本科概率1-全概,习题课(白底).ppt

概 率 统 计,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,1.4 全概率公式和贝叶斯公式,一. 全概率公式,例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解:记 Ai=球取自i号箱, B =取得红球,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对每一项运 用乘法公式,代入数据计算得：P(B)=8/15,设S为随机试验的样本空间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n,全概率公式,称满足上述条件的A1,A2,An为完备事件组.,则对任一事件B，有,证明,加法公式,乘法公式,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式,我们还可以从另一个角度去理解,全概率公式的关键：,数学模型,完备事件组,B表示产品为次品,分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,完备事件组,全概率公式,例 3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,加法公式,独立性,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题 “已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B).,运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,条件概率公式,二. 贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找 导致B发生的每个原因的概率.,设A1,A2,An是完备事件组，则对任一事件B，有,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结 果发生的最可能原因.,-后验概率,在B已经发生的前提下， 再对导致 B 发生的 原因的可能性大小重新加以修正。,P( Ai ) -先验概率 它是由以往的经验得到的，是事件 B的原因。,该产品由乙车间生产的可能性最大。,贝叶斯公式,例4 用甲胎蛋白检测法(AFP)诊断肝病，已知确实患肝病者被诊断为肝病的概率为0.95，未患肝病者被误诊为肝病的概率为0.02，假设人群中肝病的发病率为0.0004，现在有一个人被诊断为患有肝病，求此人确实为肝病患者的概率。,设 A=肝病患者，B=被诊断为患有肝病，,由贝叶斯公式，,这一讲我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影响 .,概率统计第一章习题课,习题一,与第二问互为逆事件,9.某种植物有三种基因型：AA ， Aa ， aa. 每一基因的数量分别为200，600，50. 随机抽取一个体，问 (1)其基因型为AA的概率是多少？ (2)其基因型为AA或aa的概率是多少？,11. 100件产品中有10件次品，用不放回的方式 取产品，每次1件，连取三次，求第三次才取得 次品的概率。,解 令 Ai 为第 i 次取到正品,13. 灌装注射液需要四道工序，各道工序的废品率分别为0.5% ，0.2%，0.1%，0.8%，假设各道工序是否合格是独立的，求经四道工序全部合格的概率。,记 Ai=第 i 道工序合格 i=1，2，3，4,利用独立性,14. 为了提高抗菌素的产量和质量，需要对 菌种进行培养，如果某菌种的优良变异率p 为0.03，试问从一大批菌株中，采取多少只来培养，才能以 95 % 的把握从中至少可以 选到一只优良菌株？,设需采取n只来培养 ，Ai 表示出现 i只优良菌株,独立性,教材例题类似,18. 甲、乙两射手击中目标的概率分别为0.8与0.9 ， 如果同时独立地射击一次,求下列概率： (1) 两人都命中； (2) 恰有一人命中； (3) 至少一人命中； (4) 两人都不中。,独立性,19. 某集成电路能用2000小时的概率为 0.92, 能用3000小时的概率为0.85 , 求已 用了2000小时的集成电路能用到3000 小时的概率。,解 令 A集成电路能用到2000小时 B集成电路能用到3000小时,所求概率为,20. 日光灯使用寿命在3000小时以上的概率为0.8, 求3只日光灯在使用3000小时后, (1)都没有坏的概率； (2)坏了一个的概率； (3)最多只有一只损坏的概率.,3重伯努利试验,21.某单位有12台电脑，各台电脑是否被使用是独立的，每台电脑被使用的概率为0.7，问在同一时刻有9台或更多电脑被使用的概率是多少?,在同一时刻观察12台电脑，它们工作与否是 相互独立的，故可视为12重伯努里试验,22.一个人的血型为O, A, B, AB型的概率分别为0. 46, 0. 40, 0. 11和0. 03. 现任选五人，求下列事件的概率：(1) 恰有两人为O型； (2) 三人为O型，两人为A型； (3) 没有一人为AB型.,23.口袋中a只黑球，b只白球 随机地一只一只摸， 摸后不放回 求第k次摸得黑球的概率,解法1：把球编号，按摸的次序把球排成一列， 样本点总数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! 所考察的事件相当于在第k 位放黑球，共有a种放法， 每种放法又对应其它a+b1个球的(a+b1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为a(a+b1)!。,解法2：只考虑前k个位置：,解,抽签理论,乘法公式,全概率公式,独立性,3重伯努利试验,从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只,思考题,正确的答案是：,请思考：还有其它解法吗？,思考题,一个元件(