面电磁波，不论其为何种极化方式，都可以分解为两个 正交的线极化波。一个极化方向与入射面垂直，称为垂直极化波；另一个极化方向 在入射面内，称为平行极化波。即 | EEE vvv += 因此 ，一圆极化平面电磁波自折射率为 3 的介质斜入射到反射率为 1 的 介质时，如果入射角等于布儒斯特角，则其平行极化波分量无反射。反射波仅为垂 直极化波，它是一线极化波，此时入射波的入射角 o 1 2 Bi 30arctan= 6-29 均匀平面电磁波自空气入射到理想导体表面)0(=z。已知入射波电场 )3(6j i e)3(5 zx zx eeE += vv v 试求： (1) 反射波电场和磁场； (2) 理想导体表面的面电荷密度和面电流密度。 解：解： （1）由题意知，入射波平行极化，对于理想导体 0=，1 | =，0 | =T 其波矢量 )3(6 izx eek vv += 所以，反射波电场 (V/m) e)3(5 )3(6j r zx zx eeE + += vv v (2) 理想导体表面的面电荷密度和面电流密度 (A/m) e 10 )3(6j 0 r zx y eH + = v v 由边界条件得 S DDn=)( 21 vv v ，0 2 =D 课后答案网 课后答案网 电磁场与电磁波习题详解 105 所以 0cos)( 0iri0 =+=